数学的严格化, 公理化, 形式化
鉴于是科普向就不发博客了..
微积分发明后, 全欧洲的数学物理学家们疯狂的享受这种方法带来的方便. 那时的数学是带有浓厚的应用目的的, 几乎所有数学都是为解物理问题而存在, 人们用微积分求解物体间的作用, 天体的运动, 却未顾及方法的严谨性. 即使有怀疑的声音, 人们还是随意对无穷进行运算, 对级数进行求和. 直到这股声音越来越大, 19世纪前中期, 以Weierstrass为代表的严格派, 将所有微积分知识用严格的数学定义给出, 包括极限的epsilon-delta定义, 级数的收敛与一致收敛的区别. 至此, 分析学有了严格基础, 人们认识到严格的必要性.
公理的出现可以追溯到Euclid的几何原本, 其第五公设一直让人不舒服. 无数人试图证明它, 其中有不少人甚至已经在努力中触到了非欧几何的大门. Gauss就是最早的这些人之一, 但以他当时显赫的地位, 依然不敢深入研究发表其结论. 勇士Lobachevsky站了出来, 宣传非欧几何, 给19世纪中叶带来了怀疑公理的思想风暴. 天才Riemann真正看清楚了这一切, 自<论奠定几何学基础之假设>这次演讲后, Riemann将几何统一到了Riemann几何的框架内, 让人们看到其实一直以来, 旧的公理所决定的几何只是一些微不足道的特例. 当然, Riemann几何真正得到应用是在Einstein之后, 他能够在19世纪中期就得到认可, 表明那时的数学已渐渐独立于物理世界, 开始变得抽象了.
另一个不得不提的人是天才Galois, 在他死后20年, 他的群论这一伟大想法为世人所知, 从此初等算术走向了现代的代数. 通过抽象化, 人们能够跳出对具体数学对象的研究, 而得以研究对象的群体: 它们的结构, 变化, 甚至群体的运算.
至此,十九世纪中后期, 代数, 几何, 分析这三大根基已奠定, 严格化, 公理化, 形式化思想的重要性被认可, 数学即将赢来根本上的变革.
引发这场风暴的是Georg Cantor, 人类历史上第一个理解了无穷的人. 他告诉人们, 实数的无穷与整数, 有理数, 代数数的无穷有着本质上的不同, 这得到了许多人, 包括他的老师Kronecker, 数学大师Poincare的反对. 他的思想撼动了许多基础的数学哲学观念, 包括定义实数存在的意义, 对实数连续性的理解.
Cantor为此给出的第二个证明, 就是Diagonalization, 对角线法. 其思想非常简单, 至多只需要如今的初中水平就可以看懂其证明.
对角线一词, 原本是指证明中寻找"第k个数的第k位", 画出了一条对角线. 但其本质是"将一个变量放在两个意义不同的位置", 或者更深入的描述为"将一个函数作为自己的参数". 之后这一类的方法都被称作对角线法, 尤其是被Godel与Turing所采用.
公理化还在继续发展. Cantor之后, 19世纪初Russell悖论的出现和解决使得集合论得到了更加严密的公理化. 这时, Hilbert振臂一呼, 提出了Hilbert's Program: 我们要将数学彻底的形式化, 并且要证明它的公理是独立的, 且系统是完备的, 一致的, 可判定的.
Hilbert开始研究逻辑, Godel与Turing的工作无疑都受到了这个时期Hilbert工作的影响. 当Hilbert自信满满的退休后不久, 第二个震惊世界的人, Kurt Godel, 发表了Godel1931, 声称:
算术系统不可能同时是完备且一致的.
(推论)算术系统的一致性不能在系统内证明.
Godel的证明中关键一步也是对角化: 他将一个命题的描述作为这个命题的变元, 构造出了自我矛盾的命题.
此时, 完备与一致的问题已被解决, 对于"真"的可判定性也已经不可能了. Hilbert的唯一希望在于, 对于"可证明"的命题, 是否可以有方法加以判定.
1936年, Turing与Church独立的粉碎了Hilbert计划.
-----------------------------------好像历史有点多-----------------------------
Turing1936这篇文章, 也即本书的内容, 大致可概括如下:
首先定义出了一种机器, 在纸袋上根据其方格中的符号及自己的状态执行固定的操作, Turing称能被这种机器计算的数叫做"可计算数".
Turing证明了这台机器的能力: 它能计算的数超级多, 基本包括我们所能用得到的所有数, 但可计算数却是可数的, 只是实数中的一小部分. 可数性的证明依赖于将机器的有限描述映射到整数上.
Turing构造的证明了一台机器可以模拟另一台机器的运行.
如果仅仅到此, Turing提出的计算模型及可计算数的概念, 已经足够伟大了, 然而精彩的还在后面.
Turing证明了这台机器不能做什么: 他不能不加模拟的预测另一台机器的行为, 例如是否停机.
这一证明依然用到了对角线方法. 事实上, Turing正是从"将Cantor对角线证明应用于可计算数上"这一方法出发, 给出了这一命题的第一个证明. 随后他又给出了一个更为直接的证明, 其中他继续使用对角线思想, 将一个机器作为这台机器自己的输入, 构造出了矛盾. 因此他才会说"得到了与Godel相似的结果". 另外, Church的lambda calculus也利用了对角线法, 将lambda函数作为自身的参数.
Turing试图说服人们, Turing机的思考能力与人是相同的, 或者至少是与人的数学推理是相同的.
最后, 作为一个其思想的应用, 他证明了谓词演算系统中的命题可解判定蕴含了停机问题可判定. 因此否定了Hilbert判定性问题.
--------------------------------这本书讲了这么多东西--------------------------
Cantor, Godel, Turing, 探索了无穷, 可知, 可解的极限. 这是近100多年来人类最深刻且严谨的哲学思考.
最终两人精神病, 一人自杀, 即使如此, 他们的工作也不能不让人心生崇拜.
我想拿@玑衡 的一篇我极爱的文章<面对面的办公室>的最后两段结尾:
那时候，普林斯顿大学的数学楼和物理楼有一座天桥相连。爱因斯坦教授精神很好，每天穿梭天桥许多次在数学和物理之间来回奔跑。那是一个离我们遥远的伟大的科学年代，基础学科之间有许多天桥和地道相通，科学家从一个学科开始挖凿，最后挖到另一个学科的金矿。希尔伯特在世纪之初的著名演讲为几十年内的数学突飞猛进提供了指路牌，爱因斯坦1915年的广义相对论带来了一个崭新的宇宙观，一个个新化学元素接踵而至犹如上天的惊喜。集合论不过半个世纪，拓扑学才三十几年，量子力学二十年……在这个幸福的基础科学的时代，犹太人冯•诺伊曼和同性恋图灵坐在面对面的办公室里，这两种备受歧视的身份将困扰他们一生，可是此时，他们心无旁骛只有一个愿望：做一个数学家、数学家、数学家。
幸福的数学家。
微积分发明后, 全欧洲的数学物理学家们疯狂的享受这种方法带来的方便. 那时的数学是带有浓厚的应用目的的, 几乎所有数学都是为解物理问题而存在, 人们用微积分求解物体间的作用, 天体的运动, 却未顾及方法的严谨性. 即使有怀疑的声音, 人们还是随意对无穷进行运算, 对级数进行求和. 直到这股声音越来越大, 19世纪前中期, 以Weierstrass为代表的严格派, 将所有微积分知识用严格的数学定义给出, 包括极限的epsilon-delta定义, 级数的收敛与一致收敛的区别. 至此, 分析学有了严格基础, 人们认识到严格的必要性.
公理的出现可以追溯到Euclid的几何原本, 其第五公设一直让人不舒服. 无数人试图证明它, 其中有不少人甚至已经在努力中触到了非欧几何的大门. Gauss就是最早的这些人之一, 但以他当时显赫的地位, 依然不敢深入研究发表其结论. 勇士Lobachevsky站了出来, 宣传非欧几何, 给19世纪中叶带来了怀疑公理的思想风暴. 天才Riemann真正看清楚了这一切, 自<论奠定几何学基础之假设>这次演讲后, Riemann将几何统一到了Riemann几何的框架内, 让人们看到其实一直以来, 旧的公理所决定的几何只是一些微不足道的特例. 当然, Riemann几何真正得到应用是在Einstein之后, 他能够在19世纪中期就得到认可, 表明那时的数学已渐渐独立于物理世界, 开始变得抽象了.
另一个不得不提的人是天才Galois, 在他死后20年, 他的群论这一伟大想法为世人所知, 从此初等算术走向了现代的代数. 通过抽象化, 人们能够跳出对具体数学对象的研究, 而得以研究对象的群体: 它们的结构, 变化, 甚至群体的运算.
至此,十九世纪中后期, 代数, 几何, 分析这三大根基已奠定, 严格化, 公理化, 形式化思想的重要性被认可, 数学即将赢来根本上的变革.
引发这场风暴的是Georg Cantor, 人类历史上第一个理解了无穷的人. 他告诉人们, 实数的无穷与整数, 有理数, 代数数的无穷有着本质上的不同, 这得到了许多人, 包括他的老师Kronecker, 数学大师Poincare的反对. 他的思想撼动了许多基础的数学哲学观念, 包括定义实数存在的意义, 对实数连续性的理解.
Cantor为此给出的第二个证明, 就是Diagonalization, 对角线法. 其思想非常简单, 至多只需要如今的初中水平就可以看懂其证明.
对角线一词, 原本是指证明中寻找"第k个数的第k位", 画出了一条对角线. 但其本质是"将一个变量放在两个意义不同的位置", 或者更深入的描述为"将一个函数作为自己的参数". 之后这一类的方法都被称作对角线法, 尤其是被Godel与Turing所采用.
公理化还在继续发展. Cantor之后, 19世纪初Russell悖论的出现和解决使得集合论得到了更加严密的公理化. 这时, Hilbert振臂一呼, 提出了Hilbert's Program: 我们要将数学彻底的形式化, 并且要证明它的公理是独立的, 且系统是完备的, 一致的, 可判定的.
Hilbert开始研究逻辑, Godel与Turing的工作无疑都受到了这个时期Hilbert工作的影响. 当Hilbert自信满满的退休后不久, 第二个震惊世界的人, Kurt Godel, 发表了Godel1931, 声称:
算术系统不可能同时是完备且一致的.
(推论)算术系统的一致性不能在系统内证明.
Godel的证明中关键一步也是对角化: 他将一个命题的描述作为这个命题的变元, 构造出了自我矛盾的命题.
此时, 完备与一致的问题已被解决, 对于"真"的可判定性也已经不可能了. Hilbert的唯一希望在于, 对于"可证明"的命题, 是否可以有方法加以判定.
1936年, Turing与Church独立的粉碎了Hilbert计划.
-----------------------------------好像历史有点多-----------------------------
Turing1936这篇文章, 也即本书的内容, 大致可概括如下:
首先定义出了一种机器, 在纸袋上根据其方格中的符号及自己的状态执行固定的操作, Turing称能被这种机器计算的数叫做"可计算数".
Turing证明了这台机器的能力: 它能计算的数超级多, 基本包括我们所能用得到的所有数, 但可计算数却是可数的, 只是实数中的一小部分. 可数性的证明依赖于将机器的有限描述映射到整数上.
Turing构造的证明了一台机器可以模拟另一台机器的运行.
如果仅仅到此, Turing提出的计算模型及可计算数的概念, 已经足够伟大了, 然而精彩的还在后面.
Turing证明了这台机器不能做什么: 他不能不加模拟的预测另一台机器的行为, 例如是否停机.
这一证明依然用到了对角线方法. 事实上, Turing正是从"将Cantor对角线证明应用于可计算数上"这一方法出发, 给出了这一命题的第一个证明. 随后他又给出了一个更为直接的证明, 其中他继续使用对角线思想, 将一个机器作为这台机器自己的输入, 构造出了矛盾. 因此他才会说"得到了与Godel相似的结果". 另外, Church的lambda calculus也利用了对角线法, 将lambda函数作为自身的参数.
Turing试图说服人们, Turing机的思考能力与人是相同的, 或者至少是与人的数学推理是相同的.
最后, 作为一个其思想的应用, 他证明了谓词演算系统中的命题可解判定蕴含了停机问题可判定. 因此否定了Hilbert判定性问题.
--------------------------------这本书讲了这么多东西--------------------------
Cantor, Godel, Turing, 探索了无穷, 可知, 可解的极限. 这是近100多年来人类最深刻且严谨的哲学思考.
最终两人精神病, 一人自杀, 即使如此, 他们的工作也不能不让人心生崇拜.
我想拿@玑衡 的一篇我极爱的文章<面对面的办公室>的最后两段结尾:
那时候，普林斯顿大学的数学楼和物理楼有一座天桥相连。爱因斯坦教授精神很好，每天穿梭天桥许多次在数学和物理之间来回奔跑。那是一个离我们遥远的伟大的科学年代，基础学科之间有许多天桥和地道相通，科学家从一个学科开始挖凿，最后挖到另一个学科的金矿。希尔伯特在世纪之初的著名演讲为几十年内的数学突飞猛进提供了指路牌，爱因斯坦1915年的广义相对论带来了一个崭新的宇宙观，一个个新化学元素接踵而至犹如上天的惊喜。集合论不过半个世纪，拓扑学才三十几年，量子力学二十年……在这个幸福的基础科学的时代，犹太人冯•诺伊曼和同性恋图灵坐在面对面的办公室里，这两种备受歧视的身份将困扰他们一生，可是此时，他们心无旁骛只有一个愿望：做一个数学家、数学家、数学家。
幸福的数学家。
有关键情节透露
