数学的争锋与“证伪”
细读书评
康宏逵老先生的书评，初看看不懂，只感觉是对这样一本丰富、有趣的书的高深莫测的讨论。直到自己也写书评，决意细细滤清书中人物的观点和议论时，才清醒地意识到这场讨论里存在的大象。拉卡托斯隐身于这间教室，如果前半部分一路走到一证多驳法，还可以说只是对历史情境的再现，其中未掺杂拉卡托斯本人的主观感受的话，那么后半部分论及概念的形成与扩张、分析与综合的关系，忽然就少了百家争鸣，而只成了他本人的演说场了。
因而，本书是可以一遍遍精读的书。初读可以是数学哲学的启蒙，领会直觉主义和形式主义的要义；再读可以是数学史一条线索的回顾，柯西、勒贝格、布劳威尔、庞加莱、希尔伯特的身影时隐时现；细读则看到拉卡托斯本人的科学哲学进路，概念的伸缩扩张、启发式反驳或归纳，以及其中种种（或许作者自己还未能察觉）的矛盾对立。成书与库恩的《科学革命的结构》相近，这使得拉卡托斯还不至于陷入波普尔和库恩论证的框架内，也不必过于繁复地在理性主义和非理性主义之间纠缠。而对于读者来说，也可以避开科学哲学到科学社会学的转向，从书中发现新的思路。
初读书评
（初读和细读后的感受大不相同。或许初读时的笔记更有助于回顾，犹豫之后还是放出。）
1 直觉主义的隐晦与形式逻辑的窠臼
作者虽然是20世纪中早期的学者，但依旧能透过时间看到今日的窠臼。借欧拉公式“V-E+F=2”的讨论，一是对希尔伯特以后数学形式化的批判，二是于数学的教条主义与怀疑主义（或非理性主义）之间的寻找出路，三是借此构建自己的证明-反驳式的数学发展模型，并区别于波普尔的证伪理论。
一方面，作者认为关于“欧拉多面体”的定义绝不是不证自明的。此处他援引了波普尔的态度：“若一些定理是显然的，便须解释为什么会有人在它们之上犯错误，换言之，为何真理并非对一切人皆是显然。每一种教条主义认识论都根据各自特有的错误论，提供各自的特殊疗法，以清除思想中的错误。”也即，从对“简单多面体”的质疑出现开始，数学家就有必要去回应这个问题，不能简单地将其推向直觉。
书中，Delta和Alpha是这种直觉主义观点的持有者。Delta是一个朴素的理性主义者，他只愿将问题域界定在原本期望的概念之中，因而面对质疑，他企图回避，但又不得不一再修改原始定义、或者增加限定条件。这种保守，在当时不免被讽刺为教条，从而丧失了阵地。（直到20世纪语言学和分析哲学的兴起，才重新略略地为Delta的观念正名。见Pi，8.c）。
而Alpha，作者设计了他从早期纯粹的怀疑论者到后期现代直觉主义者的演变。Alpha反对过于形式化的体系，他认为语言的含混不应干扰到定理本身的正确性。
数学的语言表述——证明分析——对交流来说使必须的，但无关大局。……语言的含混性既然让证明分析的严格性不可企及，我们又何必为定理烦心？……语言虽然是含混的，思想却可到达绝对的严格性。——Alpha
数学是一套本质上不用语言的心理活动。——借用 布劳威尔 数学自身的真实完善性与数学语言的真实完善性之间看不出什么必然的联系——借用 布劳威尔
但是实践中的Alpha，总是试图隐藏一些先验条件，因而遭到嘲笑。比如这里作者依旧借用逻辑学家Gamma的话称：
这套“水晶般清楚的”证明理论是彻头彻尾的心理主义。——Gamma反驳Alpha
另一方面，作者也并未轻易地允许“改良派”踏入证明的领地。显而易见的，这种重新定义势必受到数学家和语言学家的重重审视，因而不得不一而再地进行修改，作者很好地总结了这个“策略性撤退”的过程。但更加深刻的是，作者始终关注，变化后的数学定义，究竟是否带来了更多的（a）确定性：有关命题的知识（b）“终极性”。尤其，这里的“终极性”，讨论了是否仅为了语言上的必要而将原命题的问题域缩小，进而知识量缩小。
为平衡这种确定性和终极性，作者最终借由Lambda说出了现在科学界盛行的“一证多驳法”，在这里，为了保证定理的准确无误性，数学家必须找到尽可能多的反例，然后再将这些反例排除在定理本身之外。作者犀利地指出，这样一个知识探索的过程，其本身已不再能被简单概括为传统的“提出命题”“证明命题”“得到定理”的三段式中，而变成了一个证明与反驳结合在一起的“怪物”，它更适合被命名为“证明分析”，以区别于传统的三段式的“证明”。在这之中，证明与反驳已不再有清晰的界限：
不但反驳是证明分析的发酵剂，并且证明分析亦是反驳的发酵剂了！——Sigma，5.c P47
逻辑证明的好处便不在其强立信念，却在唤起了怀疑。——Gamma，5.c P48
这不得不为非经典逻辑（Sigma，三值逻辑）开辟了空间。在这里，真或假已不再有清晰界限；又或者，也有历史主义或者不可知论的复苏（Kappa，“证明中有一种无穷回归现象；故证明并不行其证明之实”，4.e P38）
于是，这个形式化的过程被作者无不辛辣地总结为：
一个真正的怪物：没有证明的证明分析
到这里，基本上就再现了数学界对欧氏几何之后的几何学问题的种种哲学争议。虽然作者后来又提及了语言学家的研究和几何学矢量化的趋势（代数几何），但整体上来讲已经非常清晰地展现了数学界直觉主义和形式主义两大学派的分歧和各自的利弊。面对这种先天矛盾，在彻底倒向实用主义并彻底放弃数学哲学的探索之前，我想重新记录下问题的肇始，不论何时，他们的启迪终有意义：
以前，一个新的多面体被发明出来，是为了某个实用的目的；如今它们被重新发明出来，是为了使我们先辈们的推理变得不可靠，而除了这套，就没有什么东西可向它请教。我们的主题被转换成了一个畸形的博物馆，正派的普通多面体若能在这里保留一块很小的角落，也就觉得满足了。——Delta，4.b P19
我认为，倘若我们想真正深入地了解某样东西，我们必须以批判的态度，高度兴奋地、热情地研究它，而不是在其“正常的”、固定的、通常的形式下。要想让精确的分析进入该主题的核心处，就得走这条路。——Gamma，4.b P19
2 证明-反驳的知识论
数学家可以终止于一定的实用主义，但数学哲学家并不是。本质上，作者希望借用对这段数学史中证明、反驳过程的回顾，为数学的知识论下新的注脚。这里，可以大略地分为了三个子部分：借Omega和Mu讨论的知识发展的拓扑学、借Pi提出的“概念形成的一般讨论”和借Zeta引出的演绎理论以及分析与综合的关系。
借用Omega和Mu，作者总结了之前的辩论过程，将证明与反驳的过程中寻找反例或者寻找反例的反例的过程中，问题域存在不断变小而后又扩大的现象，总结为三个互有诱发的问题域——“证明的范围”、“证明分析的范围”和“朴素的证明范围”，作者借用Mu，指出这三个问题域是有拓扑的性质的，进而发问拓扑学上通常需要考虑的极限、上下界问题。
借Pi，作者希望调和直觉主义和逻辑主义的传统。他认为如上的知识拓扑学问题受到初始问题域的强烈影响，不同的起始问题，很可能会导致不同的方法和结论。这里，他很有建设性地提出了“概念扩张”和“概念收缩”为Delta朴素的理性主义做辩护。
这本书就在代数几何的序幕中戛然而止。
