理解无限——简明扼要的数学哲学发展史

当我向别人推荐这本书的时候，我都会加上一句：“这本书的标题似乎不大恰当。”的确，这个标题涵盖了某些结论的某个部分，却不能说明这本书的主题和内涵。或许标题的噱头在于读者看到这本书似乎会立刻想起：“数学怎么会不确定呢？”然后会疑惑不解并进而有阅读的欲望。但我宁愿相信作为著名数学史专家克莱因一定没有为这本书赋这个书名，却更像是出版社的编辑为加噱头所致。
 
我在读这本书之前读过其他一些有关数学史、数学思想史的书籍，所以在读这本书的时候，很多的典故都曾经看过。如果有在大学本科修过一门叫“数学史”的课程的话，肯定听说过所谓“三次数学危机”。基本上来说，这本书就是围绕着这些“数学危机”展开。之所以称之为危机，正在于数学在科学中的核心地位以及危机发生的形式。

如果将这些“危机”尝试归纳总结的话，大致可以表述为“有关无穷的数学逻辑基础”。如何理解无理数、如何理解正确理解微积分、是否承认实无穷的存在、分析在数学上的应用、集合论以及超越数都涉及到无穷这个概念。事实上在逻辑都成为了数学的一个分支的现在，我们甚至怀疑逻辑本身（参见第十章及第十一章）。导致数学基础的“无穷”出现瑕疵的关键或许正在于我们的逻辑本身充满瑕疵。

我们一般认为，数学是建立于实际世界给我们的直观之上的抽象产物。而这样一个概念，恰恰是长期数学发展过程的“去魅化”的结果。在康德以前，人们还并非真正意识到“人为自然界立法”，而康德的知识论体系使人们意识到，数学并非从孤立的真理中而生，它恰恰是人类头脑抽象能力的结果。换句话说，物理世界引发了数学抽象。

如果从这个意义上考虑，逻辑本身并不完美实际上很容易接受：逻辑是作为人类的一种适应性创造工具，而不是作为先验真理而生。既然承认逻辑的瑕疵，若我们再尝试纯粹的通过逻辑找寻数学大厦的基础，似乎不妥。哥德尔不完备性定理告诉我们，任何一个对应着实数系统的公理化演绎体系，一定有一个定理既不能证明也不能证伪。当公理系统的基础推向无限（如果我们寻求一个完备性的公理体系的话），这个公理化体系必然失去其意义：我们无法接受一个具有无穷个公理的体系，而我们一开始想做的，恰恰是希望把无限归之于有限。但或许，这不过是黄粱一梦。

也许想要理解无限的我们根本是在痴人说梦：妄图用有限形式去描述无限本身就是不可能的。逻辑只能在有限的范围内告诉我们对与错，当需要判定的定理达到“无穷”时，需要的信息量与需求的分析能力似乎也是无穷的。

如果妄图在一个开放的系统寻求封闭体系的完备性是不可能的，那么只需要承认体系并不封闭，问题似乎就解决了。就好像回到了黑格尔的辩证法一般，认为数学体系是需要不断弥补和前进的，认定我们可能永远也找不到一个真正完美的数学基础，从而尝试在数学的历史与实践中获得数学体系的新生。

作者就是这么回答这个问题的。在最后两章中，作者着力提出了这样一个问题：我们怎么认可数学系统的合理性和有效性？当然，我们只能到物理世界中寻找。许多的数学基础并不完备，但并不妨碍它在物理中的应用。认为物理世界中的“实践”支撑数学大厦的基础并不过分：“数学就好像一棵大树，树冠越来越繁茂，而树根就需要扎的越来越深。”树根作为树冠的根基，恰恰是与树冠一同伸长的。一个“确定性”的树根恰恰意味着数学的死亡。

如果问我全书读毕有什么感想，那么或许就是“欣慰”。我庆幸数学的基础并未确定，从而相信，数学的未来有着超越我们想象空间的，更大的可能和发展。