学过一遍线性代数的朋友可以用这本书来复习一下线性代数

我看的是GTM 135的第三版（封面上就写的 GTM）。这本书亮点还是有很多的：第一：它分成了Preliminaries、Basic Linear Algebra、Topics三个Part：抽象代数有点忘了的朋友可以看看Preliminaries来温故而知新，Preliminaries里面还给出了实分析里面的一个关于集合基数的运算的很方便的结论（不过没有证明，我学实分析的时候我的老师也讲过类似的东西，不过他没有讲得很清楚，我看了这本书之后才清楚是怎么一回事）；Basic Linear Algebra这个Part可以全看；Topics这个Part里面的各个章节都是独立的，可以有选择地看或者根据自己的兴趣来看（当然也可以全看）；这样分出Topics这个Part，就在某种程度上减轻了读者的压力，不一定要整本书500页都看完，所以这就比丘维声的高等代数有优势，丘维声的书的结构没有这本书那么分明。第二：这本书里面还是有很丰富的知识的，而且对一些地方的处理是让人惊叹且印象深刻的：比如说在Preliminaries里面介绍了一个well–ordering principle（没有给出证明），在证明 主理想整环上的自由模的子模也是自由模 的时候就用到了，因为在证明这个定理的时候遇到了要处理大基数的麻烦，所以要用到这个well–ordering principle，证明过程也是很精彩的。这本书还介绍了很多人都说过的用 主理想整环上的有限生成模的素循环分解定理（primary cyclic decomposition） 等定理来得到 任意域上的有限维线性空间上的线性变换（对应矩阵的方阵）的相似意义下的有理规范型（这本书还介绍了所谓的“规范型”和“完备不变量（complete invariant）”的概念），进而得到线性代数里面的一个极其核心的定理：Jordan规范型（不会这个的朋友不能叫学过线性代数（当然，这个只是开个玩笑））。虽然说Topics这个Part可以有选择地看，但还是建议没怎么学过双线性型的朋友可以看看Topics里面的Metric Vector Spaces: The Theory of Bilinear Forms这一章，这一章最重要的工作是建立了有限维的正交空间（排除掉char(F)=2的正交辛空间）和有限维的辛空间的结构定理（为什么只讨论这两种空间呢？是因为定义了双线性型的有限维线性空间里面有且只有这两种空间的垂直（或者叫正交）关系是对称关系，这本书对这件事情给出了证明，其实我早就在丘维声的高等代数下册里面看到这个定理了，在Jacobson的Basic Algebra里面也有对这件事情的证明）；而清楚了正交空间（……）和辛空间的结构之后我们就可以证明双线性型理论里面大名鼎鼎的Witt扩张（extension）定理和Witt消去定理了（对于这个定理，还有一个ε–Hermite的版本，感兴趣的朋友可以看看，不过相关的资料可能比较难查到）；这一章里面还有一个“双曲对（hyperbolic pair）”的概念也给人留下了深刻的印象。除此之外，这本书还介绍了线性算子伴随（这可以看成是矩阵的转置在无限维空间的推广）、介绍了正规算子（normal operator）这个概念并把它看成是“复数”这个概念的一个推广……这些都是很有意思且能加深我们对数学的理解的东西。第三：这本书里面的证明都是很详细的，对这本书的内容感兴趣的读者可以放心看；而且这本书的内容其实就是很正常的线性代数，都是很值得我们学习的……

但是，这本书还是有不少瑕疵的：第一：网上很难找到这本书的勘误。第二：有些小的地方的处理不严谨（甚至导致了出错），比如说：这本书里面的一个命题“有限维酉空间上的非零线性算子的极分解（polar decomposition）中的“长度算子”和“辐角算子”可交换当且仅当该非零算子是正规的”的证明就疑似不严谨，所以我现在还不知道这个命题到底对不对（但是这个命题减弱一点就是对的）；另外，证明正规算子的谱定理的实数版本的时候没有证明证明中的那些不可再分解的两维不变子空间中的某种形式的基可以取成正交的（不过实际上确实是可以取成正交的）；书中说“复数域上的酉算子都可以写成反射的乘积”也是不对的；书中给出的内积空间中的内积诱导的范数的三角不等式的取等的条件也是不对的，应该是其中一个向量可以写成另一个向量的非负实数倍……看的时候容易让人怀疑这本书是垃圾书，不过上面已经说了这本书里面还是有很多写得很精彩的地方的。第三：有些小的选材我觉得有点鸡肋：比如说：这本书介绍了一点泛函分析的东西，也介绍了拓扑向量空间，但是他对拓扑向量空间的处理处理得并不好，而且泛函分析这一块每一个学数学的人都会学，个人认为不用放在线性代数上讲，可以讲的应该是泛函分析里面的比较少提及的但是却很有趣、很有用的而且正常人不用学泛函分析只需要用线性代数就能理解的知识（比如说：任何一个线性空间的（作为一个线性空间的）维数小于等于它的对偶空间的（……）维数（这个命题可以理解成：对偶空间里面的东西比原空间里面的东西多，这个观点很有意思），泛函分析里面有 有限维欧几里得空间R^n上的开集G上的有紧支集的光滑函数空间C^∞_c(G)的（加上某个拓扑成为拓扑向量空间D(G)的）对偶空间就定义为所谓的“分布（广义函数）”D'(G)（这是一个巴拿赫空间），而且D'(G)里面“包含”了D(G)里面的所有东西，除此之外，D'(G)里面还“有”L²(G)函数、Dirac–δ函数等东西，也就是说，考虑它的对偶空间使得我们可以考虑更多的“函数”，这样我们就有可能得到更多的好的定理（类似于有理数域完备化后得到实数域，在实数域上我们就有了微积分））。第四：纯理论和应用的东西比较多，讲的都是知识，人文历史上的一些东西非常少（可能没有），这个可能有些人喜欢有些人不喜欢吧……