一道数学题要怎样才能解出来？
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我们在之前的文章“如何证明 e 和 π 是无理数？”中提到过，某位数学大师（约翰·海因里希·朗伯，Johann Heinrich Lambert）在证明 是无理数时作了如下的假设，该假设是证明中的关键步骤，也是神来之笔：
喜欢数学的同学都会想知道大师是如何灵光一现想到上面的假设的，本文没有办法回答这个问题。不过或许大家读一下著名数学家、教育家波利亚·哲尔吉（Pólya György，1887－1985）写的一本书《怎样解题》：
可以从中找到一些解决问题的普遍原则，从而使得我们离数学大师更近一些。
1 四个阶段
《怎样解题》一开始就给出了本书的精华，解题的四个阶段：
上面的表格是一个思考框架，看上去很枯燥，之后书中给了很多例子来进行说明。本文下面也会通过一个具体的题目来展示该框架。
2 三角形的内接正方形
下面是要解决的具体问题，在一个给定的三角形中求作一个内接正方形：
2.1 理解题目
为了帮助理解题目，老师学生展开了如下的对话（该书有一部分内容就是这样的对话体）：
“未知量是什么？”“一个正方形。”
“已知数据是什么？”“一个给定的三角形，没有别的了。”
“条件是什么？”“要求该正方形是三角形的内接正方形，或者说具体点，要求该正方形某边的两个顶点在三角形的底边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上。”
“条件有可能满足吗？目前的已知数据和条件是否足以推出未知量？”“有可能吧，作一个任意的内接四边形是肯定可以的，但一定要是正方形的话，我不确定。”
2.2 拟定方案
老师会继续尝试引导学生：
“看来你觉得问题并不算简单，有没有可能先满足部分条件？”“你说的部分条件是什么意思？”
“现在条件为，正方形以及四个点在三角形上。你看哪些部分容易满足？”“如果去掉条件中的正方形的话，保证四个点在三角形上很容易。”
“去除条件中的正方形会大大削弱问题，我们应该先尝试尽可能少的削弱。”“那保持条件中的正方形，只要求三个点在三角形上，这样也很容易满足。”
“看了上面的图后有没有产生什么想法？”“我在想有没有可能逐渐扩大这样的正方形，然后第四个点就会落在三角形的边上？这样就得到了四个点在三角形上的正方形。”“画出来看看！”
“看到这些正方形后有什么想法？”“我仔细比划了一下，似乎这些正方形的第四个点都在一条直线上，并且还穿过了三角形的某个顶点。”“恭喜你！答对了！”
很显然，上面的过程太过于顺利了，实际上会有很多次尝试和错误，我相信对于这道题如果你花了足够多的时间是可以走到终点的。当然越难的题可能花的时间越多，比如帕帕终其一生都没有能解开庞加莱猜想。
2.3 执行方案
拟定方案后，我们需要进一步确认该方案的正确性。也就是，给定某 △ABC，任作三个顶点在该三角形上的正方形 DEFG（其中两个顶点在底边 BC 上，D 不在三角形上），连接 BD 并延长交 AC 于 H。过 H 必定可以作出四个顶点都在 △ABC 上的矩形 HIJK，请证明该矩形 HIJK 即为三角形的内接正方形：
证明很简单，观察到其中存在两组相似三角形：
根据相似三角形性质可知有：
结合上 DEFG 是正方形，可得：
证明之后，就可以根据该方案作出某给定三角形的内接正方形了。
2.4 回顾
下面来回顾下解题过程。首先想办法对结果进行检测，比如之前的三角形是钝角三角形，如果修改为锐角三角形是否也可以？很显然是的：
再比如，按道理三角形如果变大，其内接正方形也应该变大。那按照上面的方案是不是会得到更大的内接正方形呢？很显然也是的（下图中的虚线部分对三角形的边长进行了增长）：
这样我们对结果就更有信心了。
2.5 再回顾
我们还可以对之前的题目提出新的问题，比如内接正方形是不是唯一的？对于锐角、直角三角形很容易知道其内接正方形不是唯一的，因为选择不同的底边会得到不同的内接正方形：
但钝角三角形就不容易判断了，先说结论，钝角三角形的内接正方形是唯一的，这需要分两步来证明：
（1）还是以之前的钝角三角形 △ABC 为例，首先 △ABC 只能以 BC 作底边来作内接正方形，以其余的边为底是作不出的，比如下面这样就作不出：
（2）然后证明以 BC 为底所作的内接正方形唯一。假设 △ABC 的高为 h， 底边为 a，其内接正方形 HIJK 的边长为 x：
其中也有两组相似三角形：
可得：
进而可得：
代入 IH=HK=x、BC=a、AN=h 可得：
这说明一旦钝角三角形给定，那么内接正方形的周长就是给定的。再注意到内接正方形的 IH 边必然平行于底边 BC，不论将其上移、下移长度都会变化：
因此 IH 必然只能在一个位置上，因此钝角三角形的内接正方形是唯一的。
3 小结
按照《怎样解题》的思考框架进行解题，看似繁琐，不过确实可以提高解题能力。平时多加进行练习，多花时间，最终在遇到难题时就有了一战之力。
