黎曼几何初步

前辅文
第一章 准备知识
§1 欧氏空间的映射
1.1 映射的微分 链规则
1.2 反函数定理
1.3 秩定理
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前辅文
第一章 准备知识
§1 欧氏空间的映射
1.1 映射的微分 链规则
1.2 反函数定理
1.3 秩定理
1.4 Sard定理
§2 多重线性代数
2.1 向量空间 对偶空间
2.2 张量积 张量代数
2.3 对称和反(对)称张量
2.4 外代数
2.5 欧氏向量空间
习题
第二章 微分流形
§1 微分流形的基本概念
1.1 微分流形的定义
1.2 实射影空间Pm(R) Grassmann流形
1.3 流形的映射
1.4 浸入与淹没 子流形
1.5 单位分解
习题
§2 向量场
2.1 切空间 切映射
2.2 切丛 向量场
2.3 单参数变换群
2.4 分布 Frobenius 定理 叶状结构
习题
§3 张量场
3.1 张量场
3.2 外微分
3.3 黎曼度量
习题
§4 流形上的积分 Stokes定理
4.1 流形的定向
4.2 带边界流形
4.3 流形上的积分 Stokes定理
习题
第三章 联络与曲率
§1 仿射联络
1.1 Rm及其子流形上的联络
1.2 微分流形上的仿射联络
1.3 仿射联络的挠率和曲率
习题
§2 黎曼联络
2.1 黎曼联络
2.2 共变微分
习题
§3 曲率
3.1 曲率张量
3.2 截面曲率 Ricci曲率 纯量曲率
3.3 共形变换
习题
§4 调和形式
4.1 Hodge星算子
4.2 LaplaceBeltrami算子
4.3 Hodge定理及其几何应用
习题
第四章 测地线
§1 测地线与测地完备性
1.1 测地线与指数映射 法坐标系
1.2 测地完备性
习题
§2 弧长的变分
2.1 弧长的变分
2.2 Jacobi场
2.3 共轭点
习题
§3 曲率与拓扑
3.1 指标引理 Myers定理
3.2 非正曲率流形的Hadamard定理
习题
§4 比较定理
4.1 Hessian比较定理
4.2 Laplacian比较定理
4.3 体积比较定理
习题
第五章 黎曼子流形
§1 子流形的基本公式
1.1 等距浸入
1.2 基本方程
1.3 活动标架法
1.4 常曲率空间的子流形
习题
§2 超曲面
2.1 超曲面的基本公式及其应用
2.2 主曲率
2.3 欧氏空间的超曲面
习题
§3 极小子流形
3.1 体积的变分
3.2 欧氏空间的极小子流形
3.3 球面上的极小子流形
3.4 Simons不等式
习题
§4 全绝对曲率与Gauss映射
4.1 LipschitzKilling曲率
4.2 全绝对曲率
4.3 Gauss映射
4.4 Gauss映射的调和性
习题
附录Ⅰ 常微分方程组存在定理
附录Ⅱ Sard定理
附录Ⅲ 黎曼淹没
附录Ⅳ 广义极大原理
附录Ⅴ Lie群初貌
附录Ⅵ 主丛上的联络
附录Ⅶ 黎曼流形的收敛性和有限性
附录Ⅷ 复流形与复几何初步
附录Ⅸ 关于Finsler几何
附录Ⅹ Ricci流简介
参考文献
索引
· · · · · · (收起)