Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics, V. 19) GSM/19 (豆瓣)

作者: Lawrence C. Evans
出版社: American Mathematical Society
出版年: 1998-06-01
定价: USD 83.00
装帧: Hardcover
丛书: Graduate Studies in Mathematics
ISBN: 9780821807729

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丛书信息

　　Graduate Studies in Mathematics (共78册), 这套丛书还有《Gröbner Bases in Commutative Algebra》,《Configurations of Points and Lines (Graduate Studies in Mathematics)》,《Topics in Optimal Transportation》,《An Invitation to Arithmetic Geometry》,《A Course in Differential Geometry (Graduate Studies in Mathematics)》等。

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无论是一部作品、一个人，还是一件事，都往往可以衍生出许多不同的话题。将这些话题细分出来，分别进行讨论，会有更多收获。

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2.2.5 Laplace方程的能量方法对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。在这里，Dirichlet's Principle保证了该能量泛函I[w]的局部能量最低点的变量u正是原方程的解。大概因为Poisson方程还算简约，又是线性，证明居然能看懂，料想高阶情况用此变分法时，会忍不住怀疑人生。
2011-04-08 14:22

2.2.5 Laplace方程的能量方法
对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。
在这里，Dirichlet's Principle保证了该能量泛函I[w]的局部能量最低点的变量u正是原方程的解。大概因为Poisson方程还算简约，又是线性，证明居然能看懂，料想高阶情况用此变分法时，会忍不住怀疑人生。

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2.3.1 热方程基本解仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE...
2011-04-08 14:28

2.3.1 热方程基本解
仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。
我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE，胡乱凑一下，解该ODE，就可以得到很开心的基本解了。
为了让以后和边界条件卷积时方便，把那个开心的基本解安排为关于全平面的积分恰好是1。热方程有了初始条件会怎么样呢？书中Th.1和证明也很是明快，取领域、挖球、放大、坐标变换什么的，PDE真是练手艺……

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2.3 热方程热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。
2011-04-08 14:26

2.3 热方程
热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。
现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。

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2.2.4 格林函数想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下： $$ G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y), $$ 前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界...
2011-04-08 14:19

2.2.4 格林函数
想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下：
$$
G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y),
$$
前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界$\partial U$上与原函数相等。
构造完毕后利用一般解的形式就可以给出泊松公式了。

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2.2.4 格林函数想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下： $$ G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y), $$ 前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界...
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2.2.4 格林函数
想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下：
$$
G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y),
$$
前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界$\partial U$上与原函数相等。
构造完毕后利用一般解的形式就可以给出泊松公式了。

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2.2.5 Laplace方程的能量方法对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。在这里，Dirichlet's Principle保证了该能量泛函I[w]的局部能量最低点的变量u正是原方程的解。大概因为Poisson方程还算简约，又是线性，证明居然能看懂，料想高阶情况用此变分法时，会忍不住怀疑人生。
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2.2.5 Laplace方程的能量方法
对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。
在这里，Dirichlet's Principle保证了该能量泛函I[w]的局部能量最低点的变量u正是原方程的解。大概因为Poisson方程还算简约，又是线性，证明居然能看懂，料想高阶情况用此变分法时，会忍不住怀疑人生。

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2.3 热方程热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。
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2.3 热方程
热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。
现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。

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2.3.1 热方程基本解仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE...
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2.3.1 热方程基本解
仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。
我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE，胡乱凑一下，解该ODE，就可以得到很开心的基本解了。
为了让以后和边界条件卷积时方便，把那个开心的基本解安排为关于全平面的积分恰好是1。热方程有了初始条件会怎么样呢？书中Th.1和证明也很是明快，取领域、挖球、放大、坐标变换什么的，PDE真是练手艺……

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2.3.1 热方程基本解
仍是先找基本解。倘若我们手里已经有一个解，观察到对它作特定的伸缩后，还是解。当然由该伸缩也可见时间和空间是不协调的。照猫画虎，我们先做一个伸缩不变的形式解，再找出它的具体样子，看看轮廓如何。
我们只需要找一个解，但原方程有n+1个变量……不妨决绝一点，先利用构造出来的伸缩形式去掉t，方程就只与空间有关了，再让u关于空间镜像对称，又去掉了n-1个变量了。手起刀落，一个PDE就变为一个ODE，胡乱凑一下，解该ODE，就可以得到很开心的基本解了。
为了让以后和边界条件卷积时方便，把那个开心的基本解安排为关于全平面的积分恰好是1。热方程有了初始条件会怎么样呢？书中Th.1和证明也很是明快，取领域、挖球、放大、坐标变换什么的，PDE真是练手艺……

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2.3 热方程
热方程区别于Laplace方程之处，仅是多了一项关于时间的导数。
现在边界可能有两部分，一是空间的边界，一是时间的边界，即零时刻的初始条件。如果将U视为全平面，就只需关心t的初始条件了。

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2.2.5 Laplace方程的能量方法
对拥有边界条件的Poisson方程，不妨构造其能量泛函，找出临界点，在临界点的领域内，都有任意方向导数为0，能量泛函的方向导数恰好让我们看到原方程的解。
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2.2.4 格林函数
想法是为Poisson方程$-\Delta u = f$找个解的一般的表达公式。可以通过在定义域中构建一个格林函数完成这件事。格林函数形式如下：
$$
G(x,y) = \Phi (y-x) - \phi^x (y),~(x,y \in U, x \neq y),
$$
前一部分是奇异的，后一部分是正则。这个函数需要的条件较严格，书中示范了在half-space $R_{+}^{n}$和单位球$B(0,1)$如何构造格林函数，为了满足奇异性，都需要做$\Phi (y-x)$的镜像函数，该镜像函数在边界$\partial U$上与原函数相等。
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