黎曼猜想到底是什么意思？

哎，豆瓣不支持数学符号，也不支持动图，需要更好的阅读体验可以到马同学的网站上观看：黎曼猜想到底是什么意思？

2018年，89岁高龄的菲尔兹奖得主，迈克尔·阿蒂亚爵士举行了他最后一次公开的数学报告：

这个报告是关于“黎曼猜想”的证明，报告结束后仅仅三个月，老爷子就溘然长逝。

这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”，我没有资格评论，这需要数学界内部进行审查。哪怕就算结果错的，也有可能指出新的突破方向，这在数学史上也层出不穷。留待学界、时间来检验吧。

但是，黎曼猜想：

ζ 函数的所有非平凡零点的实部都是 1/2 。

到底说了什么，能让这位耄耋老人在生命的最后一刻依然向它发起冲锋；让一代代的数学家为之魂系梦绕（大数学家希尔伯特就说过，如果他能复活，第一件事情就是要问问，黎曼猜想证明了吗？）。

逝者安息，生者传承，下面就以我们的方式尽量数普一下黎曼猜想，把老爷子这份执着传递一二，把无数数学家的这份执着传递一二。

1 素数

大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数称为 素数 （Prime Number），比如 2、3、5、7、11、...... 。

我们知道素数是无穷的（欧几里得定理），也可以通过埃拉托斯特尼筛法筛出有限个的素数：

但对于素数的整体了解依然非常少，素数似乎是完全随机地掺杂在自然数当中的一样，下面是 1000 以内的素数表，看上去也没有什么规律（你说它越来越稀疏吧， 877、881、883、887又突然连着出现 4 个素数，和 10 以内的素数个数一样多）：

别说素数的精确分布了，就是随机抽取一个足够大的自然数出来，要检验它是否是素数都需要经过一番艰苦的计算。

以研究素数为核心的数论，在数学家眼中就是：

数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。----高斯

你可能会有一个疑问，研究素数干嘛？可以改善生活吗？提高寿命吗？粮食增产吗？移民火星吗？

当然可以给出一些现实的理由，比如流行的区块链中的加密算法就依赖于素数分布的一些理论。但是随着了解的深入，我发现对于数学家而言这些根本不重要，不足以构成驱使他们前进的动力。正如有人询问著名登山家乔治·马洛里“为什么要登山”，马洛里回答道：“因为山在那里”：

数学家研究素数的理由很简单，因为它在那里。数论可能才是最纯粹的数学，才是数学的初心。

2 素数计数函数

先根据之前给出的素数表绘制一个函数图像：

纵坐标 π(n) 表示的是 n 以内素数的个数。比如从图像上可以看出：

π(n) = 4

这个意思就是 10 以内有 4 个素数（我们知道分别是，2、3、5、7 ）。这个 π(n) 被称为 素数计数函数（Prime-counting function）。

得到素数的精确分布目前还属于天方夜谭，数学家就退而求其次，想知道 π(n) 到底是多少？这就是几千年来素数研究的核心问题。

3 素数定理

高斯和勒让德猜测：

π(x) ≈ x/ln x

后来又有改进的猜测：

π(x) ≈ Li(x) = ∫_2^x 1/ln t dt

把这三个函数图像放在一起，看上去好像确实可以看作近似，并且后者近似还要好一些：

这两个猜测，尤其是后者，都可以称为 素数定理（The Prime Theory），只是此时还没有证明。

4 《论小于一个给定值的素数的个数》

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一：

1859年黎曼被任命为柏林科学院的通讯院士，作为见面礼，黎曼提交了他唯一关于数论的论文，也是唯一完全不包含几何概念的论文，《论小于一个给定值的素数的个数》：

这篇论文总共只有9页，却可以名列最难读的论文之列（黎曼显然高估了阅读者的水平，其中不少结论都没有给出证明，因为他觉得不证自明、一目了然。但是事实是，比如其中证明的一小步，都花费了后人46年的时间才证明出来），同时又是素数研究领域最重要的一篇论文。

听这个论文的名字也知道这篇论文是关于 π(x) 的，确实，在这篇文章中，黎曼居然给出了素数计数函数的准确表达式：

先不管这个函数的细节，看到没，黎曼压根就没有理会什么素数定理，直接给出了 π(x) 的精确表达式，这就是王霸之气，不玩擦边球，来就直捣黄龙，解决主帅。

5 黎曼猜想

π(x) 的表达式并不简单。想想也可以理解，要是初等数学就可以解决的问题，很可能早就被欧拉、高斯这两位数学守门员（形容不要想在这两位大神手里捡漏）给征服了。

π(x) 这个函数分为两部分：

• 黎曼素数计数函数：就是式子中的 J(x) ，下面是它的代数表达式：

J(x) 实际上是黎曼给出的对 π(x) 的近似，也称作 黎曼素数计数函数 ，这个代数表达式的含义之后会细说。

• 修正项：也就是 μ(n)/n ，其中 μ(n) 称为莫比乌斯函数，具体的代数表达式如下：

整个式子的意思就是，通过修正项调整之后，黎曼给出的素数计数函数 J(x) 就完全等于 π(x) 了。

5.1 函数与非平凡零点

要把 J(x) 介绍清楚，先得引入一个 ζ 函数 ：

为什么自变量用 s ，不用 x 呢？因为这是定义在复数域上的函数，而复数域习惯用 s 来表示自变量（之前我就介绍过了，实数的问题如果解决不了，可以尝试升维到复数中去）。

如果尝试解下面与 ζ(s) 函数相关的方程：

ζ (s) = 0

这个方程的解有无数多个，可以分为两类：

• 平凡解：s = -2n ，也就是所有负偶数。这个解看上去就比较简单，也很容易求，所以叫做平凡解，也叫做 ζ 函数的平凡零点
• 非平凡解：s=a+bi ，也就是复数解。这类解就很复杂，现在都没有求出所有的解，而且估计求出这所有解的难度不亚于求出素数的精确分布，目前只是通过暴力运算求出了一些。所以叫做非平凡解，也叫做 ζ 函数的 非平凡零点

至此，黎曼猜想中最重要的两个名词都出现了： ζ 函数、非平凡零点。

5.2 黎曼素数计数函数

好，回头再来看 J(x) ：

这个函数有4部分：

• 第一项 Li(x) ：这个是之前提到过的，关于 π(x) 的一个近似
• 第二项是一个累加：其中 ρ 就是指的 ζ 函数的非平凡零点，就是说把 x 关于所有非平凡零点的 ρ 次方加起来
• 第三项 ln2 ：一个常数
• 第四项是一个积分：x 越大，这项越趋近于0，在 x=2 时取得最大值 0.1400101......，也不是很重要

之前也说了，J(x) 本身就是对 π(x) 的近似，当 0 个非平凡零点时得到的图像如下（蓝色的线条是 J(x) ）：

200个的非平凡零点 ρ （通过暴力计算得到）参与运算时（也就是第二项累加项），J(x) 非常贴合 π(x) ，近似效果比素数定理要好得多：

5.3 黎曼猜想

通过上面的分析，如果可以知道 ζ 函数的所有非平凡零点 ρ ，那么就可以得到精确的 π(x) 。但是非平凡零点 ρ 求解的难度似乎不亚于得到素数精确分布的难度，怎么办？

如果知道 ρ 的范围也可以（下面 Re( ρ ) 表示 ρ 的实部）：

• 如果0 < Re( ρ ) < 1 ：那么素数定理成立，这已经被证明了，历史上素数定理最初也是据此证明出来的
• 如果 Re( ρ ) = 1/2 ：这其实就是黎曼猜想的另外一种描述。如果黎曼猜想成立的，那就可以证出：

也就是知道素数定理中的 Li(x) 到底与真正的 π(x) 有多大的误差。

证明了黎曼猜想，我们就在素数分布上进了一大步。但这只是开始，离真正的素数分布还差得很远。

6 《素数之恋》

希望大家读完这篇文章可以对黎曼猜想有一个粗糙的了解，当然还有很多的疑问：

• ζ 函数的非平凡零点 ρ 怎么就和素数的分布有关系？
• ζ 函数是怎么扩张到复数域的？
• 为什么黎曼会猜想 Re( ρ ) = 1/2 ？
• J(x) 怎么就长那个样子？
• μ(n) 定义成这样有什么动机？
• 关于非平凡零点 ρ 目前我们知道哪些？
• ......

你可以把这篇文章看作一个大纲，或者《素数之恋》的读书笔记，所有的细节基本上都可以在这本书中找到。这本书也是我觉得写得最好的关于黎曼猜想的书。

7 写在后面的

黎曼这篇天才论文开辟了一个时代，其中很多结论虽然未经证明，但对于数学家这不啻于一座宝藏。

黎曼其人，出生贫寒，又遇上欧洲动荡、秩序重建，贵族自身难保，使得他很难像以往天才数学家一样可以获得贵族的资助。贫病交加之下黎曼40岁就因肺结核去世。仿佛天妒英才，上帝好像不想让人类过早地就拆穿了它所有的秘密。

如果黎曼活得长一些，说不定黎曼猜想就可以在他自己手中解决。不过不管怎样，素数的秘密，正如希尔伯特所说，“我们必须知道，我们必将知道”：