Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics, V. 19) GSM/19 (豆瓣)

作者: Lawrence C. Evans
出版社: American Mathematical Society
出版年: 1998-06-01
定价: USD 83.00
装帧: Hardcover
丛书: Graduate Studies in Mathematics
ISBN: 9780821807729

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　　Graduate Studies in Mathematics (共74册), 这套丛书还有《Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces》,《4-Manifolds and Kirby Calculus》,《Toric Varieties》,《A Course in Differential Geometry (Graduate Studies in Mathematics)》,《An Introduction to Measure Theory》等。

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2.2.5 Laplace方程的能量方法对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。在这里，Dirichlet's Principle保证了该能量泛函I[w]的局部能量最低点的变量u正是原方程的解。大概因为Poisson方程还算简约，又是线性，证明居然能看懂，料想高阶情况用此变分法时，会忍不住怀疑人生。
2011-04-08 14:22

2.2.5 Laplace方程的能量方法
对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。
在这里，Dirichlet's Principle保证了该能量泛函I[w]的局部能量最低点的变量u正是原方程的解。大概因为Poisson方程还算简约，又是线性，证明居然能看懂，料想高阶情况用此变分法时，会忍不住怀疑人生。

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2.3.1 热方程基本解仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE...
2011-04-08 14:28

2.3.1 热方程基本解
仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。
我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE，胡乱凑一下，解该ODE，就可以得到很开心的基本解了。
为了让以后和边界条件卷积时方便，把那个开心的基本解安排为关于全平面的积分恰好是1。热方程有了初始条件会怎么样呢？书中Th.1和证明也很是明快，取领域、挖球、放大、坐标变换什么的，PDE真是练手艺……

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2.3 热方程热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。
2011-04-08 14:26

2.3 热方程
热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。
现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。

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2.2.4 格林函数想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下： $$ G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y), $$ 前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界...
2011-04-08 14:19

2.2.4 格林函数
想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下：
$$
G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y),
$$
前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界$\partial U$上与原函数相等。
构造完毕后利用一般解的形式就可以给出泊松公式了。

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2.2.4 格林函数想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下： $$ G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y), $$ 前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界...
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2.2.4 格林函数
想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下：
$$
G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y),
$$
前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界$\partial U$上与原函数相等。
构造完毕后利用一般解的形式就可以给出泊松公式了。

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2.2.5 Laplace方程的能量方法对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。在这里，Dirichlet's Principle保证了该能量泛函I[w]的局部能量最低点的变量u正是原方程的解。大概因为Poisson方程还算简约，又是线性，证明居然能看懂，料想高阶情况用此变分法时，会忍不住怀疑人生。
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2.2.5 Laplace方程的能量方法
对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。
在这里，Dirichlet's Principle保证了该能量泛函I[w]的局部能量最低点的变量u正是原方程的解。大概因为Poisson方程还算简约，又是线性，证明居然能看懂，料想高阶情况用此变分法时，会忍不住怀疑人生。

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2.3 热方程热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。
2011-04-08 14:26

2.3 热方程
热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。
现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。

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2.3.1 热方程基本解仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE...
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2.3.1 热方程基本解
仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。
我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE，胡乱凑一下，解该ODE，就可以得到很开心的基本解了。
为了让以后和边界条件卷积时方便，把那个开心的基本解安排为关于全平面的积分恰好是1。热方程有了初始条件会怎么样呢？书中Th.1和证明也很是明快，取领域、挖球、放大、坐标变换什么的，PDE真是练手艺……

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2.3.1 热方程基本解
仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。
我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE，胡乱凑一下，解该ODE，就可以得到很开心的基本解了。
为了让以后和边界条件卷积时方便，把那个开心的基本解安排为关于全平面的积分恰好是1。热方程有了初始条件会怎么样呢？书中Th.1和证明也很是明快，取领域、挖球、放大、坐标变换什么的，PDE真是练手艺……

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2.3 热方程
热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。
现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。

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2.2.5 Laplace方程的能量方法
对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。
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想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下：
$$
G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y),
$$
前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界$\partial U$上与原函数相等。
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