《数学：确定性的丧失》的原文摘录
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1. 在所有早期文明中，这些问题的回答都是宗教领袖给出的，并为人们所普遍接受。只有古希腊文明是个例外。希腊人发现（人类所作出的最伟大的发现）了推理的作用。正是古典时期（公元前600 年至前300 年间的鼎盛时期）的希腊人，认识到人类有智慧、有思维（有时佐以观察或实验），能够发现真理。 2. 最早提出自然界数学模式的是以毕达哥拉斯（Pythagoras）为领袖的座落于意大利南部的毕达哥拉斯学派。 3. 例如，毕达哥拉斯学派之所以能把音乐归结为数与数之间的简单关系，乃是因为他们发现了下列两个事实：第一，弦所发出的声音取决于弦的长度；第二，两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根长的两倍，就会产生谐音。换言之，两个音相差八度。如两弦长为3 比2，则发出另一谐音。 这时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。确实，产生每一种谐音的多根弦的长度都成整数比。毕达哥拉斯学派也搞出了一个著名的音阶。我们虽然不打算讲许多希腊时代的音乐，但要指出许多希腊数学家包括欧几里得和托勒密，都写过这方面的著作，特别是关于谐音的配合，而且还制定过音阶。 4. 由于毕达哥拉斯学派将天文学和音乐“归结”为数，这两门学科就同算术和几何发生了联系。这四门学科都被人看成是数学学科，甚至一直到中世纪，仍被包括在学校课程中，当时号称“四大学科”。 5. 但或是凭运气或是凭天生的直觉，毕派的确言中了后来两条证明是极为重要的信条：第一是自然界是按数学原理构成的；第二是数学关系决定、统一并显示了自然的秩序。实际上现代科学也坚持毕派对数学的强调，虽然，正如我们将看到的，现代理论是毕派理论的更为高级的形式。 6. 通过只接受那些确凿无疑的事实，笛卡尔开始他的哲学体系的建立工作。那么他是怎么区分哪些是可接受的论据，哪些是不可接受的呢？在他的《思维指导法则》中（写于1628 年，但他死后才得以出版），他指出：“对于我们要研究的对象来说，我们不仅... (查看原文) —— 引自第1页 -
一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经伫立了许多世纪。在城堡的地下室生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。 (查看原文) —— 引自第283页 -
虽然历史片断没有提供精确的年代数据，这一点却是无疑的，即毕达哥拉斯学派发展并完善了自己的认识。他们开始把数字理解为抽象概念，而物体只不过是数字的具体化。有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛劳斯的论述：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或与别的事物的关系都不能为人所清楚地了解……你可以在人间的一切行动和思想上乃至在一切行业和音乐中看到数的力量。” 例如，毕达哥拉斯学派之所以能把音乐归结为数与数之间的简单关系，乃是因为他们发现了下列两个事实：第一，弦所发出的声音取决于弦的长度；第二，两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根长的两倍，就会产生谐音。换言之，两个音相差八度。如两弦长为三比二，则发出另一谐音。这时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。确实，产生每一种谐音的多根弦的长度都成整数比。毕达哥拉斯学派也搞出了一个著名的音阶。我们虽然不打算讲许多希腊时代的音乐，但要指出许多希腊数学家包括欧几里得和托勒密，都写过这方面的著作，特别是关于谐音的配合，而且还制订过音阶。 (查看原文) —— 引自第14页 -
18世纪的人们极大地发展了数学和数学科学，使有知识的人确信，数学和科学中的数学定律是真理，但他们的工作大部分是前人工作的延伸。伯努利家族，尤其是詹姆斯・伯努利、其弟约輸・伯努利及约輸之子丹尼尔・伯努利，还有欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯及其他许多人继续对自然进行数学探索，他们都对微积分的技巧有所发展，并创建了一些全新的数学分支，如常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及复变函数。这些学科本身不仅被作为真理接受，而且为探索大自然提供了更加强有力的工具。正如欧拉于1741年所言：“数学的用处，通常认为是其基础部分，但数学的用处，不仅不囿于较高深的数学，而且事实上，科学越向纵深发展，数学的作用就越显著。” (查看原文) —— 引自章节：第3章 科学的数学化 / 059 -
经典的逻辑是从有限集及其自己的数学中提取出来的……忘记这一有限的起源，人们就会错误地把逻辑看作时高于并且先于全部数学的某种东西，从而最终不加证明地应用到无限集合的数学中区。这是集合论的堕落和原罪，而悖论是其应受的惩罚，令人惊讶的不是这种矛盾的出现，而是矛盾出现的如此之晚。 (查看原文) —— 引自第239页 -
思想并非起源于语言形式，实际上，语言只是传输这种思想的一种不完善的工具。这个已被详细讨论过的问题就是细想能否独立于语言而存在……克莱则坚决认为语言是思想的累赘。 (查看原文) —— 引自第239页 -
无理数作为数字是没有直观上的意义的。即使我们能引入一些尺寸为无理数的长度，这些长度本身并不能为无理数提供任何直观的含义。但无理数作为李想的元素即使在初等数学中也也是必不可少的，这也就是为什么数学家们在1870年以前没有任何逻辑基础的情况下用到它的原因。 (查看原文) —— 引自第239页 -
“对于哪里可以找到数学严密性的问题，这两派提供了不同的答案，直觉主义者说再人类的理智中，而形式主义者说是在纸上。”布劳维 (查看原文) —— 引自第239页 -
因此当布劳维弄清楚了直觉上明确的东西不及经典数学上的证明的东西时，哥德尔却证明了直觉的可靠超过了数学证明。 (查看原文) —— 引自第239页 -
现在数学最主要得成就是在于发现了什么是数学——罗素 (查看原文) —— 引自第239页 -
他们知道并无逻辑支持着负数、无理数、复数、代数和微积分，他们依靠的是应用。 (查看原文) —— 引自第239页 -
正如皮卡所指出的，如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可微的话，他们就不会创立微积分学了。 (查看原文) —— 引自第239页 -
一种关于科学的，与上述哲学完全相反的哲学由伽利略所开创。科学必须寻求数学描述而不是物理学解释，而且，基本理论应由实验和根据对实验的归纳而得出。根据这种哲学，同时受他的老师巴罗的影响，牛顿改变了科学研究的程序。他采用数学前提来取代物理学假设，从而使预言具有培根所倡导的确定性，而这些前提是由实验和观察得来的。 (查看原文) —— 引自第33页 -
数学是一个完全自足的活动，它独立于语言，措辞和语言表达只是为了阐述真理，数学思想更深地扎根于人脑中而不是在语言中。数学直觉的世界与感知的世界相对，语言作为理解一般事物的工具存在于后者中，而不是数学中。语言通过符号和声音唤起人脑中思想的摹本，其区别类似于爬山的行动与用语言来描述这一行动之间的区别。但是数学思想不依赖于语言的外衣，并且事实上要更为丰富。就算采用了包括符号语言的数学语言，思想也无法被完全地表述出来。此外，语言与真正数学的主旨也是大相径庭的。 更有意思的是直觉主义关于逻辑的立场，这一点在它反对逻辑主义时尤为突出。逻辑属于语言，它提供了一套规则体系，用以导出更多的词语关系，这也是为了交流真理。然而，这里所说的真理在被从直觉上领悟之前并不是真理，而且也并不难保证它一定能被领悟到。逻辑并不是发现真理的可靠工具，用别的方法不能得到的真理，逻辑也一样不能推导出来。逻辑的原则是在语言中归纳观察到的规律性。它们是运用语言的一种手段，或者说，它们是语言的表现理论，逻辑只不过是一座宏伟的语言大厦。数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论来得到的，是逻辑依赖于数学，而不是数学依赖于逻辑。逻辑远不如我们的直觉概念可靠，数学也并不需要逻辑来保证。历史上，逻辑原理是从有限的物体集合的经验中抽象出来的，而又符合一个先验的有效性，于是，也就适用于无限集合了。 (查看原文) —— 引自第237页 -
尽管数学是一项纯粹的人类创造，但它为我们开辟了通往自然某些领域的道路，使我们走得比全部预想更远。实际上，和现实距离如此遥远的抽象概念能获得巨大的成就，这本身就不可思议。数学解释也许确系认为，它也许是一个童话，但却是一个合乎道义的童话。即使我们不易解释人类的理性，但它却有力量。 数学的成功是有代价的，代价就是把世界用长度、质量、重量、时间等简单概念来看待。这样的解释是不足以表示丰富多彩的体验的，就如同一个人的身高并非此人一样。数学最多只是描述了自热的某些过程，但其记号并未容纳所有的一切。 (查看原文) —— 引自第362页 -
凭着一点有限的感性知识和大脑，人类开始探究其自身的奥秘。通过使用感觉瞬间揭示的东西和可从实验中推知的事物，人类选用了公理并应用他的推理能力。他在寻求秩序，他的目的，就是建立与瞬变的感觉相对立的知识体系，建立可以帮助他获取有关生存环境奥秘的解释模型。而他的主要成就，也是人类自身理性的产物，就是数学。它并不是完美的佳作，即使不断地完善也未必能去除所有的瑕疵。然而，数学是我们与感性知觉世界之间最有效的纽带。尽管我们不得不尴尬地承认数学的基础并不牢固，但是数学仍是人类思想中最贵重的宝石，我们必须将其妥为保管并节俭使用。它处于理性的前列，毫无疑问将继续如此，就算是进一步的研究复查又发现新的缺陷。怀特海曾写道：“让我们把数学的追求看作是人类精神上神授意的疯狂吧。”疯狂，也许可以这么说吧，但是，毫无疑问，它是神授的。 (查看原文) —— 引自第366页 -
正如贝克莱所说的：“根深蒂固的偏见也常常会演变为原理，这些性质一旦获得了原理所具有的力量和声望，不仅它自身，而且由它推出的任何结论，都会无需验证而被人们接受。” (查看原文) —— 引自第158页 -
魏尔斯特拉斯的例子没有早出现是微积分发展史上的幸事，正如皮卡（Emile Picard）在1905年所说的那样：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。 (查看原文) —— 引自第175页 -
1921年爱因斯坦给出了关于数学与物理世界的关系的精彩的叙述：“只要数学的命题是涉及实在的，它们就是不可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。……但是，另一方面，作为一般情况的数学和作为特殊情况中的几何，它们的存在是由于我们需要了解真实客体的一些性质。" (查看原文) —— 引自第92页 -
18世纪的人们极大地发展了数学和数学科学，使有知识的人确信，数学和科学中的数学定律是真理。……贝努利家族，尤其是詹姆斯·贝努利，其弟约翰·贝努利及约翰之子丹尼尔·贝努利，还有欧拉、达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯及其他很多人继续对自然进行数学探索，他们都对微积分的技巧有所发展，并创建了一些全新的数学分支，如常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及复变函数。 这些学科本身不仅被作为真理接受，而且为探索大自然提供了更加强有力的工具。正如欧拉1741年所言：“数学的用处，通常认为是其基础部分，但数学的用处，不仅不囿于较高深的数学，而且事实上，科学越向纵深发展，数学的作用就越显著。” (查看原文) —— 引自第75页
作者: [美] M·克莱因
原作名: Mathematics: the Loss of Certainty
isbn: 7535718574
书名: 数学：确定性的丧失
页数: 384
译者: 李宏魁
定价: 32.00元
出版社: 湖南科学技术出版社
出版年: 1997-6
装帧: 平装