数学专业应该人手一本的神作

不知道为什么这本书受到的关注度远远低于它应当拥有的，甚至大批的人似乎都没分清楚指南和普林斯顿救生圈系列……

以及还有一本类似的应数指南

The Princeton Companion to Applied

评价人数不足

Higham, Nicholas / 2015 / Princeton University Press

不知道为什么更冷门，按理说这种对工科也有莫大帮助的书应该更火才对。

关于指南的定位、内容和用处前言里已经说得很清楚，我这里就摘录一些：

关于目的和定位：

当然，不能希望对于哪些命题值得关注这个问题给出完全客观的回答，不同的数学家对于哪些东西才有意思会有不同意见也是合乎情理的。所以，这本书远不如罗素的书那么形式化, 它的许多作者各有不同的观点。这样，本书并不试图对于 “是什么使得一个数学命题有意思” 给出准确的答案，而是只想向读者提供一些很大的具有代表性的例子，使他们知道数学家们在21世纪开始的时候为之拼搏的思想是什么，并且以尽可能吸引人及能够接受的方式来做这件事。

本书的中心点是现代纯粹数学，关于这个决定有几句话要说. “现代” 一词如上面所说，只不过是说本书打算对于现在数学家们在做什么给出一个概念。 …… 类似这本集中于纯粹数学这样一个决定后面还有一个想法，就是它会为以后再出一本“指南”——关于应用数学和理论物理的“指南”留下余地。在这样一本书尚未出现以前，Roger Penrose所写的《通向现实的道路》(The Road to Reality)(New York: Knopf, 2005) 一书包含了数学物理学的很广泛的论题，而且是按照与本书很相近的水平写的，Elsevier最近也推出了五卷本的《数学物理学百科全书》(Encyclopedia of Mathematical Physics)(Amsterdam: Elsevier, 2006).

“指南” 这个词很值得注意。虽然本书肯定是打算写成一本有用的参考书，您可不能对它期望过高。如果您想找出一个特定的数学概念，就不一定能在这里找得到，哪怕它是一个重要的概念。虽然说，如果它越重要，就越有可能被收入本书。在这一方面, 这本书倒有点像是真有一个人对读者在作 “指南”：这个人在知识上有漏洞，对于某些主题在看法上又不一定与众人相同。虽然声明了这一点，我们至少还是力求某种平衡：许多主题并未包括在书中，但是已经收入的范围还是很广泛的 (比起您对真有其人作 “指南” 所能合理希望的、要广泛得多)。为了达到这种平衡，我们在某种程度上是以一些 “客观的” 指标为导引的，例如美国数学会的数学主题的分类，或者四年一届的国际数学家大会上对数学分类的方法。大的领域如数论、代数、 分析、几何学、组合学、逻辑、概率论、理论计算机科学和数学物理，本书都是有的，但是它们的各个子分支就不一定都有了。

关于目标读者：

原来的计划是要求《数学指南》的全书对于任何具有良好的高中数学背景 (包括微积分) 的读者都是能接受的。然而，很快就变得很明显，这是一个不可能实现的目标：有一些数学分支，对于至少知道一点大学水平数学的人来说就非常容易，而企图向水平更低的人们来解释，就没有什么道理了。另一方面，这个学科也有一些部分，肯定能够对于没有这个额外经验的读者解释清楚。所以，我们最后放弃了这本书应该有一个统一的难度水平的想法。 然而，可接受性仍然是我们最优先的考虑。在全书里，我们都力求在实际上可以做到在最低水平上来讨论数学思想。特别是编者们用了很大的力气，避免任何自己不懂的材料进入本书，而这一点成了一个很严重的限制。有些读者会觉得一些条目太难，而另一些读者又会觉得另一些条目太容易，但是我们希望所有具有高中以上水平的读者都能享受本书的很实在的一大部分。 不同层次的读者都能够从《数学指南》中得到些什么? 如果您已经着手在读一门大学数学课程，就会觉得这门课程给您提出了许多困难而又不熟悉的材料，而您对于它们何以重要，又引向何方，则不甚了然。这时，使用《数学指南》就可以为您提供关于这个主题的一些展望 (举一个例子，知道什么是环的人的数目，比能够说明为什么要关注环的人的数目要多得多，本书的条目环，理想与模 [Ⅲ.81]和代数数[Ⅳ.1]就会告诉您关注环的理由是什么)。 如果您读完了大学数学课程，就可能会对做数学研究有了兴趣。研究工作究竟是怎么回事? 大学本科课程，在典型情况下，极少能让您了解。那么，您怎么才能决定数学的哪一个领域在研究工作水平上确会使您有兴趣? 这件事并不容易，但是您做的决定会产生极大区别：要么您会幡然醒悟不搞数学了，而博士学位也不要了,要么您会继续在数学里走向成功的生涯。这本书，特别是第Ⅳ部分，会告诉您，不同类型的在研究工作水平上的数学家想的是什么，从而可以帮助您在更加知情的基础上做出决定。 如果您已经是一个站住脚的数学家，这本书对于您的主要用处可能是：它将帮助您更好地理解您的同事们其实在做什么事情。绝大多数非数学家，当他们知道数学已经变得多么异乎寻常的专业化时，都会非常吃惊。近年来，一个很好的数学家可能对于另一位数学家的论文完全看不懂，哪怕二者的领域相当接近，这并不是很罕见的事，但这不是健康的状况。做任何一件改善数学家之间的交流的事情都是一个好主意。本书的编者们通过仔细阅读这些条目受益匪浅，我们希望其它许多人也能获得同样的机会。

指南比互联网资源好在哪里：

《数学指南》的特性在某些方面类似于那些大型的数学网站，如维基百科的数学部分，还有 Eric Weinstein 的 “Mathworld”(http://mathworld.wolfram.com/)。特别是交叉引用有一点超链接的味儿。那么，写这本书还有什么必要呢?

在目前，答案是还有必要。如果您曾经试过在因特网上查找一个数学概念，就会知道这是一件碰运气的事。有时候您会找到一个好的解释，给出您正在寻找的信息。但是，时常则并不如此。上面提到的那些网址肯定是有用的，对于本书没有涵盖的材料，我们也向您推荐在这些网址里去查找。但是这些网上的文章与我们这里的条目，写作的风格大不相同：网上的文章比较枯燥，更加注重以更简洁的方法来给出基本事实，而不是注重对这些事实的反思。在网上也找不到如本书第I,Ⅱ,Ⅳ,Ⅶ和第Ⅷ部分里面的那些长文章. 有人觉得把大量材料集中成书本的形式是有好处的。但是，我们在上面已经提到了，本书并不是孤立的条目的简单汇集，而是仔细排列了次序，这样编纂出来的所有的书，都必定有线条形的构造，而这是网页所没有的。一本书的物理性质又使得翻阅一本书和在网上漫游是完全不同的体验：读过了一本书的目录，对于全书就能找到一点感觉; 而对于一个大的网站，您只能对正在读的那一页有点感觉。并不是每个人都同意这一点，或者反而觉得这是书本形式的一个很值得注意的优点，但是许多人无疑会觉得如此，而本书就是为这些人编写的。所以在目前《普林斯顿数学指南》还没有网上的对手，本书不是想与现有的网站竞争，而是想作为一个补充。

关于内容和结构：

另外一个方面，本书也不同于一部百科全书，即本书是按主题排列，而不是按字母顺序排列的. 这样做的好处是，虽然各个条目可以分开来阅读，却也可以看作是一个和谐的整体的一部分。

说本书是 “按主题排列的”，这是什么意思? 回答是：本书分成了八个部分，各有其总的主题和不同的目的。第Ⅰ部分是引论性质的材料，对数学给出一个总的鸟瞰，并且为了帮助数学背景较浅的读者，解释了这个学科的一些基本的概念。一个粗略的来自经验的规则是：如果一个主题属于所有数学家必备的背景，而不是特定领域的数学家之所需, 就把它纳入第Ⅰ部分。举两个明显的例子：群[Ⅰ.3§2.1] 和向量空间[Ⅰ.3 §2.3]就属于这个范畴。

第Ⅱ部分是一组历史性质的论文，目的是解释现代数学的极具特色的风格是怎样来的. 广泛地说，就是解释现代的数学家在其学科中的思维方式与200年前 (或者更早) 的数学家的思维方式有哪些主要的区别。有一点区别在于，对于什么算是证明，现代有了大家都能接受的标准。与此密切相关的是这样一件事实，即数学分析 (微积分及其后来的扩张和发展) 已经被放置在严格的基础上了。其他值得注意的特点还有数的概念的扩张、代数的抽象性，另外，绝大多数现代几何学家研究的是非欧几何，而不是更加熟悉的三角形、圆、平行线之类。 第Ⅲ部分由一些较短的条目组成，每一条讨论一个在第Ⅰ部分中未曾出现的重要的数学概念。目的是：如果有一个您不知道但又时常听人说起的概念，本书这一部分就是一个查找的好地方。如果另一位数学家，比方说一位讲演的人，假定您熟悉一个定义——例如辛流形[Ⅲ.88]，或者不可压缩流欧拉方程[Ⅲ.23]，或者索伯列夫空间[Ⅲ.29 §2.4]，或者理想类群[Ⅳ.1 §7]——要承认自己不懂又感到没面子，现在您就有了一个脱身的办法：在《数学指南》里面查一查这个定义。 第Ⅲ部分的文章如果只是给出一些形式定义，那就没有什么用处：要想懂得一个概念，人们总会希望知道它直观地是什么意思，它为什么重要，而第一次引入它是为的什么。特别是如果它是一个相当广泛的概念，人们就会想知道一些好的例子——既不太简单，又不太复杂。事实上，很可能提出并且讨论一个选择得很好的例子，正是这篇文章需要做的事情，因为一个好例子比一个一般定义好懂得多，而一个比较有经验的读者能够从抽取这个例子里面重要的性质来写出一般定义。 第Ⅲ部分的另一个作用是为本书的心脏部分 (即第IV部分) 提供支持。第 Ⅳ部分是关于数学的不同领域的 26 篇文章，它们比第 Ⅲ 部分的文章要长得多。第Ⅳ部分的每一篇典型的文章都是为解释它所讨论的领域的某些中心思想和重要结果，而且要做得尽可能不太形式化，又得服从一个限制，就是不能太模糊，以至不能提供信息。对于这些文章，原来的希望是写成 “床头读物”，就是既清楚又很初等，不必时而停下来思考就能读懂它们。所以在选择作者的时候，有两个同等重要的优先条件：专业水平和讲解的本事。但是，数学不是一门容易的学科，所以到了最后，我们只好把原来定的完全可接受性看成是一个要为之努力的理想，尽管在每一篇文章的最小的小节里未能完全达到。但是，哪怕这篇文章很难读，它的讨论比起典型的教科书来也会更清楚，更少形式化，这一点时常做得相当成功。和第Ⅲ部分一样，好几位作者是通过观察有启发性的例子来做到这一点的，例子后面有的接着讲更一般的理论，有的则让例子本身说话。

第Ⅳ部分有许多文章包含了对于数学概念出色的描述，这些概念本来应该放到第Ⅲ部分用专文讲解的。我们本想完全避免重复，而在第Ⅲ部分里交叉引用这些描述。但是，这会让读者不高兴，所以采用了下面的两全之策：如果一个概念已经在别处充分地解释了，而第Ⅲ部分又没有设专门，就做一个简短的描述再加上交叉引述。这样一来，如果您想很快地看一看一个概念，就可以只看第 Ⅲ 部分, 如果需要更多细节，就得跟着引文看本书的其他部分了。

第Ⅴ部分是第Ⅲ部分的补充，它也是由重要数学主题的短文组成的，但是现在这些主题是数学中的一些定理和未解决的问题，而不是基本对象和研究工具。和全书一样，第Ⅴ部分里条目的选择必定远非全面，而是在心目中有一些准则。最显然的一个准则是它们在数学中的重要性，但是有些条目的选择是因为可以用一种使人愉快的又容易接受的方式来讨论它们，还有一些是因为它们有不平常的特殊之处(四色定理[Ⅴ.12]是一个例子，虽然说按照别的准则，也可能会选入这一条)，有一些条目是因为第Ⅳ部分的密切相关条目的作者觉得有一些定理应该单独讨论，还有一些是因为有几篇文章的作者需要它作为背景知识。和在第Ⅲ部分一样，第Ⅴ部分有一些条目不是完整的文章，而是简短的说明加上交叉引用。

第Ⅵ部分是另一个历史部分，是关于著名数学家的。它由一些短文组成，每一篇的目的是给出一些很基本的传记资料 (例如国籍和生卒年月)，并且说明这位入选的数学家何以是著名的数学家。一开始，我们计划把在世的数学家也包括在内，但最后我们得出了一个结论，对于今天仍然在工作的数学家，几乎不可能做一个令人满意的选择，所以我们决定限于已经去世而且主要是由于1950年以前的工作而著称的数学家。比较晚近的数学家因为在另外的条目里也会提到，当然也就进入本书了。对他们没有专门列条目，但是在索引里看一看，就会对他们的成就有个印象了。 在主要关于纯粹数学的六个部分以后，第Ⅶ部分最终展示了数学从外界得到的实用上和心智上的推动。这部分里面是一些较长的文章，有一些是由具有跨学科兴趣的数学家写的，有些则是由使用了很多数学的其他学科专家写的。 本书的最后一部分包含了对于数学的本性和数学生活的一般的反思。这一部分里的文章，比前面较长的文章，总体上说要好读一些，所以尽管第Ⅷ部分是本书的结尾，有些读者也可能从它们开始来读本书。 各部分里面文章的次序，在第Ⅲ部分和第Ⅴ部分是按字母顺序排列的，而第Ⅵ 部分则按年代排列。按生卒年月来安排数学家传记，这个决定是经过了仔细考虑的。这样做有几个理由：它会鼓励读者从头到尾地读，而不是选择单篇地读，以获得对于这门学科的历史感; 它会使得读者对于哪些数学家是同时代人或者近乎同时代人，要清楚得多。如果读者费一点心，在考察一位数学家的时候，猜想一下他 (或者她) 的出生年月和其他数学家的出生年月相对关系如何，就会得到一点虽然很小但又很有价值的知识。 在其他部分内部，做了一些努力来按照主题排列这些文章。特别是在第Ⅳ部分里，希望次序的排列符合两个基本原则：首先，关系密切相关的分支的文章要尽量靠近；其次，如果在读文B之前先读文A有明显的意义，那么在本书里就把文A放在文B前面。这件事说起来容易做起来难，因为有些分支很难分类，举一个例子，算术几何是算代数、几何还是算数论呢？分在这三类都有道理，决定采用其一总是有点造作。所以第Ⅳ部分里的次序并不是分类的一种格式，而只是我们能够想到的最佳的线性次序。 至于各个部分次序的排列，则目的在于使之成为从数学观点看来最自然的次序，并且给本书一种方向的感觉。第Ⅰ，Ⅱ两部分显然是导引性质的。第Ⅲ部分放在第Ⅳ部分前面，是因为想要了解一个领域，就总要先和新定义格斗一番。但是第Ⅳ部分放在第Ⅴ部分前面，则是因为为了领会一个定理，先知道它在一个领域里面的位置如何，这是一个好主意。第Ⅵ部分放在第Ⅲ部分到第Ⅴ部分后面，是因为知道一点数学以后，才能更好地领会一位著名数学家的贡献。第Ⅶ部分接近书末，也是由于类似的理由：要理解数学的影响，先得理解数学。第Ⅷ部分的反思带有结束语的意思，是离开这本书的适当的时候。 许多条目结尾处都有一个 “进一步阅读的文献” 的一节，它们其实是对于进一步阅读的建议，不要把它们看作是通常的综述文章后面所列的那种完整的参考文献。与此相关的还有以下的事实：《数学指南》主要关心的不在于对发现所讨论主题的数学家记述其功绩，也不在于引述这些发现出处的文章。对于这些原始根源有兴趣的读者，在建议进一步阅读的书或文章里面或在因特网上可以找到这些资料。