Rosenberg都没弄懂哥德尔证明
与许多人文学者一样，《科学哲学》（上海科技教育出版社）作者Alexander Rosenberg没有搞懂哥德尔证明的实质内容。在16页至17页，他对哥德尔证明的表述是根本错误的。因此，我决定中止阅读这本书转到下一本科学哲学书——作者Alexander Rosenberg不是一名严谨的教授。
按照Rosenberg的理解，哥德尔是发现了“一个自相矛盾的命题，可证明是错的或必然假的”，但事实并非如此。哥德尔是发现了系统中的一个公式G，此公式G可以按照哥德尔编码技术和递归论等技术构成的一种特定的元解释来理解。在这个特定的元解释中，公式G的意思是“我是不可证明的”（但相应地，在系统的标准解释中G如何具体写出来，并且表达了什么数学意义，哥德尔并不知道，也没有人知道）。哥德尔按照这个特定的元解释，用归谬法证明：如果系统是一致的，那么G肯定不是系统的一条定理。
所以，正确的表述应当是：哥德尔发现了任何包括算术的一致的形式系统，都存在一个不可判定的公式G，这个公式G不是“一个自相矛盾的命题”，按照哥德尔给出的某种特定的元解释，G的意思是“G是不可证明的”。
所以，按照哥德尔的宣称和世人的流行理解，G非但不是一个自相矛盾的命题，相反，G说出了一个事实，即G在形式系统中不可证明的这个事实，因此，G是被认为真的。所以，一个一致的算术形式系统必定遗漏某个真的算术命题G。
Rosenberg错误地理解和表述了哥德尔证明的实质。哥德尔没有在证明中使用一个悖论命题，而只是用归谬法证明了公式G不可能是形式系统的一条定理。
但在最后，我须要指出，Rosenberg误解了哥德尔证明的实质，而哥德尔则误解了自己证明的意义，哥德尔断言G不是系统的定理，这一点毫无疑义，但“G不是定理”并不意味着算术系统是不完全的。
原因很简单，任何形式系统都有一个标准元解释，同时，该形式系统也可以有很多非标准的元解释。哥德尔编码技术就是给出了一个非标准地解释算术形式系统中某些极少数公式（这些公式中包括G）的意义的方法，只有从这个非标准的元解释的角度来看，G才拥有了一种语义，并且G的语义表明G进行了自我指代和断言——“G是不可证明的”。因此，也只有在哥德尔编码给出的元解释中，G才可以被认为是真的。
哥德尔的编码配数法甚至称不上是对形式系统的一种解释，而是相反，哥德尔把形式系统的某些公式进行翻译（这些公式有标准解释）让这些公式对应一些“元语句”。也就是说，在配数法解释下，哥德尔是用形式化的公式来翻译元语句，而不是站在元语言的立场来翻译形式系统的公式。比如，形式系统的公式0'+0'=0"表达的就是1+1=2这条简单的真命题，但是，从哥德尔的编码配数法来看，公式0'+0'=0"却没有任何解释。
假如哥德尔偏要声称公式G是真的（因为G断言了“G是不可证明的”而G恰恰真的不是形式系统的一条定理），那么我们反观公式0'+0'=0"，它是算术形式系统的一条定理（1+1=2），但却在“哥德尔编码”的视角下没有解释，因而毫无意义。于是，哥德尔岂不是这样宣称自己证明意义吗？——即，任何一个包括了算术的形式系统都遗漏了一个真命题G，同时这个系统所推导出的绝大多数定理却都是一些不知所云、毫无意义的符号串！
事实当然不是这样！算术形式系统PM所证明的每一条定理都是真理，并且都有确定无疑的逻辑意义或者数学意义！哥德尔在证明中只是原则性地（而并非构造性地）给出了公式G的一个说明性的描述，用这种说明性的描述以非构造性的方法（归谬法）证明了G不是PM的一条定理（即G不可证明）。但是，G只是在一种非常“变态”的复杂解释下，才有了一种非标准的语义，并且在“变态”眼镜下看似为真，但代价是“变态”眼镜看到的算术真理也变得无意义了。
我们必须在如下产生不同意义的两个解释⑴和⑵中做出选择：
⑴在标准解释中，公式0'+0'=0"是系统PM的一条定理，并且表达了真理1+1=2；而公式G虽然是在原则上定性地存在，却没有人可以具体写出它来，并且，也不知道它在标准解释下的意义。
⑵在哥德尔配数法的“变态解释”下，公式0'+0'=0"是毫无意义的，并且因为哥德尔配数法发散极快，因此，绝大多数PM的定理都不能对应哥德尔配数从而毫无意义；公式G在这种情况下，表示了“G是不可证明的”。
哥德尔制造了混乱，偷换或者混淆解释⑴和⑵,好像在逻辑和数学思维中允许采用多重意义标准。但事实是，混淆意义标准只能带来混乱，而这就违背了逻辑和数学要求的绝对清晰。所以，要么G是真的且PM的定理大多毫无意义，要么PM的定理表示了逻辑和算术真理但G不是真的。
戴维森哲学的一个核心议题是讨论“什么是意义”“什么是真理”，他没怎么搞清楚这些问题。相比之下，哥德尔更加没有想清楚，对于一个形式系统而言，它的语义是怎样产生的，以及什么是其语义的真。
这归根到底要牵涉到形而上学。按照我的形而上学观和逻辑观，所有逻辑和数学形式系统，它的定理集本身就是对真或假的界定。在一个力图推出真公式的系统中，一个公式为“真”就意味着它是系统的定理，一个公式是系统的定理就意味着它为“真”。
任何一个形式的算术系统都包含无数个不可判定的公式，这些公式没有一个是真的。G只是这无数个不可判定公式的其中一个，并且，G不是真的。
按照Rosenberg的理解，哥德尔是发现了“一个自相矛盾的命题，可证明是错的或必然假的”，但事实并非如此。哥德尔是发现了系统中的一个公式G，此公式G可以按照哥德尔编码技术和递归论等技术构成的一种特定的元解释来理解。在这个特定的元解释中，公式G的意思是“我是不可证明的”（但相应地，在系统的标准解释中G如何具体写出来，并且表达了什么数学意义，哥德尔并不知道，也没有人知道）。哥德尔按照这个特定的元解释，用归谬法证明：如果系统是一致的，那么G肯定不是系统的一条定理。
所以，正确的表述应当是：哥德尔发现了任何包括算术的一致的形式系统，都存在一个不可判定的公式G，这个公式G不是“一个自相矛盾的命题”，按照哥德尔给出的某种特定的元解释，G的意思是“G是不可证明的”。
所以，按照哥德尔的宣称和世人的流行理解，G非但不是一个自相矛盾的命题，相反，G说出了一个事实，即G在形式系统中不可证明的这个事实，因此，G是被认为真的。所以，一个一致的算术形式系统必定遗漏某个真的算术命题G。
Rosenberg错误地理解和表述了哥德尔证明的实质。哥德尔没有在证明中使用一个悖论命题，而只是用归谬法证明了公式G不可能是形式系统的一条定理。
但在最后，我须要指出，Rosenberg误解了哥德尔证明的实质，而哥德尔则误解了自己证明的意义，哥德尔断言G不是系统的定理，这一点毫无疑义，但“G不是定理”并不意味着算术系统是不完全的。
原因很简单，任何形式系统都有一个标准元解释，同时，该形式系统也可以有很多非标准的元解释。哥德尔编码技术就是给出了一个非标准地解释算术形式系统中某些极少数公式（这些公式中包括G）的意义的方法，只有从这个非标准的元解释的角度来看，G才拥有了一种语义，并且G的语义表明G进行了自我指代和断言——“G是不可证明的”。因此，也只有在哥德尔编码给出的元解释中，G才可以被认为是真的。
哥德尔的编码配数法甚至称不上是对形式系统的一种解释，而是相反，哥德尔把形式系统的某些公式进行翻译（这些公式有标准解释）让这些公式对应一些“元语句”。也就是说，在配数法解释下，哥德尔是用形式化的公式来翻译元语句，而不是站在元语言的立场来翻译形式系统的公式。比如，形式系统的公式0'+0'=0"表达的就是1+1=2这条简单的真命题，但是，从哥德尔的编码配数法来看，公式0'+0'=0"却没有任何解释。
假如哥德尔偏要声称公式G是真的（因为G断言了“G是不可证明的”而G恰恰真的不是形式系统的一条定理），那么我们反观公式0'+0'=0"，它是算术形式系统的一条定理（1+1=2），但却在“哥德尔编码”的视角下没有解释，因而毫无意义。于是，哥德尔岂不是这样宣称自己证明意义吗？——即，任何一个包括了算术的形式系统都遗漏了一个真命题G，同时这个系统所推导出的绝大多数定理却都是一些不知所云、毫无意义的符号串！
事实当然不是这样！算术形式系统PM所证明的每一条定理都是真理，并且都有确定无疑的逻辑意义或者数学意义！哥德尔在证明中只是原则性地（而并非构造性地）给出了公式G的一个说明性的描述，用这种说明性的描述以非构造性的方法（归谬法）证明了G不是PM的一条定理（即G不可证明）。但是，G只是在一种非常“变态”的复杂解释下，才有了一种非标准的语义，并且在“变态”眼镜下看似为真，但代价是“变态”眼镜看到的算术真理也变得无意义了。
我们必须在如下产生不同意义的两个解释⑴和⑵中做出选择：
⑴在标准解释中，公式0'+0'=0"是系统PM的一条定理，并且表达了真理1+1=2；而公式G虽然是在原则上定性地存在，却没有人可以具体写出它来，并且，也不知道它在标准解释下的意义。
⑵在哥德尔配数法的“变态解释”下，公式0'+0'=0"是毫无意义的，并且因为哥德尔配数法发散极快，因此，绝大多数PM的定理都不能对应哥德尔配数从而毫无意义；公式G在这种情况下，表示了“G是不可证明的”。
哥德尔制造了混乱，偷换或者混淆解释⑴和⑵,好像在逻辑和数学思维中允许采用多重意义标准。但事实是，混淆意义标准只能带来混乱，而这就违背了逻辑和数学要求的绝对清晰。所以，要么G是真的且PM的定理大多毫无意义，要么PM的定理表示了逻辑和算术真理但G不是真的。
戴维森哲学的一个核心议题是讨论“什么是意义”“什么是真理”，他没怎么搞清楚这些问题。相比之下，哥德尔更加没有想清楚，对于一个形式系统而言，它的语义是怎样产生的，以及什么是其语义的真。
这归根到底要牵涉到形而上学。按照我的形而上学观和逻辑观，所有逻辑和数学形式系统，它的定理集本身就是对真或假的界定。在一个力图推出真公式的系统中，一个公式为“真”就意味着它是系统的定理，一个公式是系统的定理就意味着它为“真”。
任何一个形式的算术系统都包含无数个不可判定的公式，这些公式没有一个是真的。G只是这无数个不可判定公式的其中一个，并且，G不是真的。
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