283页第13.5节拓扑空间

我看过的三两拓扑学教材，在一开始都会首先给出拓扑空间的定义，而这个定义要涉及到“开集”。
开集，我唯一能想到的开集就是在N维欧几里得空间中俗套的“开矩形”，“开球体”，而这种开集的定义，则又依赖于欧式空间中度量的概念。
所以那些拓扑学教材是怎样做到在没有定义任何度度量的情形下就脸不红心不跳的使用开集的？这就是我面对那些拓扑学教材时，永远都跨不过去的一个疑问，我根本想不出来那些定理定义所讨论的到底是怎么一回事。为此我曾忿忿地为亚尼齐的《拓扑学》打了一星。
拓扑学从一开始就成了一门让我很怵头的科目。
直到我看到了陶哲轩在这一页做的讲解：
度量空间的概念可推广为拓扑空间的概念。这个推广的思想是不把度量d看作基础对象；的确，在一般的拓扑空间中根本没有度量。代替度量的是开集族，这是扑空间的基础概念。在度量空间中，首先引入的是度量d，然后用度量先定义开球，再定义开集，而在拓扑空间中，恰恰是从开集的概念出发的。从开集出发的结果是，不必重新构造可用的球或度量（于是，并非一切拓扑空间都是度量空间），然而值得注意的是，依然可以定义上一节中的许多概念。
本书中完全用不着拓扑空间，所以只是相当简洁地作一介绍。对拓扑空更完全的研究当然可以在任何一本拓扑学教材中或者更深的分析学教材中找到。
就像一位友邻所说的，陶哲轩在这本书中写的许多话，看似无关痛痒，但有时候没有这一两句话，你偏偏就搞不清楚。
真不知道上哪还能找得着这样的解释，真有十分运气的成分在里头。我读过的三两数学分析教材都只讨论欧几里得空间中在建立了度量之后所定义的的开集，我试着拿起的三两拓扑学教材都直接不加定义地使用开集。
真是的！
绝望
其实，开集带给我的这种困境，对于我个人而言是非常有代表性的。这种困境发生在一个抽象概念劈头盖脸的扔过来的时候，发生在我无论如何也无法把它与我现有的知识基础连接起来的时候。这是在我入门数学的时候，许多国产教材带给我的感觉，也差不多是我从一年级到大一以来对数学的感觉。