读Ross《概率论基础教程》有感

最近开始看Ross的《概率论基础教程》，很好的教材，推荐看英文版，因为中文版有得地
方翻得我觉得含混。
中文版
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/23064043.html

英文版
A First Course in Probability
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/33805215.html

英文版douban
http://book.douban.com/subject/3715244/

昨晚看完了第一章，其中打星号的1.6节，方程整数解的个数很精髓。
问题1：
对于正整数x1，x2，x3，x4，有x1+x2+x3+x4=10，求解向量（x1，x2，x3，x4）的个数。
这个比较好理解，可以认为等价于10个不可区分的球排成队列，中间空出9个空当，用3块
隔板去划分，答案为C（9,3）。
推广开来，x1+x2+x3+...+xr=n，解向量个数为C（n-1，r-1）。

问题2：
对于非负整数x1，x2，x3，x4，有x1+x2+x3+x4=10，求解向量（x1，x2，x3，x4）的个数
。
可以在一的基础上用变量代换的方法解决。
设y1=x1+1，y2=x2+1，...，yr=xr+1，则
y1+y2+y3...+yr=n+r，解向量个数为C（n+r-1，r-1）
其中的y1到yr大于等于1，等价于相应的x1到xr大于等于0。也可以这样考虑，即在n个不可
区分球的队列中任意再添加r个球，然后再划分r组，划好后每组至少有1个球，每组再拿去
1个球，即为所求答案。

问题3（前两问为Ross原书所载，此问为笔者扩充）：
对于正整数x1〈x2〈x3〈x4，有x1+x2+x3+x4=15，求解向量（x1，x2，x3，x4）的个数。
这次不展开了，直接推广到x1 + x2 + x3 +...+ xr = n的正整数解的组数，要求：x1〈x
2〈x3〈...<xr。
还是变量代换：
设y2=x2-x1，y3=x3-x2，...，yr=xr-x（r-1）（下标），y2到yr均为正整数，于是式子化
为
y2+y3+...+yr=xr-x1，而xr-x1的取值范围是关键
上限情况，x1=1，x2=2，...，x（r-1）=r-1，xr=m-r（r-1）/2，
此时xr-x1=m-1-r（r-1）/2
下限情况，设x1=a，x2=a+1，...，xr=a+r-1，全部相加有ra+r（r-1）/2=m，a=m/r-(r-1
)/2（若a非正整数，应就近取整），此时对应了，若a为整数，则下限为r-1，否则为r
确定了xr-x1的取值范围，令下限为正整数p，上限为正整数q，则对y2+y3+...+yr=xr-x1在
区间[p,q]上套用Ross的方法即可，答案为C（p-1，r-2）+C（p，r-2）+...+C（q-1，r-2
）
在本题中，m取15，则p为4，q为8，答案为C（3,2）+C（4,2）+...+C(8,2)，具体数字我就
不算了。

问题4：
对于各不相同的正整数x1，x2，x3，x4，有x1+x2+x3+x4=15，求解向量（x1，x2，x3，x4
）的个数。
所谓磨刀不误砍柴工，前人种树后人乘凉。推广到n，r的情况下，此问只需在第3问得出的
结果再乘以Pr，即r的全排列即可。