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一个随机过程的爱情故事


来源： 王越的日志
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从前有一个随机过程A，他喜欢上了另一个随机过程B。虽然他们都映到R上，他们并不定义在同一个概率空间。但概率空间都不一样的随机过程怎么能够在一起呢？

A向数学家求助。数学家说：这个容易。我把你同分布地映到B所定义的那个空间就是了。

经历种种磨难，A终于到了B所在的那个空间。但他愕然发现，他与B竟然是独立的。

A再次找到了数学家。数学家说：你看这种种随机过程，总是独立的多，不独立的少。况且不独立也未见得是好事。你看C和C+1，他们并不独立，协方差是1，但是他们虽然彼此相爱，却永远也不能在一起。

A继续恳求，数学家遍查文献，发现了一种方法叫做“耦合”。但这种方法需要双方的配合。数学家找到B说明情况，B被A的诚意打动，决定给A一个机会。数学家做了这个概率空间与其自身的乘积空间，并用卡拉西奥多里扩张定理构造了上面的概率测度结构，附带诱导了轨道空间的概率测度。A和B被写在同一个括号里，构成耦合的过程。

岁月无声，B逐渐接受了A的爱情，但由于他们不知道自己将去往何方，他们从未相遇，对此也无能为力，只能感叹造化弄人。

A对于这种长期的分隔失去了耐心，又跑去向数学家求助。数学家拿出了cdy老师的应随课本，教给了A应随的知识。A虽然看不懂某些证明，但明白了一条引理：符合一定条件的耦合过程一定会到达对角线。

A高高兴兴地回到了未知的生活，并将这条引理教给了B。虽然他们仍不知将去往何方，但他们坚信cdy老师书上的知识必将引导他们相遇。

经过了漫长的等待，在世界尽头的某一天，他们相遇了。他们没有说话，只是默默地看着对方，咀嚼着分别酿造的情丝。

这时，数学家出现了。他说道：你们仍然独立，这是我改变不了的。此后，你们也许仍将分离，但你们仍会重逢。更重要的是，从此以后，你们的分布是相同的。也就是说，你们将负担彼此共同的命运，直到永远。在此，我以cdy老师的名义祝福你们。说罢，数学家送给他们一本Durrett写的Probability：Theory and Examples (ed.4).

A与B向数学家告别，走上了仍然未知的旅途。他们仍将分离，但又会重逢。他们负担着彼此共同的命运，心贴着心，幸福地走下去，直到t趋于正无穷。

 
附

三行情书

To: a girl who knows some stochastic processes

我们的人生便是随机过程

虽身不由己，但注定相遇

而一旦相遇，心就不再分离

From: a boy who knows some stochastic processes