机会的数学

机遇、机会、偶然性、随机性等概念有同一意义，指一种在事前没有确实把握，只能在事后见分晓的情况。 概率就是在偶然性中寻找规律性的东西，将机遇数量化的方法。

1.1 古典概率—比率 排列和组合(要注意区分) 有4个相异的物件：A、B、C、D，从这4个中取2个来排列，做法有： AB、BA、AC、CA、AD、DA、BC、CB、BD、DB、CD、DC 12种。

从这4个中取2个来组合，做法有： AB、AC、AD、BC、BD、CD 6种。

区别在于：排列讲究次序而组合则不，AB、BA算是不同的排列，但却是同一组合。

举例：某中学要从4人中挑选2位，分别担任校长和副校长，则选法有12种(此处有次序，是排列) 若从4位运动员中挑选2位，则选法有6种(此处次序无意义，是组合)。

排列： 一般的，有n个相异物件，从其中取出r个进行排列，做法共有P(n, r)=n(n-1)...(n-r+1) (用乘法原理即可证明)。当n>r时，称选排列；n=r时，称全排列。P(n, n)=n!

组合： 从n个相异物件中取r个组合，做法共有 C(n, r)=P(n, r)/r! = n(n-1)...(n-r+1)/r! = n!/(n-r)!r! 因为每一个由r个物件构成的组合，都可以将这r个物件任意排列，其数目为r！，所以排列数P(n, r)应为组合数C(n, r)的r！倍。

用排列(或组合)的安排去体现等可能，就是把总数P(n, r)的各种排列(或C(n, r)的各种组合)看成是等可能的。

用两个例题来讲述排列组合的差异

例1：有4双大小不一的鞋共8只，随意分4堆，每堆2只，问事件A：每堆都恰成一双的概率。 解：可以从排列角度考虑； 将8只随意排成一列，取最左的两只为一堆，次左两只为一堆，依此类推。 排列的等可能性保证了分堆的等可能性。 由上述思想，试验的所有可能结果N=8！ 有利于事件A的排列总数可如下考虑： 左一可从8只中任选一只，有8种取法。取定后，左2必须与之配对，只有1种取法。左3可从剩下的6只中任选一只，有6种取法，取定后，左4只有一种取法，依次类推。。。。 所以，有利于事件A的排列数为NA=8*1*6*1*4*1*2*1 所以P(A)=NA/N = 1/105