作者:
[美] 保罗·霍夫曼 出版社:上海科技教育出版社 副标题: 埃尔德什传 原作名: The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth 译者:
米绪军/章晓燕等 出版年: 2000-8 页数: 258 定价: 21.00元 装帧: 平装 丛书:哲人石丛书 ISBN: 9787542823731
〈数字情种〉译自Paul Hoffman的〈The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth〉 这本书中有很多非常有意思的数学家轶事，最广为人知的是Erdos有500余位合作者，写出过超过1500篇论文，论篇数他第一，但要算论文总长度，...
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1913-1996
一生中同485位合作者发表过1475篇数学论文.论文数仅次于Euler
－－1－－
一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器.
——P. Erdos
前面所引的那段话暗示了一天工作19个小时以上(在古稀之年依然如此)的Erdos对兴奋剂的依赖.1979年,他的朋友Graham与Erdos打赌,只要他一个月之内不服用安非他明,Graham就输给他500美元.Erdos成功地赢得了这次打赌,但他对Graham说:"你帮我证明了我不是一个瘾君子,但在这段时间内我一无所成.我早晨起来就盯着一张白纸发呆,毫无主意,跟普通人没有什么区别.你因此使数学的发展滞后了一个月."所以他随后便重新开始服用兴奋剂.
－－2－－
SF创造我们就是为了拿我们的痛苦取乐,我们死得愈早,他的计划就愈早落空.
——Erdos
Erdos并不敬畏上帝,死亡对于Erdos的唯一意义就是使他无法再进行数学研究,所以他经常说:"在坟墓里有的是时间休息."
Erdos从事数学研究的方式很独特.他总是游历于世界各地的大学和研究所,登门拜访那里的数学家,向对方宣布:"我的头脑敞开着."然后他们便开始讨论数学问题,一连持续几天,直到双方都厌倦了为止.他从不在一个城市里连续呆上一个月(Another roof, another proof.)
－－3－－
出生的不幸是什么时候降临在你头上的?
——Erdos 常用的问候语
Martin Gardner第一次见到他的时候,他问Gardner:"你是什么时候到的?"Gardner连忙看表,这时Graham小声告诉他,对于Erdos来说,这句话的意思是:"你是什么时候出生的?"
－－4－－
一个数学家必须是在每个星期都有一些新的研究工作才成为数学家.
——Erdos
Erdos见到他的同行时,总喜欢问:"你昨天有什么新的发现?"可事实上并不是每个数学家都能像他那样每年发表50多篇论文!
－－5－－
我只要拿张纸,坐下,就能思考.
——Erdos
在很多张Erdos的照片上,他都是低着头的.这种姿势很容易让人以为是在打盹,但Erdos声称他是在思考问题.
1939年,Erdos曾听过M.Kac在Princeton研究所做的一个报告.事后Kac这样回忆道:
"在我报告的大部分时间内,他都快要睡着了.报告的内容跟他的兴趣毫不沾边.在将近结尾时我大致说了一下我在素因子方面遇到的困难.一提起数论,Erdos马上就精神起来,让我再解释一下到底困难在哪.不到几分钟,报告还没有结束,Erdos就打断我的讲话并宣布问题解决了!"
注:Mark Kac,波兰裔美籍数学家,主要研究概率论与数学物理,有以他名字命名的Feynman-Kac公式.
－－9－－
我不明白为什么我们初次见面时他会那样--说的全是数的平方和各种各样的证明.在我渐渐了解他之后,我发现他并不是那种喜欢过分张扬的人.……所以我真的不能解释为什么他总是在说他所知道的所有证法.
——A.Vázsonyi对Erdos的回忆
1930年,17岁的Erdos第一次见到14岁的Vázsonyi时,前者对后者说的第一句话是:
"给我举出一个4位数."
Vázsonyi答道:"2,532."
"它的平方是6,411,024. 对不起,我老了,否则我会立即告诉你它的立方."
Erdos又问道:"你知道毕达哥拉斯定理的多少种证法?"
"1种."Vázsonyi说.
"我知道37种.你知道位于一条直线上的点不能构成可数集合吗?"继而Erdos给出了一种证明方法,然后他说他必须跑了.
六十七年后,Vázsonyi仍然清晰地记得当时的情形:
"当Erdos说他必须'跑'时,他像只大猴子一样驼着背,侧着身子,摇摆着双臂,沿着街一溜儿小跑,引得行人时时回头观望.……当他年纪稍大之后,他的步态不太像猴了,但仍有些奇怪.他老是走得很快,甚至发展到会向一面墙直冲过去,然后突然止步,猛然掉头,再往回跑.有一次他没能止住脚步,一下子撞到墙上,弄伤了自己."
政治并不能干扰Erdos和他的朋友们对数学的兴趣.Vázsonyi回忆说:"他(Erdos)沉浸在素数的世界里,素数是他的一切,他与素数之间似乎有着某种奇妙的密切关系."
大学一年级时,Erdos便证明了Bertrand猜想:"在n和2n之间总存在一个素数,其中n是大于1的整数."这个猜想最初是在1848年由Chebyshev证明的,但Erdos的证明比Chebyshev的要简单得多,轰动了匈牙利数学界
20岁时,Erdos便宣称要用古希腊时期流传下来的Eratosthenes筛法来给出素数定理的初等证明,若干年后他果然做到了.这是后话.
注:Joseph Louis Francois Bertrand,19世纪法国数学家,在数论、概率论、几何、微分方程等领域均有贡献.
Pafnuty Lvovitch Chebyshev,19世纪俄国数学家,在数学许多领域有开创性工作,是俄国数学的奠基人.
Eratosthenes,与Archimedes同时代的学者,曾任亚历山大图书馆馆长.
－－12－－
最好的数学既是美的,同时又是严肃的.
——G.H.Hardy
在Erdos抵达英国的第二天,还发生了另外一件事,可能对他的影响更大,那就是他遇见了那个时代最为纯粹的数学家--Godfrey Harold Hardy.
数学家有很多种类型,像Erdos这样的可谓凤毛麟角.(不过好象公众心目中的数学家都是Erdos这样子的.)Hardy可谓是跟Erdos截然相反的一类数学家.
Erdos每天工作19个小时,Hardy的生活则有规律得多:他每天只花4个小时(上午9点到下午1点)用于数学研究,下午打板球和网球,晚上与B.Russell,C.P.Snow, G.E.Moore, A.N.Whitehead,J.M.Keynes,G.M.Trevelyan,E.M.Forster,L.Strachey,L.Woolf等人热烈交谈.
Erdos只对数学感兴趣,Hardy的兴趣则广泛得多.有一年,他在给朋友的明信片里谈了他新年的6项打算:"1.证明Riemann假设;2.不能让211队在奥威尔举办的板球决赛阶段第四局比赛中出局;3.找到足以让公众信服的证明上帝不存在的论据;4.成为登上珠穆朗玛峰的第一人;5.成为苏联、大不列颠及德意志联合王国的首任总统;6.谋杀Mussolini."
Erdos是天生的流浪者,Hardy则憎恶旅行,尤其是害怕坐船.如果Hardy不得不乘船出海,他就会给朋友寄一张明信片,宣称自己已经证明了Riemann假设.他认为这样一来上帝就不会让他在旅途中死去,因为上帝--他"个人的敌人"--是不会让他享有证明Riemann假设的荣誉的.
Erdos其貌不扬,看上去还有些神经质,Hardy则是出了名的美男子,十足的绅士.
注:Godfrey Harold Hardy,剑桥分析学派后期的领袖人物,主要研究调和分析与解析数论.
Bertrand Russell,20世纪最著名、最重要、最卓越的思想家之一,曾获1950年Nobel文学奖.
Alfred North Whitehead,英国数学家、哲学家,著有《数学原理》(与Russell合著)、《过程与实在》、《观念的历险》等.
John Meynard Keynes,有史以来最伟大的经济学家之一.
Georg Friedrich Bernhard Riemann,19世纪德国数学家,在数学的许多领域内均有天才的开拓性工作,对20世纪数学的发展有着难以估量的深远影响.
John Edensor Littlewood,英国数学家,与Hardy密切合作达35年,共同撰写了100篇论文.
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan,天才的印度数学家,对无穷级数和数论有着惊人的直觉."偷看过天书的人"
－－13－－
明年哥廷根见!
——Erdos理想中的犹太人祝酒辞
到英国后,Erdos开始了他的流浪生涯.他频繁来往于英国的各个大学之间,从没有连续七天呆在同一个城市.那时候世界数学的中心是哥廷根大学,尽管希特勒的兴起已使哥廷根开始衰落.Erdos一直想去哥廷根,但作为犹太人的他始终没有达成这个心愿.
他每年要回布达佩斯三次,看望双亲和老朋友.有一次,在他回家期间,Vázsuoni正研究一个图论问题,并找到了这个问题的必要条件.他回忆道:"我几乎天天与Erdos见面.但我犯了一个致命的错误--我在电话里把自己的发现告诉了他.我称这个错误是致命的,是因为他在20分钟后就回电告诉了我证明充分性的方法.'该死的,'我想,'现在我只好和他合作写这篇论文了.'这个著名的Erdos数'1'究竟给我带来了什么,我几乎一无所知."
－－14－－
Wir Mathematiker sind alle ein biβchen meschugge.
(我们数学家都有些疯狂.)
——E.Landau曾对Erdos说的一句话
Harold Davenport的妻子Anne Davenport回忆说:"有一次在三一学院,我想大概是在30年代,Erdos和我丈夫在一个公共场所思考了一个多小时而彼此一言不发.最后,Harold说:'这不是0,而是1',这才打破了长时间的沉寂.然后就是如释重负、一片欢欣了.他们周围的人都以为他们疯了.的确,他们是疯了."
注:Edmund Landau,德国数学家,主要研究数论与复变函数,曾在柏林大学和哥廷根大学任教授.Erdos没去过哥廷根,Landau却访问过剑桥,他们可能就是在剑桥见面的.
据说Landau怀疑Littlewood这个人的存在性,所以专程去英国看了一下.这个故事还有另外一种版本,说Wiener在访问剑桥时遇见了Littlewood,便说:"哈!原来还真有你这么一个人!我还以为Littlewood是Hardy发表那些写得不太好的文章时所用的化名呢!"Wiener对这个笑话感到非常苦恼,专门在自传里辟了谣.
－－15－－
人们研究你是因为你是一个数学家,而不是因为你研究Leibniz.
——Erdos对Godel如是说
1938年9月3日发生了捷克事件.那天Erdos正在布达佩斯,他当晚便匆匆赶回英国,几周后又去了美国,到位于Princeton的高等研究所(Institute for Advanced Study)工作.
Oppenheimer曾称高等研究所是一座疯人院,许多年以后他自己成为这家疯人院的院长.在这里,Erdos肯定算不上是天才,但却仍然显得很怪异,因为一年半以后他就因为过于"uncouth and unconventional"而被解聘了.不过天真的Erdos却把在研究所的这段日子称为他在数学上最有成果的时期.
当时的高等研究所拥有世界上最出色的一批数学家,比如说Godel. 那时候Godel的兴趣已经转向了形而上学,所以Erdos常与他吵得不可开交.
Godel晚年患精神病.疑心别人下毒只吃妻子的食物.妻子住院后他饿死.
注:Gottfried Wilhelm Leibniz,17世纪德国百科全书式的学者,微积分的创始人之一.
Kurt Godel,奥地利裔美籍数学家、逻辑学家.
James Waddell Alexander,美国拓扑学家.
Harold Marston Morse,美国数学家,Morse理论的创立者.
Claude Hugo Hermann Weyl,Hilbert的得意门生,20世纪最伟大的数学家之一.
－－16－－
我知道Einstein绝不信奉人格化的上帝,因为我问过他.
——Erdos
如同那个时代曾待在Princeton的其他人一样,Erdos曾有幸与Einstein交往.有一次在Einstein家吃午饭时,Erdos把自己最钟爱的素数理论讲给Einstein听.Einstein对这一理论的评价很高,但他对细节并不感兴趣.
他们两人主要讨论的话题还是政治.Erdos一向很关心政治,经常就世界政治和人类的普遍问题发表一些悲观言论.
原子弹的问世使Einstein再次成为世界关注的焦点,--尽管没有Einstein也能造出原子弹.Erdos曾问Einstein:"40年前你想到过你的质能方程会在你的有生之年得到应用吗?"Einstein说:"我没料到.我曾想也许最终会得到应用,但没料到会那么快."
其实像Einstein或者Erdos这样的科学家并不很关心自己的理论能否得到应用.一个极端的例子是Erdos曾经拜访过的Hardy,他就宣称最好的理论是毫无用处的,比如数论和相对论,--不幸的是他举的这两个例子都错了.
－－17－－
他在Princeton的大街上走来走去,挥舞着双手,旁若无人地比划着.
——Louise Straus对Erdos的回忆
每当他在自己的宿舍里住腻的时候,他就跑到他的数学助手Ernst Straus的家里呆上若干天.
那时Straus夫妇经常在半夜里听到一声巨响,那是Erdos在开窗户,--他从没想到应该轻轻地把窗户放下.他不会使用淋浴器,不会把水龙头关上.他到公用电话亭里彻夜不停地往里面塞硬币,给世界各地的数学家打电话,宣称自己在Straus家里,然后和他们讨论问题.他还邀请附近的一些朋友到这里来,不管主人是否同意.
许多年以后,Straus说:"Einstein曾对我说过……对于一个科学家而言,首要任务是解决核心问题,而不为其他问题所动--无论那些问题多难,多么具有诱惑力.Erdos完全违背了Einstein的这一番话,但他却取得了成功.他几乎痴迷于他所遇到的每一个难题,并成功解决了其中的大部分."
－－18－－
你应该找一份实际的正经工作.
——Halmos对Erdos的劝告
P.R.Halmos曾记载过Erdos在Princeton时的另一个故事.Hurewicz曾经提出过这样一个问题:Hilbert空间中有理点集合的维数是多少?Erdos听到这个问题后,便问"Hilbert空间"和"维数"各是什么意思.有人把定义告诉他,很快Erdos便得出了答案.这是Erdos对一个他几乎一无所知的领域作出的贡献!
－－21－－
数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作,他可能在走路、吃饭甚至谈天时继续思考.
——Ulam
其实Erdos无论如何都不可能被接纳到曼哈顿工程中的,因为他在FBI早已有了案底.
1941年,他还在Princeton的时候,有一次与两名Princeton的学生,加久谷静雄和A.H.Stone,一起去Chicago参加一个会议,途经长岛,便下来看看海景.他们在一个无线电发射塔--可能是一个秘密的军用雷达--附近拍照,被警卫发现.警卫报警称"3个日本人在这里鬼鬼祟祟地拍照",于是警察四处搜捕,终于在路上截获了他们.
FBI的调查人员问他们为什么没有看到"NO TRESPASSING"的标牌,Erdos说:"我正在思考问题.""思考些什么?""数学."当晚,他们的身份被确认,于是得到释放.但此事已经被FBI记录在案,并对Erdos产生了不利的影响,这是后话.
Turán就曾经有过一段危险的经历.当时他在布达佩斯被一个苏联巡逻兵拦住去路,被要求出示证件.可Turán刚逃过纳粹的搜捕,身上没有任何证件.情急之下,他拿出一本1935年出版的《托木斯克数学力学研究所通报》,上面有他和Erdos合著的一篇论文.这本战前的苏联杂志显然赢得了士兵的好感,于是他被放行了.后来Turán遇见Erdos时,感慨地说:"没想到数论还有这样的妙用!"
注:Paul Turán,匈牙利数学家,主要研究数论和图论.
－－24－－
他(Ulam)真的很幸运,并没有遭受年迈体衰和老年痴呆这两大恶魔的折磨,他在依然还能求证、还能猜想的时候猝死于心脏病,死时没有痛苦,没有恐惧.
——Erdos
如果你是一位才华横溢的数学家,如果你不幸得了脑炎,如果在你做完脑部手术、恢复清醒之后,医生问你这样一个问题:"8与13的和是多少?"你的感觉会是怎样的?
这就是Ulam在1945年冬天的遭遇.也许他会从此丧失对自己数学能力的信心,--如果他在走出医院的时候没有遇见Erdos. 那天,当Ulam在妻子的搀扶下离开医院时,突然看见Erdos神气活现地出现在他们的面前."Stan!我还以为你已经死了,正准备替你写讣告,还打算独自完成咱们合写的论文."
Erdos手提一个小箱子,里面装着他的全部财产,显然是无处可去,于是Ulam便邀请他去自己的家.在乘车回家的路上,Erdos缠着Ulam讨论数学问题,根本不让Ulam休息.Erdos在Ulam家里住了两周,不停地与Ulam讨论数学问题.在Ulam做手术后,Erdos是第一个把他当作数学家而不是白痴或者准白痴看待的人.
－－25－－
死亡从40岁开始.
——Erdos
1948年冬,Erdos回到布达佩斯,看望了他的母亲和一些老朋友.但很快斯大林就开展了一次笔迹审查活动,大肆封锁边界、围捕公民,Erdos不得不再次逃离匈牙利.随后几年内,他往返于美国和英国之间,居无定所.
那时Erdos已经开始在信件里不停地抱怨自己已经老了,他还经常对人说,上帝已有一只手搭在了他的肩膀上.有人问他:"Paul,如果你才40岁时就感觉如此之糟,当你50岁时又会如何?"他立即悲哀地说:"更糟."
科学家的创造年华通常是很短暂的,所以学术机构中都设有终身职位,以保证科学家的生活.Erdos的朋友们劝他尽快找一份终生职位,他们说:"Paul,你那走江湖数学家的生涯还要维持多久?"他竟回答:"起码40年."他甚至拒绝了一些大学的终身职位的邀请.
－－26－－
数学是科学的女王,数论是数学的女王.
——C.F.Gauss
大约在1792年,15岁的Gauss经过深入的分析和例证,猜想素数在自然数中的的分布密度应该是1/log(x),Gauss曾经写信给当时世界上一些著名的数学家,向他们请教这个问题,但没人能给出证明.
这就是19世纪最著名的数学难题:素数定理.
在Gauss的一生中,肯定曾花费了不少时间和精力来思考这个从少年时便开始困惑他的难题,但我们没有Gauss关于这个问题的研究记录,所以也无法知道他在这个问题上究竟走了多远,不过十有八九是他并没有解决这个猜想.
注:Carl Friedrich Gauss,主要生活在19世纪的德国数学家.他通常被认为是历史上最伟大的三位数学家之一,另外两个是Archimedes和Newton.
高等算术(即数论--编者注)中一些最美丽的定理具有这样的特性:它们极易从经验事实中归纳出来,但其证明却隐藏得极深,只有高人一等的研究者才能把它们挖掘出来.正是出于此种原因,赋予高等算术以神奇魅力,使之成为第一流数学家们最喜爱的科学.至于它远远凌驾于数学其他各分支之上的无限丰富性,那就更不必提了.
——C.F.Gauss
首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev. 他证明了如果π(x)log(x)/x 的极限存在,则必定是1. 这些无疑都是很重要的进展,但不幸的是,用Chebyshev的方法无法证明最后的结果.
1859年,Riemann发表了题为"论不超过一个给定值的素数个数"的论文,这是他唯一一篇关于数论的论文.在这篇仅8页的论文里面,Riemann首次深刻而系统地研究了ζ函数的性质.并且指出,素数的分布与ζ函数,特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系.
在这篇文章里,他还提出六个关于ζ函数的猜想,其中一个就是著名的Riemann假设:ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上
Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方 向,以后这方面所有的进展都是从他的思想中得来的.
1896年,两位年轻的数学家Hadamard和de la Vallée Poussin按照Riemann的思路,各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理,从而解决了这个有一个世纪历史的难题.后来Landau,Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明.以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具.后来Wiener用实分析的方法证明了素数定理等价于"ζ函数的零点不在直线 Re(s)=1 上".这就更让人相信,素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具.
1921年,G.H.Hardy就曾经说过这样一段话:"断言一个数学定理不能用某种方法证明,这可能显得过于轻率;但有一件事(素数定理没有初等证明)却是清楚的.如果有谁能给出素数定理的初等证明,那么他就将表明,我们过去关于数学中何谓'深刻'、何谓'肤浅'的看法都是错误的.那时我们就不得不把书本都抛在一边,重写整个理论."
Hardy逝世于1947年,他万万没有想到,就在他去世的两年后,两位年轻的数学家就推翻了他以及整个数学界的断言,用完全"初等"的方法给出了素数定理的证明,进而导致了整个素数理论的重写.
注:Jacques Salomon Hadamard,法国数学家,在数学的许多方面均有贡献,被誉为Poincaré之后少有的多面手.
Norbert Wiener,美国数学家、哲学家,控制论的创立者,在调和分析、数学物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献.1964年获美国国家科学奖章.
－－28－－
我很同情非数学家,我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报.
——Selberg
1949年,两位年轻的数学家,31岁的Selberg和35岁的Erdos分别独立地证明了素数定理.与以往的证明不同的是,他们的证明没有用到ζ函数,而且除了极限、e^x和log(x)
的简单性质外,没有用到任何高等数学的知识,甚至连微分和积分都没有用到!可以说,他们给出的是一个完全"初等"的证明,这一结果轰动了整个数学界.
在Erdos的一生中,尽管发表了1475篇论文,但像素数定理的初等证明这样具有划时代意义的成果却很少.但Erdos对这件事却避而不谈,因为在这件事上颇有争议.
当时Selberg发现了一个恒等式,他把这个恒等式告诉了Erdos. 然后他们两人分别独立地用这个恒等式给出了素数定理的初等证明.他们本来商量好在同一本杂志上一起发表文章,讲述各自的工作.Erdos便到处给数学家发信,宣称他和Selberg已经给出了素数定理的初等证明.但有一次,Selberg碰上一位陌生的数学家,对方开口就说:"你知道吗?Erdos和--和谁来着?--用初等方法证明了素数定理."Selberg伤透了心,便抢先发表了论文,并因此享有该成果的大部分权益.Selberg也从此与Erdos反目.
在数学家中,优先权的争论并不少见,最著名的就是Newton和Leibniz关于微积分发明权的争论.但Erdos却具有罕见的坦荡胸怀,他愿意与别人分享他的数学思想,他的目的并不是要第一个去证明某个问题,而只是使这个问题得到解决--不管是不是他解决的.所以Erdos才能有创纪录的485名合作者.但我们不能指责Selberg心胸狭窄,因为即使Newton或者Gauss这样的最伟大的数学家也会陷入优先权的争论之中.这只能说是一场悲剧.
注:Atle Selberg,挪威裔美籍数学家,在数论、调和分析、离散子群、自守函数等方面均有贡献.1950年获Fields奖,1986年获Wolf奖.
－－30－－
我现在在澳大利亚,明天去匈牙利.设k为最大的整数以满足……
—— 一封典型的Erdos的信件的开头
移民局没有给Erdos再入境许可证.Erdos请了一名律师提出上诉,结果被驳回.法院没有给出任何理由.他的律师被允许查阅部分Erdos的档案,发现其中附有一封Erdos写给居住在红色中国的华罗庚的信:"亲爱的华,设p是一个奇素数……"Erdos一年要写1500封左右的信,基本上都在讨论数学问题.但移民局的官员显然害怕信中的那些他们看不懂的数学符号是某种密码.
另外根据FBI的记录,Erdos还曾经涉嫌在一个雷达站附近从事间谍活动.所以他被麦卡锡踢出美国是再正常不过的事了.
－－31－－
他是一个流浪的学者(wandering scholar).他时常横跨五大洲.他效忠的是科学的女王而不是任何特别地方或研究所.
——Rado谈Erdos
被赶出美国之后,Erdos发现自己已经没什么地方可去了:荷兰只给了他几个月的签证,英国也差不多.西欧的各个国家都不愿意接纳一个对红色中国亲善的人.最后,以色列接纳了他,给予他居住权,但他拒绝加入以色列国籍,并且保留自己的匈牙利护照.1955年,Erdos在密友们的多方奔走和呼吁下,终于得以访问匈牙利.匈牙利政府颁发给他一个特别护照,证明他是匈牙利公民,但拥有以色列居住权.从此Erdos能够自由出入匈牙利.他每年都要回去几次,看望母亲和朋友们.
但Erdos永远都不会安居在一个地方,他宣布自己是世界公民.他以惊人的速度穿梭于各个大学和数学研究所之间.他的足迹踏遍五大洲,他在超过25个国家里进行数学研究,在遥远的地方完成各种重要的论证,有时还在这些地方的不知名的杂志上发表自己的成果.他曾经在六十年代初和八十年代中期两次访问中国.1990年,为庆祝柯召教授八十寿辰暨执教六十周年,《四川大学学报》出了一本专辑.Erdos热情地写了一篇题为《初等数论中的某些问题与成果--祝我的朋友和合作者柯召80寿辰》的论文发表在该专辑上.
他的全部财产都装在一只破旧的小衣箱和一个在布达佩斯中心商场购买的土黄色塑料包里.流浪,流浪,这就是一个犹太人的宿命.
注:Richard Rado,德国数学家,后移居英国.主要研究组合数学.
柯召,中国数学家,研究方向为数论、组合数学、代数等.
－－32－－
Non numerantur sed ponderunter.(不是看数,而是称重.)
——俗谚
在古代匈牙利的贵族院,统计选票不是看票数,而是称重量.Erdos经常会想象上帝正拿着天平衡量他与同事们合著的论文.天平的一端放上他与已去世的同事合著的论文,另一端放上他与仍在世的数学家合著的论文."当亡者的那一端下沉的时候,我肯定也要死了."他这样说.
是的,每个人都会衰老,都会死去.所以Erdos以惊人的精力工作,--他害怕有一天他再也不能思考.即使在70多岁的时候,他还一年发表50多篇论文.
－－33－－
他(Erdos)的工作节奏真是逼死人.
——Ralph Faudree
不知道那些有幸受到Erdos拜访的数学家们会有何感触,至少孟菲斯大学的Ralph Faudree是很不适应.他发现Erdos每天仅仅需要3个小时的睡眠,每天很早就起来写信--都是有关数学的.他起来后,觉得别人也该起来工作了,就把电视打开,声音开得大大的.他还会跑去敲Faudree的卧室的门:"Ralph,你还活着吗?"吃饭的时候,他也会在餐巾上写写画画或是不停地讨论数学问题.
Faudree后来回忆道:"等他住上一两个星期后你都快要崩溃了,但就在他走后的几天里,我还会不断收到他的电话:'证明完成了没有?你把它交给打字员了吗?'"
－－34－－
他(Erdos)一定是认为我有可取之处,因为后来连续10多年他每年都来路易斯维尔找我,而且一呆就是一个星期.
——Michael Jacobson
1983年,Erdos第一次到路易斯维尔拜访Michael Jacobson. 那时Jacobson还没结婚,于是就跟Erdos住在一起.他对Erdos的故事早有耳闻,已经作好准备与之一起拼命工作,但情况显然远超过他的预料.
"头一天我们就工作到半夜1点,我已经精疲力竭,上楼睡觉去了.他呆在楼下的客房里.凌晨4点半,我听到厨房有响声,他把锅碗瓢盆弄得一片响,那是在告诉我该起床了.大约6点钟时,我跌跌撞撞地下了楼.你猜他说的第一句话是什么?不是'早上好!'也不是'睡得好吗?'而是'设n是整数,k是……'我只穿了一件浴衣,半裸着身体,眼睛还是半睁半闭,矇矇眬眬.我认输了.我告诉他,不洗一个淋浴的话,我是没法接着研究数学的."
范德比尔特大学的Mike Plummer回忆了这样一件事情:"1983年圣诞节前夜,我一家都在布达佩斯.这儿圣诞节可是一个隆重的节日,各家各户都团聚在一起开拆礼物.城市都停止运作了,所有单位都打烊,连公共汽车都不开了.要想坐出租车的话,几天前就得预订.我们都穿好了衣服,等着出租车来接我们去看一个朋友.正当我们站在屋里时,突然听到一阵敲门声.我打开门一看,是Erdos站在那里.'Plummer,'他说道,'圣诞快乐.设f(n)是以下函数……'就这样我们一直讨论到出租车来时为止.要想止住他的话而离去那是很困难的."
－－36－－
Erdos有一种激励人的本领,他能把人们带到一个全新的水平.他的数学世界是我们都能够进入的.
——Joel Spencer
－－37－－
全世界的数学家,联合起来!
——F.Klein
有一年,Erdos去UCLA,那里很多人都想和他讨论,便问他什么时候有空.Erdos总是回答:"任何时候."结果他的房间里经常聚集着一大帮人,而Erdos同时和几个不同的人讨论不同的数学问题.
他满屋子转,就像一位超级棋手同时跟好几个人下棋.Bruce Rothschild说:"那可真够刺激.当他正与别人合作时,趁着他还没回到你身边,你还有点时间考虑考虑.你还有机会知道别人正在着手解决什么问题."
Erdos自己可以同时思考好几个问题,但他却希望他的合作者精力集中在手头的问题上.当他察觉到他们走神时,他会说:"不许开小差!"
注:Felix Christian Klein,德国数学家.在他所生活的那个时代,他是哥廷根乃至整个数学界的领袖之一.
－－39－－
从来没有什么下棋的问题影响过科学思维的进程,而Pythagoras,Newton和Einstein都分别在他们不同的时代改变了科学思维的方向.
——G.H.Hardy
在一次会议期间,Erdos看见单墫和另外一位中国数学家下围棋,颇感兴趣,便要求和单墫下.但他知道中国人是下"Go"的高手,就提出得让他四个子.下的时候,他全身"覆盖"在棋盘上(眼睛相当近视).第一盘自然是输了,又要求再下一盘.第二盘单墫故意让他赢,他丝毫没有觉察,还非常高兴,连声说:"We are equal!"
－－40－－
数学从纯理论角度看是有序而美好的,这种秩序超越了物质世界.
——Erdos
Erdos只对数学感兴趣,但这并不意味着他对数学以外的事物完全无知.他会下国际象棋,会下围棋,会打桥牌,会打乒乓球,而且他还有十分渊博的历史和科技知识.一次,在匈牙利科学院宾馆,有人把Erdos介绍给Lajos Elekes. Erdos首先发问:"你从事什么职业?"许多人在知道Elekes是一位正在写一本关于15世纪匈牙利将军János Hunyadi的书的历史学家时都会无言以对,但Erdos立即追问:"匈牙利军队在1444年瓦尔纳战役中惨败于土耳其的原因是什么?"
从某种意义上说,数学是唯一无限的人类活动.可以想象,人类终将有一天获得物理学或者生物学的全部知识,但人类永远无法穷尽所有的数学知识,因为数学领域是无限广大的.数字本身是无穷多的.这就是数学成为我唯一兴趣的原因.
——Erdos
Erdos最后一次看小说是在20世纪40年代,最后一次看电影是在50年代.有一次,一位同事带他去航天中心看火箭,但他甚至连头都没有抬.还有一次他被人拉去看哑剧,可表演没开始他就睡着了.
－－42－－
Erdos的证明总是很漂亮,使用的技巧常常比别人的更好、更高超.
——M.Golomb
Erdos对许多数学领域均有贡献,而他的智慧远远超出了他的专业领域.George Purdy回忆了这样一件事:"1976年我们在德州农机学院的数学休息室喝咖啡时,看见黑板上有一个有关泛函分析的问题.对这个领域,Erdos一无所知.碰巧我知道有两位这方面的专家刚刚得出一个长达30页的解答并因此而沾沾自喜.Erdos抬头看了看黑板说道:'那是什么?那也是一个问题?'我说'是的',然后他就走到黑板前面眯着眼睛看了看那个简要陈述的问题.他问了几个有关符号代表什么意义,便毫不费力地写出一个两行的解答.要是那还不是魔力,什么才是呢?"
－－43－－
上帝不掷骰子.
——Einstein
数学往往是要求精确的.但Erdos开创了一种存在性问题的概率证明方法,把随机性引入证明之中.他可以证明许多现象存在的概率很大,甚至是1,但不给出构造.这种办法在计算机里经常会用到.想象一下这样一个难题:我是应该先迈左脚,还是应该先迈右脚?对这个问题如果非要找一个合理的回答,那就怎么也迈不了步,于是便会陷入死循环.最好的办法是掷一枚硬币,让上帝来替我们选择.
1989年,为纪念Erdos概率证明方法的发现,参加在波兰波兹南召开的随机图论会议的数学家们举行了一次随机赛跑.当他们绕着跑道赛跑时,谁也不知道终点在哪里.赛跑开始前,Erdos作为嘉宾掷了一枚巨大的骰子以决定起始的圈数,当大家快接近终点线时,Erdos又掷了一次骰子以决定再增加的圈数……Erdos开心地笑了,显然对自己所扮演的"烦人的SF"角色相当满意.
－－44－－
有位法国社会主义者说私有财产是窃取之物,而我认为私有财产就是累赘.
——Erdos
Erdos每见到一个无家可归的人,总要给他些钱.D.G.Larman回忆道:"60年代初,当我还是伦敦大学学院的一个学生时,Erdos来这儿讲学一年.他第一个月的工资刚发下来就在尤斯顿车站碰上一个乞丐找他要茶钱.Erdos从放工资的口袋里留出支付自己简单生活的少量费用后把剩下的钱都给了乞丐."
每当他得知一件好事,比如说艰难起步的古典音乐电台、美洲土著人运动、走失儿童抚养所,他就会捐一些钱.在他去世一年后,他所捐赠的组织还给他写信表示感谢.
－－45－－
这东西,只这一点点儿,就可以使黑的变成白的,丑的变成美的,错的变成对的,卑贱变成尊贵,老人变成少年,懦夫变成勇士.
——莎士比亚,《雅典的泰门》
1984年,Erdos获得Wolf数学奖.他把5万美元奖金的大部分捐给了以他父母的名义设立的奖学金,自己只留下720美元.他曾两次去印度讲学,所得的报酬都捐给了一位素昧平生的印度妇女--Ramanujan的遗孀.
80年代末,Erdos得知一位叫Glen Whitney的高中生想到Harvard去学数学,但还差一点儿学费.Erdos便与他此人见了面.当他深信这名学生确有天资时,就借给了他1000美元,并告诉对方只有在不造成经济困难的情况下才还钱.10年后Whitney有能力偿还这笔钱了,便问Graham:"Erdos要不要利息呢?"Graham向Erdos询问,Erdos回答:"告诉他,拿那1000美元去做我当年所做的事."
－－46－－
只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力;而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止.
——D.Hilbert
Erdos经常在各种数学杂志上抛出一些悬赏征解的数学问题,奖金数目从五美元到三千美元不等.许多年轻人都爱做Erdos提出的问题,当然不光是因为有奖金.Erdos提出的问题往往重要而有趣,很多人就是在解决了这些问题后走上数学道路的.
有人曾问Erdos,假如所有的问题都同时解决了,事情会怎么样?他还支付得起吗?
Erdos说"当然不能.但如果所有储户同时要求把钱取光的话,哪怕是世界上资金最雄厚的银行也会破产.事实上前者比后者发生的可能性还要小得多"
Erdos去世后,他的朋友Graham决定负责支付他在图论问题上的奖金,总额约10000美元,达拉斯的一位银行家则提出支付其他领域里的问题的奖金.
下面是一个有三千美元奖金的问题:
如果正整数序列a1,a2,……有这样的性质:
∞
∑ 1/ai ＝∞
i=1
那么原来的数列中存在长度为任意自然数的等差数列.
－－47－－
孩子们从来不认为他们会死,我也是这样,直到4岁时.当时我正和母亲逛商店,突然意识到自己错了.我哭了起来,我知道我会死的.从那时起,我总是想再年轻一些.
——Erdos
早在四十年代,Erdos便一再在书信里宣称自己已经老了.1970年,他在洛杉矶作了一次"我从事数学的前25亿年"的讲演:"当我还小时,据说地球已有20亿岁年龄.现在,科学家们说地球有45亿岁.这样一来,我就有25亿岁了."听讲座的学生们画了一条时间曲线,画上Erdos正骑着一条恐龙.有人问他:"恐龙是怎么一回事?"Erdos答:"你看,我忘记了,因为一个老人只记得很早时候的事,而恐龙则是昨天才出生的,就在1亿年以前."
－－48－－
一个人衰老的第一个标志,是忘记了自己的定理,第二个标志是忘记拉上拉链,第三个标志是忘了拉开拉链.
——Ulam
70年代初,Erdos开始用P.G.O.M.来代表他的名字,意为"Poor Great Old Man".到他60岁时,就成了P.G.O.M.L.D.,L.D.是"Living Dead".到65岁时,又成了P.G.O.M.L.D.A.D.,A.D.意为"Archaeological Discovery".70岁时,换成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.,L.D.是"Legal Dead".75岁时,又成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.C.D.,C.D.是"Counts Dead",他解释道:"匈牙利科学院有200名成员.当成员满75岁时,还可以留在科学院并享有充分的特权,但已不再计为成员了.这就是'计数死亡'的含义."
－－49－－
我从未做过什么"有用"的事情.我的任何发现都没有,也不可能对平静的现实世界产生什么影响,不管是直接的还是间接的,也不管是正面的还是负面的.
——G.H.Hardy
与Hardy不同,Erdos对数学的应用更能容忍,事实上他的很多成果都获得了应用.
但Erdos的兴趣只在"纯粹"数学方面,并且明确反对任何脱离纯粹数学的倾向.
Vázsonyi回忆道:"当我为继续当一位数学家还是去工学院当一名工程师的问题犹豫不决时,Erdos警告我:'我会藏起来,等你一去工学院,我就毙了你.'一句话就把我搞定了."
－－50－－
每一样能够用于善举的东西同样也能够用于恶行.归根到底,确定毒气传播的微分方程同样也能描述污染物的扩散.因此,人们既能有意散播毒气,又能防止污染的扩散.
——Erdos
二战期间,M.Kac曾在MIT的辐射实验室工作,他根据当时的研究成果在《应用物理杂志》上发表了一篇论文.然后他就收到了Erdos寄给他的明信片,上面只有一句话:"我为你的灵魂祈祷."
－－51－－
One should have a general attitude of welcoming to everybody.
——B.Russell
Erdos非常富有同情心.1945年,他到一位数学同行家里参加晚会,但刚与大家打了个招呼,便不见了踪影,直到晚会快结束时才再次见到他.原来Erdos得知主人有一个双目失明的老父亲,不能来参加晚会,孤零零地呆在楼上的一个房间里;于是Erdos宁愿放弃与数学同行们共度良宵的机会,而上楼去陪伴那位孤独的失明老人.
Peter Winkler谈了另一件事:"我们有一个非常聪明的学生,可惜患有脑瘫,人坐在轮椅里.当Paul第一次见到他时,便立即跑上去,询问他的病情和预后状况.Erdos在10分钟内对这个学生的了解比我们在他整个研究生学习期间对他的了解都要多.此后Erdos对这个学生的研究工作很是关心--当时该生正在完成他的博士论文,--提了很多中肯的建议.诸如此类的事情在他的一生中不胜枚举."
－－52－－
每次他(Erdos)回到匈牙利时,他总要问候那些年迈的妇女们.光花在这些数学家的母亲和遗孀上的时间就要耗掉他回来后的头两三天.
——Vera Sós
1994年在布达佩斯,Erdos去看望他的一位老朋友的岳母.那位老夫人坐着轮椅,并且出于某种原因生活在精神的痛苦中.她不住地埋怨她的保姆:"别放在那儿!""为什么不先给Erdos教授先生上茶?"临走的时候保姆把客人们送出门,Erdos给了她一份相当丰厚的小费,好象是对她所受委屈的一种安慰.
Erdos总是尽自己的可能帮助别人.当身无分文的俄罗斯数学家来到匈牙利时,他把自己所有的钱都给了他们.
塞尔维亚数学家Aleksandar Ivic谈了另外一件事:一次他与Erdos一同在餐馆吃饭,两人正讨论一个数论问题,Erdos突然从兜里掏出一叠不同国家的钞票,并用一种柔和的语调说:"拿着吧!我知道你现在很缺外汇."Ivic非常窘迫,对Erdos说,从贝尔格莱德目前的政治、经济形势看,他在可预见的将来是还不了这笔钱的.Erdos坚持要给他,但Ivic最终还是没有要.
－－53－－
你听说过我母亲的定理了吗?我母亲说过:"在同一时间,即使是你,Paul,也只能在一个地方."也许不久我就将不受这一限制了.也许一旦我离开了这个世界,我就可以同时在不同的地方了.也许到时我将可以与Archimedes和Euclid合作了.
——Erdos
Erdos对他的母亲怀有深厚的感情.Herb Wilf说:"在参加一次会议期间,有一天我正穿过院子准备去吃早饭,Erdos刚好吃完早饭从我对面走来.当我们相遇时,我习惯性地问候道:'早上好,Paul,今天好吗?'他一下子止住了脚步,出于尊敬和关心,我也停了下来.我们默默地站在那里,他认真地思考着我的问话,仿佛那是一个渐进线理论方面的问题,需要好好想想才能回答似的.他的一生都在冥思苦想重要的数学问题,但对待这样的日常问候语也很认真.他沉思了好一会儿,终于回答道:'Herb,今天我很难过.'我说:'听到这个我很抱歉,你为什么难过,Paul?'他说:'是因为我想念我母亲.你是知道的,她死了.'我说:'是的,我知道这事,对于她的去世,你和我们大家都感到很难过.但这不是5年前的事吗?'他答道:'是的,5年了.但我很想念她.'我们相对无言,尴尬地站了会儿,然后各奔东西."
－－54－－
他把一个个问题连珠炮似地砸向我们,好象我们是职业数学家似的.
——J.Pelikán回忆他15岁时第一次见到Erdos的情形
Erdos以发掘数学天才为己任.1959年,他听说有一个12岁的匈牙利小男孩Lajos Pósa已经掌握了全部中学数学课程,便邀请他共进午餐.吃饭的时候,Pósa正喝着汤,Erdos便问了他这样一个问题:"试证:在1,2,...,2n中任取n+1个数,必有两个数互素."
Pósa先把汤喝完,然后给出了这个问题的证明.Erdos大为震惊,因为他当初花了10分钟才找到这个问题的证明方法,而这个小男孩只用了半分钟!
后来Erdos经常与Pósa见面,Pósa 13岁时,Erdos便给他讲Ramsey原理,并提了一个包含无穷个点和无穷条边的问题.Pósa花了15分钟时间才弄清楚题意,然后他回家了,想了一个晚上,最终在入睡前找到了证明.
和Pósa讨论问题时,Erdos曾给他喝浓咖啡.Erdos的母亲对Erdos给这么小的孩子喝浓咖啡大为光火,Erdos答道:"Pósa会这么说:'夫人,我做着一名数学家的工作,喝着一名数学家所喝的饮料.'"
Pósa不到14岁时,Erdos已经把他当作成年数学家来讨论问题.14岁那年,Pósa与Erdos合作发表了第一篇论文,15岁时在图论方面完成了他最著名的工作.但20岁那年,Pósa就停止证明和猜想,改行去作小学教师了.
Erdos说:"我觉得非常可惜.他虽然活着,但无异于行尸走肉,我非常希望他能尽快真正活过来.其实当他16岁那年告诉我他宁愿做Dostoyevsky,而不做Einstein时,我就开始隐隐有些担忧了."
注:Frank Plumpton Ramsey,英国数学家、逻辑学家、经济学家.他开创了组合数学中的Ramsey理论.
Fyodor Mikhaylovich Dostoyevsky,19世纪俄国小说家,擅长强烈的心理描写.代表作有《白痴》、《罪与罚》、《卡拉马佐夫兄弟》、《群魔》等.
－－55－－
Paul Erdos was the most inspirational man I have ever met.
——Joel Spencer
有一年,Hawaii的一个名叫David Williamson的中学生证明了这样一个结论:如果存在一个奇完全数,那么它必然有且仅有一个形如4k+1的素因子.Williamson向一位大学教授询问这个结果是否为已知,那位教授不太清楚,便建议他写信问Erdos. Williamson写了信,很快就收到了回复:"亲爱的Williamson先生:非常感谢你的来信,——我昨天才收到这封信.你证明的那个结果已经被Euler知道了,他还证明了……或许我的下面这些问题会使你感兴趣.……"
Williamson如今已是IBM的研究人员,在组合优化领域颇有建树.他说:"跟Erdos的巨大成就比起来,一封给中学生的信算不了什么,但那对我的意义却非同小可."
－－56－－
Neither Sam nor Joe can determine when and where I should travel.
——Erdos
我们说过,Erdos曾被美国移民局取消再入境资格.1963年,几百名数学家联名向美国政府要求允许Erdos重新入境,于是Erdos终于得以重返这个自由的国度.在会议上发表讲话时,Erdos说:"Sam终于肯接纳我了,大概它认为我已经老迈不堪,不足以推翻它了!"
但Erdos与政府之间的纠葛还没有完.1973年,匈牙利政府禁止以色列数学家入境参加为庆祝Erdos六十寿辰而举行的集合论学术会议.Erdos大发雷霆,宣布将抵制他自己的生日晚会.他后来还是去了,但他拒绝再回到匈牙利.(直到1976年,他才赶回匈牙利,因为他的挚友Turán身患癌症,已经奄奄一息.)
正如一位美国数学家所说:"这是我们的时代和我们的国家的悲哀:这个人--如此全身心地投入到学术研究,如此远离政治,具有最高尚的道德的自由灵魂--竟然会受到官僚们的骚扰.而这些官僚的职责还是保护我们的自由!"
－－57－－
You don't have to believe in God, but you should believe in The Book.
——Erdos
Erdos不太相信上帝,但他相信世界上有一本超穷的"天书"(The Book),那里面包含了所有数学定理的最简洁、最漂亮、最优雅的证明.他对一个证明的最高赞誉就是:"It is from The Book!"
没有人能看到天书,Newton和Gauss这样的数学家或许曾有幸瞥上一眼.Erdos希望当他见到上帝的时候,上帝能够允许他阅读这本书,--为什么不呢?
Erdos常爱引用一个笑话,说是有人问:"要是你在街上遇见耶酥,你会问他什么问题?"Erdos说他会问连续统假设是否正确,而耶酥可能会有三种回答.第一种是:"Godel和Cohen已经把有关这一猜想的一切都教给你了."第二种是:"是的,确有一个答案,
可惜你的头脑还不够发达,无法知道它."第三种是:"在创世前很久,圣父、圣灵和我就一直为此绞尽脑汁,但我们还没有得出结论."虽然大多数逻辑学家都会同意第一种回答,但Erdos却认为第三种是最佳答案.
－－58－－
L.A. is studying Jordan's theorem.
——Erdos
我们曾谈到过,在匈牙利的半法西斯政权统治期间,Erdos开始使用各种隐语.前面的引文就是当时他说的一句.
在拓扑学里有一个Jordan曲线定理:"平面上一条同胚于圆周的曲线必然把平面分成两个不连通的部分."有一次,Erdos的朋友László Alpár被抓进监狱了,Erdos就用前面那句隐语把这个消息告诉朋友们.
注:Marie Ennemond Camille Jordan,法国数学家.
－－59－－
Ask Uncle Paul before you spend months on a problem.
——János Komlós
Erdos对数学问题有着惊人的洞察力.每个人都会提问题,但并不是每个人都能提好的问题.大多数人提的问题往往要么非常平庸,要么非常怪僻.Erdos不一样,他能够提出各种层次上的适当的问题,而且都是重要且有趣的.绝大部分数学家擅长研究某一小类问题,对其它的问题则根本无从下手.但Erdos却在几乎所有的问题上都能入手,并且能估计这个问题的难度.
M.Jacobson在当研究生时第一次见到Erdos. 当时Erdos作完一次讲座,然后宣布"My brain is open." 于是Jacobson走上讲台,把他正在研究的一个组合论问题告诉Erdos.
Erdos当即毫不犹豫地说:"我认为你需要寻找另外的问题."7年后,Jacobson又一次见到Erdos,并谈起第一次见面的情形.Erdos已经不记得这事了,便要Jacobson重新说一下当时的问题.等对方说完后,Erdos说:"哼,这个问题确实太难,到现在还没解决呢!"14年后,当Erdos去世时,那个问题依然没有解决.
Erdos不仅能够提出适当的问题,而且还能提给适当的人.他能够在短时间内正确地评估一个人的数学水平,并把适合他研究的问题提给他.很多人就是从Erdos的问题开始走上数学研究道路的.
－－60－－
明天咱们接着讨论这个问题,如果我还活着的话.
——Erdos
Erdos是最好的合作者.他是朋友,也是老师.他的"教学"是不易觉察的.他从不直接讲课,也不教给你定理或方法.但在与他合作时,每个人都可以把握住他那丰富的思想和方法.慢慢地,不知不觉中,他就能控制你的数学思维.
Aleksandar Ivic说,很多次当他自己独自一人思考问题时,他都会问自己:"Erdos会怎样做?他会怎样对付这道题?"
Gian-Carlo Rota则说,根据Erdos的提示而写成的论文至少有上万篇.
对于合作者来说,Erdos还是一个丰富的资料库.Erdos能够准确地记住上千篇论文的有关信息.在与他讨论时,常能听到他说诸如此类的话:"Mirsky写了一篇相关文章,发表于1947年或者1948年的'Quarterly J. Mathematics (Oxford)'上,在最后那几页."
李信明教授曾在法国Poincaré研究所的图书馆见到他进来查阅杂志,他不需要看目录,用手一翻就能找到他所要的文章,让人佩服得五体投地.
－－62－－
想见Erdos吗?呆在这儿别动,他迟早会到这里来的.
——关于Erdos的说法之一
Erdos似乎总处于Brown运动的状态,你很难在固定的时间找到他.在很多年里,如果你想联系到他,最好的办法是给下面的这些人打电话:东海岸Bell实验室的Ron Graham,或者Illinois大学的Paul Bateman,或者UCLA的Ernst Strauss. 1983年Strauss去世后,他的位置被Bruce Rothschild所取代.后来Bateman退休了,所以Graham似乎成为最有可能知道Erdos在哪里的人.
相比之下Erdos找起别人来就方便多了.有一次在新泽西州吃早饭时,他突然想起加州某位数学家,就朝电话走去并开始拨号.主人打断了他,指出在西海岸,现在才凌晨5点钟.Erdos说:"很好,这就意味着他会在家."
－－63－－
Fourier先生认为,数学的主要目的是服务人类、解释自然现象;但像他这样的哲学家应当知道,科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀,因此,一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义.
——C.G.J. Jacobi
1974年4月8日,Georgia大学的助理教授Carl Pomerance观看了一场棒球比赛的现场直播.那不是一场普通的棒球比赛.在那场比赛中,亚特兰大勇士队的Hank Aaron击出了他在大联盟比赛中的第715个本垒打,从而打破了Babe Ruth在四十年前创下的714个本垒打的纪录.
Pomerance注意到714和715这个数对的一个奇妙性质:它们的乘积刚好是前7个素数的乘积.第二天早上,他问他的同事David Penney知不知道714和715的一个有趣性质,Penney很快作出了同样的发现.Penney又把这个问题提给了他班上的学生,一个学生发现了另外一个性质:714的素因子的和等于715的素因子的和.Pomerance和Penney等人把具有后面这种性质的两个连续整数称为Ruth-Aaron数对,并且在"Journal of Recreational Mathematics"上发表了他们的发现,还猜想这种数对的密度应该是0.
Erdos这样的一位大数学家也是"Journal of Recreational Mathematics"的读者.
在看到那篇文章一周后,他给Pomerance写信,说他能够证明Ruth-Aaron数对的密度是0,
他想到Georgia来同Pomerance讨论这个问题.
这次会面导致了后来的20篇合作发表的论文.1995年,Erdos和Aaron被Emory大学授予名誉学位.在仪式中,Pomerance把Ruth-Aaron数对的故事告诉了Aaron,他对Aaron说,那个本垒打改变了他这个无名小卒作为数学家的一生.Pomerance请Erdos和Aaron在他的一个棒球上签了字,他说,这样Aaron的Erdos数就变成1了.
注:Carl Gustav Jacob Jacobi,19世纪德国数学家.
－－64－－
有一次我在火车上碰见了一位数学家,他对Paul Erdos和他的数学表示难以置信.他很难想象,一位像Jean-Pierre Serre这样的数学家竟然也会有一个有限的Erdos数.
——Peter J.Cameron
Erdos研究的领域主要是数论和组合数学,但他的论文中涵盖的学科有逼近论、初等几何、集合论、概率论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、差分方程与函数方程、数列、Fourier分析、泛函分析、一般拓扑和代数拓扑、统计、数值分析、计算机科学、信息论等等."Mathematical Reviews"曾把数学划分为大约六十个分支,Erdos的论文涉及到了其中的40%.
如此广泛的研究方向,再加上他的惊人数量的论文,超长的合作者名单,使他的触角伸展到了数学的几乎每一个角落.
几乎每一个当代数学家都有一个有限的Erdos数,而且这个数往往非常小,小得出乎本人的预料.比如说证明Fermat大定理的Andrew Wiles,他的研究方向与Erdos相去甚远,但他的Erdos数只有3,是通过这个途径实现的:Erdos--Andrew Odlyzko--Chris
M.Skinner--Andrew Wiles.
Fields奖得主的Erdos数都不超过5,(只有Cohen和Grothendieck的Erdos数是5,)Nevanlinna奖得主的Erdos数不超过3,(只有Valiant的Erdos数是3,)Wolf数学奖得主的Erdos数不超过6,(只有V.I.Arnold是6,且只有Kolmogorov是5,)Steele奖的终身成就奖得主的Erdos数不超过4.
在具有有限Erdos数的人名单中往往还能发现一些其他领域的专家,比如Bill Gates,他的Erdos数是4,通过如下途径实现:Erdos--Pavol Hell--Xiao Tie Deng--Christos H. Papadimitriou--William H. (Bill) Gates.
注:Jean-Pierre Serre,法国数学家,1954年获Fields奖,2000年获Wolf奖.
Pierre de Fermat,17世纪法国数学家,被誉为"业余数学家之王".但他的数学水平完全是职业水准的,E.T.Bell甚至说他是17世纪最出色的数学家.
Andrew Wiles,英国数学家.Fermat大定理的证明给他带来了无数的荣誉,其中包括1996年的Wolf奖和1998年国际数学家大会上颁发的特别奖.
John Charles Fields,加拿大数学家.他是1924年在多伦多举行的国际数学家大会的主席.以他名字命名的著名奖项被认为是数学界的最高荣誉.
Alexander Grothendieck,法国数学家,现代抽象代数几何的集大成者,1966年获Fields奖.
Rolf Herman Nevanlinna,芬兰数学家.国际数学家大会上设立有以他名字命名的奖项,颁发给对信息科学有重大贡献的数学家.
Vladimir Igorevich Arnold,苏联/俄罗斯数学家,主要研究常微分方程与动力系统.1982年获首届Crafoord奖,2001年获Wolf奖.
Andrey Nikolaevich Kolmogorov,20世纪最著名、最重要的数学家之一,苏联数学界的领袖.1980年获Wolf奖.
附录:
下面是一些著名学者的Erdos数,其中某些Erdos数小得出乎你的想象之外.
Nobel Prize winners
NAME YEAR SUBJECT ERDOS NUMBER
Max von Laue 1914 Physics 4
Albert Einstein 1921 Physics 2
Niels Bohr 1922 Physics 5
Louis de Broglie 1929 Physics 5
Werner Heisenberg 1932 Physics 4
Paul A. Dirac 1933 Physics 4
Erwin Schrodinger 1933 Physics 8
Enrico Fermi 1938 Physics 3
Ernest O. Lawrence 1939 Physics 6
Otto Stern 1943 Physics 3
Isidor I. Rabi 1944 Physics 4
Wolfgang Pauli 1945 Physics 3
Frits Zernike 1953 Physics 6
Max Born 1954 Physics 3
Willis E. Lamb 1955 Physics 3
John Bardeen 1956 Physics 5
Walter H. Brattain 1956 Physics 6
William B. Shockley 1956 Physics 6
Chen Ning Yang 1957 Physics 4
Tsung-dao Lee 1957 Physics 5
Emilio Segrè 1959 Physics 4
Owen Chamberlain 1959 Physics 5
Robert Hofstadter 1961 Physics 5
Eugene Wigner 1963 Physics 4
Richard P. Feynman 1965 Physics 4
Julian S. Schwinger 1965 Physics 4
Hans A. Bethe 1967 Physics 4
Luis W. Alvarez 1968 Physics 6
Murray Gell-Mann 1969 Physics 3
John Bardeen 1972 Physics 5
Leon N. Cooper 1972 Physics 6
John R. Schrieffer 1972 Physics 5
Aage Bohr 1975 Physics 5
Ben Mottelson 1975 Physics 5
Leo J. Rainwater 1975 Physics 7
Steven Weinberg 1979 Physics 4
Sheldon Lee Glashow 1979 Physics 2
Abdus Salam 1979 Physics 3
S. Chandrasekhar 1983 Physics 4
Norman F. Ramsey 1989 Physics 3
Paul A. Samuelson 1970 Economics 5
Kenneth J. Arrow 1972 Economics 3
Tjalling C. Koopmans 1975 Economics 4
Herbert A. Simon 1978 Economics 3
Gerard Debreu 1983 Economics 3
Franco Modigliani 1985 Economics 4
Robert M. Solow 1987 Economics 4
Harry M. Markowitz 1990 Economics 2
Merton H. Miller 1990 Economics 4
John C. Harsanyi 1994 Economics 8
John F. Nash 1994 Economics 4
Reinhard Selten 1994 Economics 7
Robert C. Merton 1997 Economics 6
Peter J. Debye 1936 Chemistry 5
George De Hevesy 1943 Chemistry 7
Otto Diels 1950 Chemistry 7
Kurt Alder 1950 Chemistry 6
Edwin M. McMillan 1951 Chemistry 6
Glenn T. Seaborg 1951 Chemistry 5
Linus Pauling* 1954 Chemistry 4
*Also received the 1962 Nobel Peace Prize
Lars Onsager 1968 Chemistry 3
Ilya Prigogine 1977 Chemistry 6
Walter Gilbert 1980 Chemistry 4
Kenichi Fukui 1981 Chemistry 3
Jerome Karle 1985 Chemistry 4
Herbert A. Hauptman 1985 Chemistry 3
Francis H. C. Crick 1962 Medicine 7
James D. Watson 1962 Medicine 8
Sir John Carew Eccles 1963 Medicine 3
Fields Medal winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Lars Ahlfors 1936 Finland 4
Jesse Douglas 1936 USA 4
Laurent Schwartz 1950 France 4
Atle Selberg 1950 Norway 2
Kunihiko Kodaira 1954 Japan 2
Jean-Pierre Serre 1954 France 3
Klaus Roth 1958 Germany 2
Rene Thom 1958 France 4
Lars Hormander 1962 Sweden 3
John Milnor 1962 USA 3
Michael Atiyah 1966 Great Britain 4
Paul Cohen 1966 USA 5
Alexander Grothendieck 1966 Germany/France 5
Stephen Smale 1966 USA 4
Alan Baker 1970 Great Britain 2
Heisuke Hironaka 1970 Japan 4
Serge Novikov 1970 USSR 3
John G. Thompson 1970 USA 3
Enrico Bombieri 1974 Italy 2
David Mumford 1974 Great Britain 2
Pierre Deligne 1978 Belgium 3
Charles Fefferman 1978 USA 2
Gregori Margulis 1978 USSR 4
Daniel Quillen 1978 USA 3
Alain Connes 1982 France 3
William Thurston 1982 USA 3
Shing-Tung Yau 1982 China 2
Simon Donaldson 1986 Great Britain 4
Gerd Faltings 1986 Germany 4
Michael Freedman 1986 USA 3
Valdimir Drinfeld 1990 USSR 4
Vaughan Jones 1990 New Zealand 4
Shigemufi Mori 1990 Japan 3
Edward Witten 1990 USA 3
Pierre-Louis Lions 1994 France 4
Jean Christophe Yoccoz 1994 France 3
Jean Bourgain 1994 Belgium 2
Efim Zelmanov 1994 Russia 3
Richard Borcherds 1998 S Afr/Gt Brtn 2
William T. Gowers 1998 Great Britain 4
Maxim L. Kontsevich 1998 Russia 4
Curtis McMullen 1998 USA 3
Nevanlinna Prize winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Robert Tarjan 1982 USA 2
Leslie Valiant 1986 Hungary/Gt Brtn 3
Alexander Razborov 1990 Russia 2
Avi Wigderson 1994 Israel 2
Peter Shor 1998 USA 2
Wolf Prize in Mathematics winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Izrail M. Gelfand 1978 USSR (Russia) 4
Carl L. Siegel 1978 Germany 3
Jean Leray 1979 France 3
André Weil 1979 France 4
Henri Cartan 1980 France 3
Andrei N. Kolmogorov 1980 Russia 5
Lars Ahlfors 1981 Finland 4
Oscar Zariski 1981 USA 3
Hassler Whitney 1982 USA 2
Mark G. Krein 1982 Ukranian SSR 4
Shiing Shen Chern 1983-84 China 2
Paul Erd?s 1983-84 Hungary 0
Kunihiko Kodaira 1984-85 Japan 2
Hans Lewy 1984-85 Germany 3
Samuel Eilenberg 1986 Poland 2
Atle Selberg 1986 Norway 2
Kiyoshi Ito 1987 Japan 3
Peter D. Lax 1987 Hungary/USA 3
Friedrich E. Hirzebruch 1988 Germany 3
Lars Hormander 1988 Sweden 3
Alberto Calderón 1989 Argentina 3
John Milnor 1989 USA 3
Ennio De Giorgi 1990 Italy 3
Ilya Piatetski-Shapiro 1990 Russia 3
Lennart A. Carleson 1992 Sweden 4
John G. Thompson 1992 USA 3
Mikhael Gromov 1993 Russia 3
Jacques Tits 1993 Belgium 4
Jurgen K. Moser 1994-95 Germany 3
Robert Langlands 1995-96 Canada 2
Andrew Wiles 1995-96 Great Britain 3
Joseph B. Keller 1997 USA 3
Yakov G. Sinai 1997 Russia 4
Laszlo Lovasz 1999 Hungary 1
Elias M. Stein 1999 Belgium/USA 2
Raoul Bott 2000 Hungary 3
Jean-Pierre Serre 2000 France 3
Vladimir I. Arnold 2001 Russia 6
Saharon Shelah 2001 Israel 1
Steele Prize (Lifetime Achievement) winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Salomon Bochner 1979 Poland 2
Antoni Zygmund 1979 Poland 2
André Weil 1980 France 4
Gerhard P. Hochschild 1980 Germany 4
Oscar Zariski 1981 Poland 3
Fritz John 1982 Germany 4
Shiing Shen Chern 1983 China 2
Joseph L. Doob 1984 USA 2
Hassler Whitney 1985 USA 2
Saunders Mac Lane 1986 USA 3
Samuel Eilenberg 1987 Poland 2
Deane Montgomery 1988 USA 3
Raoul Bott 1990 Hungary 3
Armand Borel 1991 Switzerland 3
Peter D. Lax 1992 Hungary/USA 3
Eugene B. Dynkin 1993 Russia/USA 3
Louis Nirenberg 1994 Canada 3
John T. Tate 1995 USA 3
Goro Shimura 1996 Japan 2
Ralph S. Phillips 1997 USA 2
Nathan Jacobson 1998 USA 3
Richard V. Kadison 1999 USA 3
Isadore M. Singer 2000 USA 3
Harry Kesten 2001 USA 2
Other distinguished scholars
NAME FIELD OF RESEARCH ERDOS NUMBER
Walter Alvarez geology 7
Rudolf Carnap philosophy 4
Jule G. Charney meteorology 4
Noam Chomsky linguistics 4
Freeman J. Dyson quantum physics 2
George Gamow nuclear physics and cosmology 5
Stephen Hawking relativity and cosmology 4
John L. Hennessey comp. sci., Stanford U president 4
Pascual Jordan quantum physics 4
Theodore von Kármán aeronautical engineering 4
John Maynard Smith biology 4
Oskar Morgenstern economics 4
Rolf Nevanlinna mathematics 5
J. Robert Oppenheimer nuclear physics 4
Roger Penrose relativity and cosmology 3
Jean Piaget psychology 3
Karl Popper philosophy 4
Edwin E. Salpeter astrophysics 5
Claude E. Shannon electrical engineering 3
Arnold Sommerfeld atomic physics 5
Edward Teller nuclear physics 4
Alan Turing computer science 5
George Uhlenbeck atomic physics 2
John A. Wheeler nuclear physics 3
－－65－－
愿数论永远无用!
——某位数学家的祝酒词
有一年在洛杉矶,Erdos因不遵守交通规则而被扣,身上又没有身份证和现金.警察威胁说要把他送进监狱,于是Erdos出示了他的一本厚厚的论文选集"The Art of Counting",卷首插图有他的满面笑容的照片.警察耸耸肩,权作它是他的身份证.后来UCLA的Bruce Rothschild替他支付了罚款.
－－66－－
你不能两次踏入同一条河流.
——Heraclitus
一切皆流逝,但Erdos似乎永远都不会改变.从五十年代到九十年代,他看起来总是那个样子.用同样的语气讲述同样的笑话,以同样的方式穿同样的衣服.在后半生,他所有的讲演都是一个题目: "Problems in combinatorics and number theory",不过讲座的内容总是在变化,每次他都会讲一些新的已解决的问题,再加上一些新的未解决的问题.
注:Heraclitus,古希腊哲学家.
－－67－－
据说证明了素数定理的人将获得永生.呃,Hadamard和de la Vallée-Poussin都活了将近百岁.现在我和Selberg也在素数定理上做了一些事,所以……
——Erdos
从四十年代开始,Erdos就是一幅体弱多病、疲惫不堪的样子.他的朋友们都觉得他没多少光景了,可事实上他活得比别人都长.几十年中,Erdos一直拿上帝和死亡开玩笑,在结束自己的演讲时,他会说:"你们知道我是什么意思.除了数学以外,任何事情都是要结束的,数学演讲也是这样.我会回来的,如果我还活着的话;否则我就不来了."
－－68－－
数学是年轻人的游戏,……迄今为止我还没有发现一项重要的数学进展是由超过50岁的人取得的.
——G.H. Hardy. 与Hardy见面时,Erdos才21岁
到暮年的时候,Erdos开始怀疑自己的数学能力了.他翻阅过去写的论文,发现三四十年前自己的那些论证是多么难以理解.
有一次他问Graham:"你注意到我有什么不同吗?"
Graham说:"没有,真没什么."
"还说你观察力那么强,难道你没有注意到最近我那么沮丧吗?"
"嗯,也许吧."
"我现在发现,我正在走下坡路.对此我一筹莫展,真是令人懊恼."
Graham说:"Paul,你仍然比别人强得多."
后来Erdos经常请Graham帮忙检查他写的东西,尽管他并没有出什么错.
－－69－－
有一个念头令我不安,我或将死亡在日渐严重的早老性痴呆症中.
——Erdos
Erdos曾说,印度人确实聪明.他们不仅发明了"0",而且还用相似的词来称呼"弱智者"(buddhu)和"老人"(buddha).
1994年,他年满81岁,也就是9的平方.他抱怨说这也许是自己"最后一次平方了".
1996年,他83岁的时候说道:"要是38岁,而不是83岁就好了.在许多语言里,"接着,他又用匈牙利语、希伯来语、法语、德语重复说道,"年老是不愉快的事."
－－70－－
像Wiener一样,Erdos是假装心不在焉,以此来摆脱俗事的纠缠.他的同事们为他安排一切,但如果出了什么乱子,他很快就能发现.他总是记得自己的日程,从不会忘记提醒主人:是时候开车送他去机场了.
——Gian-Carlo Rota
晚年时,Erdos有一只眼睛的视力在逐渐丧失.有一次他把眼镜掉在地上了,一个镜片破了,但仍留在镜框里.Erdos说:"不碍事,反正那只眼睛也看不见."说着便又戴上眼镜.Faudree怕玻璃渣子进到他的眼睛里,便把那个碎了的镜片彻底捅了出来.然后Faudree给Graham打电话,要他把放在Bell实验室里的一副备用眼镜送过来.没过一会儿,Faudree发现Erdos又戴上了一副完好的眼镜,他疑惑地问:"这是Graham送来的吗?"Erdos说:"不是,这副眼镜也没多大帮助."又想了想,补充说:"我准是把别人的眼镜拿来戴上了."迟疑了一下,他笑了起来:"很可能就是刚才跟我在一起的那家伙的,我得问问他."
－－71－－
Paul Erdos was a searcher, a searcher for mathematical truth.
——Joel Spencer
后来Erdos的那只眼睛完全看不见了,急需一次角膜移植手术.在Faudree的妻子的安排下,很快找到了合适的角膜捐赠人,可以进行手术了.
手术开始前,医生仔细给Erdos讲了手术过程.
"医生,"Erdos问道:"我还能看书吗?"
"可以,"医生说道,"这正是我们手术的目的."
Erdos走进手术室.可灯光一暗下来,他又烦躁起来:"你们为什么把灯给关了?"
"为了手术."
"可你刚才还说我能看书!"
然后他就跟医生吵起来了,说既然做手术的是一只眼睛,为什么他不能用另外一只好眼睛看书呢?医生急得拼命给孟菲斯大学数学系打电话:"你们能否派一个数学家过来,以便手术过程中Erdos能谈论数学?"数学系答应了,手术进行得很顺利.
手术后,大脑需要一段时间才能将两只眼睛对焦.Erdos度过了悲惨的一年,他逢人就抱怨看东西重影.
－－72－－
He worked on what he loved to do to the last!
——Melvin Henriksen
一次Faudree和Erdos在希腊的一家饭店吃饭,Erdos的心跳突然陡增至每分钟150次.
Faudree连忙把他送到急诊室.Erdos紧盯着监视器,从那里可以读出心跳的频率.突
然,心跳频率开始急剧下降,仿佛要一直降到0,幸好在65时稳住了.医生把Erdos留在医院观察.Erdos的病床上堆满了论文,病房里数学家们像牵线一样进进出出.护士们试图阻止他可又没办法,医生和护士都被逼得发了疯.
－－73－－
不久我就要摆脱生命这一不治之症了.
——Erdos
一次Erdos因为心脏病在布达佩斯住院.他不得不转了医院,因为第一家医院里没有能够容纳那么多人探视的病房.他的病房里乱七八糟,到处都是成堆的杂志和论文.Erdos躺在那里,同时进行着三个讨论:用匈牙利语和一个角落里的一群人,用德语和另一个角落里的一群人,用英语和第三组人.在进行这些讨论时,他还和来探望他的Ordman夫妇说话.当医生们走进来时他喊道:"走开!不知道我这儿很忙吗?给我几个小时!"
医生们果然都走了.
－－74－－
就像生命一样,这种会议不久就要到头了;但比起生命来,它还是让人高兴多了.
--Erdos
1996年3月,在博卡拉顿举行的一次会议上,Erdos的报告进行了一半.当他站起来往黑板上写字时,突然僵硬地倒了下来.他的血压极低,心率降至37.他僵卧在那里,但麦克风还戴在身上.与会者都吓坏了,保安正安排他们鱼贯而出.这时Erdos苏醒过来,说,"告诉他们不要走,我还有两个问题要讲."
那次会议安排了去新奥尔良过斋前节,Alexander Soifer提出要留下来陪Erdos,Erdos说:"尽管去玩吧!我很好,什么事也没有.过完节后请到我的房间里来,我有些问题和你研究."
－－75－－
He talked a little, nearly every time I saw him, about death. He wanted it.
He did not fear it: what was there to fear in nothingness?
——C.P. Snow所记录下来的临终前的Hardy
1996年6月的一次会议上,Erdos听了Gerhart Ringel的报告.报告结束时,坐在前排的Erdos小声地问了一个问题,就在提问的当中,他突然昏厥倒下了.那天上午医生们给他装了一个心脏起搏器,晚上他就去参加宴会了,——在两位心脏科医生的陪同下.他站起来,微微地鞠了一个躬,介绍完两位医生后说:"现在我想完成我对Ringel博士的提问."
他没把他装心脏起搏器的事告诉别人,因为他不希望别人同情他.
－－76－－
1783.9.18,欧拉拿着烟斗,呛了一口,死前最后一句话是"我死了".
有次Erdos在演讲中讲到这个故事,一个听众说"欧拉的一个猜想又得到了证明",Erdos也想这样走.
"我希望在我演讲时,在黑板上完成一个重要的证明之后,有人喊道:'一般情况怎样?'我会面对听众,微笑着说:'我把它留给下一代',然后就撒手而去了."
——Erdos
一次Erdos与朋友们在Memphis的一家餐馆吃饭,他突然说自己感觉不舒服.Cecil Rousseau摸了一下他的脉,发现十分异常,连忙把他送到医院.
在急救室里,Erdos对Rousseau说:"给我出一道题.""奥林匹克竞赛题可以吗?""行!"
于是Rousseau就给Erdos出了一道德国数学奥林匹克的题目.过了一会儿,Faudree也来了,他们一直在讨论数学,尽量避免去看仪器上显示出的Erdos的心率.慢慢地,心率降下来了,Rousseau和Faudree才松了一口气.
Erdos被留在医院治疗,当然他仍然不会放弃数学.他给护士讲素数有无穷多个的证明,还挺高兴地对别人说:"我相信她听懂了."
－－77－－
Végre nem butulok tovább.
(我终于不再愈变愈蠢了.)
——Erdos自撰的墓志铭
晚年的Erdos越来越受到人们的欢迎,听他报告的人也越来越多.对此,Erdos是这样解释的:"大家都希望自己能说这样的话:'我记得Erdos.你看,连他最后一次讲座我都参加了.'"
1996年9月18日,Erdos在华沙的Banach中心参加图论会议,并作了一次报告.次日,他完成了他的最后一篇独自写就的论文.他买好了一张车票,准备去Lithuania参加一个数论会议.9月20日,他因为心脏病突发而去世.在他与SF作最后斗争时,没有一个朋友在他的身边.所以我们无从得知他说的最后一句话是什么.
不到一天的时间内,大半个数学界都得知了这一消息.人们很难相信这是真的,因为Erdos总是拿死亡和大家开玩笑,仿佛他永远不会死似的.但这次Erdos的确是真的离开了.他将到SF身边,潜心阅读那本"天书".那本书上有所有数学定理的最简洁、最优雅的证明.他将永远也读不完那本书,因为数学世界是超穷的,"天书"也是超穷的.所以他将一直读下去,直到永恒.
－－78－－
Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful. If they aren't beautiful, nothing is.
——Erdos
Erdos究竟给我们留下了什么?不光是1475篇质量不低的论文.
很难对Erdos在数学历史上的地位作出一个合适的评价,--他无疑是超一流的数学家,但他对数学的影响究竟有多大?
通常认为,20世纪的数学以泛函分析、抽象代数、拓扑学为基础,而Erdos对这三门学科都没什么兴趣,甚至可以说不怎么懂.Erdos主要的兴趣在数论和组合数学,而他研究数论主要使用的是比较初等的解析方法.从这个意义上看,Erdos对主流数学的影响并不是很大.
Béla Bollobás认为,Erdos对数学的主要贡献有三个:
第一,他一再向人们证明了:初等方法在数学中也有它们的地位.这里"初等"并不代表"简单",事实上,初等方法往往更为复杂.Erdos的很多工作都是18、19世纪的数学家就可以完成的,但一个由全套现代数学工具武装起来的数学家反而会对此感到无能为力.
第二,他引进了存在性问题的随机方法,用来证明各种各样跟随机性或者概率论毫无关系的问题.尽管随机方法还不像传统的存在性问题证明方法那样应用得广泛,但它已经越来越显示出它的威力.
第三,他提出了大量的问题.这些问题的陈述都非常浅显,但证明起来却十分困难.而且这些问题都是重要的问题,也都是合适的问题.
但或许Erdos对数学更为深远的影响并不是在技术上,而是在数学精神的领域.1984年,他获得Wolf奖的主要原因之一就是"and for personally stimulating mathematicians the world over".或许Joel Spencer说的这一段话已经能够说明Erdos对数学精神的影响:
"是什么使得我们这么多人聚集在他的圈子里?怎样解释我们在谈论他时获得的欢乐?为什么我们会喜欢讲述Erdos的故事?我曾经对此思考过很多,我想这是一种信念(belief),或者说信仰(faith).我们都知道数学的美,而且我们相信她的永恒.上帝创造了整数,剩下的都是人的工作.数学真理是亘古不变的,她存在于物理现实之外.举个例子,当我们证明了'若n≥3,则任两个n次幂之和都不会是n次幂'的时候,我们发现了一条真理.这就是我们的信念,是我们工作的动力.然而,对一个数学界以外的朋友解释这种信念,就像是对无神论者解释上帝.Paul实践了这种对于数学真理的信仰.他把他的全部聪明才智和超人的力量都贡献给了数学的殿堂.他对他的追求的重要性和绝对性毫不怀疑.了解了他的信仰,你就会产生同样的信仰.我有时会觉得,宗教界的人士比我们这些理性主义者更能够理解这个独特的人."
Szekeres & Klein Sweet Problem about Convex Polygon.
平面任意N个点可找到一个凸k边形,N最小为N_k
Szekeres 证明N_k>2^{k-2}+1
Erdos证明N_6<71
96年11月Graham和金芳容在Erdos追悼会上遇到Szekeres, 回去后利用一天时间将上限减小到70,是60年来的唯一进展,用了新的方法.一年后,上限就变成了37
还是用Erdos说的那句话来解释这种信仰吧:"You don't have to believe in God, but you should believe in The Book." 引自第1页
1913-1996
一生中同485位合作者发表过1475篇数学论文.论文数仅次于Euler
－－1－－
一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器.
——P. Erdos
前面所引的那段话暗示了一天工作19个小时以上(在古稀之年依然如此)的Erdos对兴奋剂的依赖.1979年,他的朋友Graham与Erdos打赌,只要他一个月之内不服用安非他明,Graham就输给他500美元.Erdos成功地赢得了这次打赌,但他对Graham说:"你帮我证明了我不是一个瘾君子,但在这段时间内我一无所成.我早晨起来就盯着一张白纸发呆,毫无主意,跟普通人没有什么区别.你因此使数学的发展滞后了一个月."所以他随后便重新开始服用兴奋剂.
－－2－－
SF创造我们就是为了拿我们的痛苦取乐,我们死得愈早,他的计划就愈早落空.
——Erdos
Erdos并不敬畏上帝,死亡对于Erdos的唯一意义就是使他无法再进行数学研究,所以他经常说:"在坟墓里有的是时间休息."
Erdos从事数学研究的方式很独特.他总是游历于世界各地的大学和研究所,登门拜访那里的数学家,向对方宣布:"我的头脑敞开着."然后他们便开始讨论数学问题,一连持续几天,直到双方都厌倦了为止.他从不在一个城市里连续呆上一个月(Another roof, another proof.)
－－3－－
出生的不幸是什么时候降临在你头上的?
——Erdos 常用的问候语
Martin Gardner第一次见到他的时候,他问Gardner:"你是什么时候到的?"Gardner连忙看表,这时Graham小声告诉他,对于Erdos来说,这句话的意思是:"你是什么时候出生的?"
－－4－－
一个数学家必须是在每个星期都有一些新的研究工作才成为数学家.
——Erdos
Erdos见到他的同行时,总喜欢问:"你昨天有什么新的发现?"可事实上并不是每个数学家都能像他那样每年发表50多篇论文!
－－5－－
我只要拿张纸,坐下,就能思考.
——Erdos
在很多张Erdos的照片上,他都是低着头的.这种姿势很容易让人以为是在打盹,但Erdos声称他是在思考问题.
1939年,Erdos曾听过M.Kac在Princeton研究所做的一个报告.事后Kac这样回忆道:
"在我报告的大部分时间内,他都快要睡着了.报告的内容跟他的兴趣毫不沾边.在将近结尾时我大致说了一下我在素因子方面遇到的困难.一提起数论,Erdos马上就精神起来,让我再解释一下到底困难在哪.不到几分钟,报告还没有结束,Erdos就打断我的讲话并宣布问题解决了!"
注:Mark Kac,波兰裔美籍数学家,主要研究概率论与数学物理,有以他名字命名的Feynman-Kac公式.
－－9－－
我不明白为什么我们初次见面时他会那样--说的全是数的平方和各种各样的证明.在我渐渐了解他之后,我发现他并不是那种喜欢过分张扬的人.……所以我真的不能解释为什么他总是在说他所知道的所有证法.
——A.Vázsonyi对Erdos的回忆
1930年,17岁的Erdos第一次见到14岁的Vázsonyi时,前者对后者说的第一句话是:
"给我举出一个4位数."
Vázsonyi答道:"2,532."
"它的平方是6,411,024. 对不起,我老了,否则我会立即告诉你它的立方."
Erdos又问道:"你知道毕达哥拉斯定理的多少种证法?"
"1种."Vázsonyi说.
"我知道37种.你知道位于一条直线上的点不能构成可数集合吗?"继而Erdos给出了一种证明方法,然后他说他必须跑了.
六十七年后,Vázsonyi仍然清晰地记得当时的情形:
"当Erdos说他必须'跑'时,他像只大猴子一样驼着背,侧着身子,摇摆着双臂,沿着街一溜儿小跑,引得行人时时回头观望.……当他年纪稍大之后,他的步态不太像猴了,但仍有些奇怪.他老是走得很快,甚至发展到会向一面墙直冲过去,然后突然止步,猛然掉头,再往回跑.有一次他没能止住脚步,一下子撞到墙上,弄伤了自己."
政治并不能干扰Erdos和他的朋友们对数学的兴趣.Vázsonyi回忆说:"他(Erdos)沉浸在素数的世界里,素数是他的一切,他与素数之间似乎有着某种奇妙的密切关系."
大学一年级时,Erdos便证明了Bertrand猜想:"在n和2n之间总存在一个素数,其中n是大于1的整数."这个猜想最初是在1848年由Chebyshev证明的,但Erdos的证明比Chebyshev的要简单得多,轰动了匈牙利数学界
20岁时,Erdos便宣称要用古希腊时期流传下来的Eratosthenes筛法来给出素数定理的初等证明,若干年后他果然做到了.这是后话.
注:Joseph Louis Francois Bertrand,19世纪法国数学家,在数论、概率论、几何、微分方程等领域均有贡献.
Pafnuty Lvovitch Chebyshev,19世纪俄国数学家,在数学许多领域有开创性工作,是俄国数学的奠基人.
Eratosthenes,与Archimedes同时代的学者,曾任亚历山大图书馆馆长.
－－12－－
最好的数学既是美的,同时又是严肃的.
——G.H.Hardy
在Erdos抵达英国的第二天,还发生了另外一件事,可能对他的影响更大,那就是他遇见了那个时代最为纯粹的数学家--Godfrey Harold Hardy.
数学家有很多种类型,像Erdos这样的可谓凤毛麟角.(不过好象公众心目中的数学家都是Erdos这样子的.)Hardy可谓是跟Erdos截然相反的一类数学家.
Erdos每天工作19个小时,Hardy的生活则有规律得多:他每天只花4个小时(上午9点到下午1点)用于数学研究,下午打板球和网球,晚上与B.Russell,C.P.Snow, G.E.Moore, A.N.Whitehead,J.M.Keynes,G.M.Trevelyan,E.M.Forster,L.Strachey,L.Woolf等人热烈交谈.
Erdos只对数学感兴趣,Hardy的兴趣则广泛得多.有一年,他在给朋友的明信片里谈了他新年的6项打算:"1.证明Riemann假设;2.不能让211队在奥威尔举办的板球决赛阶段第四局比赛中出局;3.找到足以让公众信服的证明上帝不存在的论据;4.成为登上珠穆朗玛峰的第一人;5.成为苏联、大不列颠及德意志联合王国的首任总统;6.谋杀Mussolini."
Erdos是天生的流浪者,Hardy则憎恶旅行,尤其是害怕坐船.如果Hardy不得不乘船出海,他就会给朋友寄一张明信片,宣称自己已经证明了Riemann假设.他认为这样一来上帝就不会让他在旅途中死去,因为上帝--他"个人的敌人"--是不会让他享有证明Riemann假设的荣誉的.
Erdos其貌不扬,看上去还有些神经质,Hardy则是出了名的美男子,十足的绅士.
注:Godfrey Harold Hardy,剑桥分析学派后期的领袖人物,主要研究调和分析与解析数论.
Bertrand Russell,20世纪最著名、最重要、最卓越的思想家之一,曾获1950年Nobel文学奖.
Alfred North Whitehead,英国数学家、哲学家,著有《数学原理》(与Russell合著)、《过程与实在》、《观念的历险》等.
John Meynard Keynes,有史以来最伟大的经济学家之一.
Georg Friedrich Bernhard Riemann,19世纪德国数学家,在数学的许多领域内均有天才的开拓性工作,对20世纪数学的发展有着难以估量的深远影响.
John Edensor Littlewood,英国数学家,与Hardy密切合作达35年,共同撰写了100篇论文.
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan,天才的印度数学家,对无穷级数和数论有着惊人的直觉."偷看过天书的人"
－－13－－
明年哥廷根见!
——Erdos理想中的犹太人祝酒辞
到英国后,Erdos开始了他的流浪生涯.他频繁来往于英国的各个大学之间,从没有连续七天呆在同一个城市.那时候世界数学的中心是哥廷根大学,尽管希特勒的兴起已使哥廷根开始衰落.Erdos一直想去哥廷根,但作为犹太人的他始终没有达成这个心愿.
他每年要回布达佩斯三次,看望双亲和老朋友.有一次,在他回家期间,Vázsuoni正研究一个图论问题,并找到了这个问题的必要条件.他回忆道:"我几乎天天与Erdos见面.但我犯了一个致命的错误--我在电话里把自己的发现告诉了他.我称这个错误是致命的,是因为他在20分钟后就回电告诉了我证明充分性的方法.'该死的,'我想,'现在我只好和他合作写这篇论文了.'这个著名的Erdos数'1'究竟给我带来了什么,我几乎一无所知."
－－14－－
Wir Mathematiker sind alle ein biβchen meschugge.
(我们数学家都有些疯狂.)
——E.Landau曾对Erdos说的一句话
Harold Davenport的妻子Anne Davenport回忆说:"有一次在三一学院,我想大概是在30年代,Erdos和我丈夫在一个公共场所思考了一个多小时而彼此一言不发.最后,Harold说:'这不是0,而是1',这才打破了长时间的沉寂.然后就是如释重负、一片欢欣了.他们周围的人都以为他们疯了.的确,他们是疯了."
注:Edmund Landau,德国数学家,主要研究数论与复变函数,曾在柏林大学和哥廷根大学任教授.Erdos没去过哥廷根,Landau却访问过剑桥,他们可能就是在剑桥见面的.
据说Landau怀疑Littlewood这个人的存在性,所以专程去英国看了一下.这个故事还有另外一种版本,说Wiener在访问剑桥时遇见了Littlewood,便说:"哈!原来还真有你这么一个人!我还以为Littlewood是Hardy发表那些写得不太好的文章时所用的化名呢!"Wiener对这个笑话感到非常苦恼,专门在自传里辟了谣.
－－15－－
人们研究你是因为你是一个数学家,而不是因为你研究Leibniz.
——Erdos对Godel如是说
1938年9月3日发生了捷克事件.那天Erdos正在布达佩斯,他当晚便匆匆赶回英国,几周后又去了美国,到位于Princeton的高等研究所(Institute for Advanced Study)工作.
Oppenheimer曾称高等研究所是一座疯人院,许多年以后他自己成为这家疯人院的院长.在这里,Erdos肯定算不上是天才,但却仍然显得很怪异,因为一年半以后他就因为过于"uncouth and unconventional"而被解聘了.不过天真的Erdos却把在研究所的这段日子称为他在数学上最有成果的时期.
当时的高等研究所拥有世界上最出色的一批数学家,比如说Godel. 那时候Godel的兴趣已经转向了形而上学,所以Erdos常与他吵得不可开交.
Godel晚年患精神病.疑心别人下毒只吃妻子的食物.妻子住院后他饿死.
注:Gottfried Wilhelm Leibniz,17世纪德国百科全书式的学者,微积分的创始人之一.
Kurt Godel,奥地利裔美籍数学家、逻辑学家.
James Waddell Alexander,美国拓扑学家.
Harold Marston Morse,美国数学家,Morse理论的创立者.
Claude Hugo Hermann Weyl,Hilbert的得意门生,20世纪最伟大的数学家之一.
－－16－－
我知道Einstein绝不信奉人格化的上帝,因为我问过他.
——Erdos
如同那个时代曾待在Princeton的其他人一样,Erdos曾有幸与Einstein交往.有一次在Einstein家吃午饭时,Erdos把自己最钟爱的素数理论讲给Einstein听.Einstein对这一理论的评价很高,但他对细节并不感兴趣.
他们两人主要讨论的话题还是政治.Erdos一向很关心政治,经常就世界政治和人类的普遍问题发表一些悲观言论.
原子弹的问世使Einstein再次成为世界关注的焦点,--尽管没有Einstein也能造出原子弹.Erdos曾问Einstein:"40年前你想到过你的质能方程会在你的有生之年得到应用吗?"Einstein说:"我没料到.我曾想也许最终会得到应用,但没料到会那么快."
其实像Einstein或者Erdos这样的科学家并不很关心自己的理论能否得到应用.一个极端的例子是Erdos曾经拜访过的Hardy,他就宣称最好的理论是毫无用处的,比如数论和相对论,--不幸的是他举的这两个例子都错了.
－－17－－
他在Princeton的大街上走来走去,挥舞着双手,旁若无人地比划着.
——Louise Straus对Erdos的回忆
每当他在自己的宿舍里住腻的时候,他就跑到他的数学助手Ernst Straus的家里呆上若干天.
那时Straus夫妇经常在半夜里听到一声巨响,那是Erdos在开窗户,--他从没想到应该轻轻地把窗户放下.他不会使用淋浴器,不会把水龙头关上.他到公用电话亭里彻夜不停地往里面塞硬币,给世界各地的数学家打电话,宣称自己在Straus家里,然后和他们讨论问题.他还邀请附近的一些朋友到这里来,不管主人是否同意.
许多年以后,Straus说:"Einstein曾对我说过……对于一个科学家而言,首要任务是解决核心问题,而不为其他问题所动--无论那些问题多难,多么具有诱惑力.Erdos完全违背了Einstein的这一番话,但他却取得了成功.他几乎痴迷于他所遇到的每一个难题,并成功解决了其中的大部分."
－－18－－
你应该找一份实际的正经工作.
——Halmos对Erdos的劝告
P.R.Halmos曾记载过Erdos在Princeton时的另一个故事.Hurewicz曾经提出过这样一个问题:Hilbert空间中有理点集合的维数是多少?Erdos听到这个问题后,便问"Hilbert空间"和"维数"各是什么意思.有人把定义告诉他,很快Erdos便得出了答案.这是Erdos对一个他几乎一无所知的领域作出的贡献!
－－21－－
数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作,他可能在走路、吃饭甚至谈天时继续思考.
——Ulam
其实Erdos无论如何都不可能被接纳到曼哈顿工程中的,因为他在FBI早已有了案底.
1941年,他还在Princeton的时候,有一次与两名Princeton的学生,加久谷静雄和A.H.Stone,一起去Chicago参加一个会议,途经长岛,便下来看看海景.他们在一个无线电发射塔--可能是一个秘密的军用雷达--附近拍照,被警卫发现.警卫报警称"3个日本人在这里鬼鬼祟祟地拍照",于是警察四处搜捕,终于在路上截获了他们.
FBI的调查人员问他们为什么没有看到"NO TRESPASSING"的标牌,Erdos说:"我正在思考问题.""思考些什么?""数学."当晚,他们的身份被确认,于是得到释放.但此事已经被FBI记录在案,并对Erdos产生了不利的影响,这是后话.
Turán就曾经有过一段危险的经历.当时他在布达佩斯被一个苏联巡逻兵拦住去路,被要求出示证件.可Turán刚逃过纳粹的搜捕,身上没有任何证件.情急之下,他拿出一本1935年出版的《托木斯克数学力学研究所通报》,上面有他和Erdos合著的一篇论文.这本战前的苏联杂志显然赢得了士兵的好感,于是他被放行了.后来Turán遇见Erdos时,感慨地说:"没想到数论还有这样的妙用!"
注:Paul Turán,匈牙利数学家,主要研究数论和图论.
－－24－－
他(Ulam)真的很幸运,并没有遭受年迈体衰和老年痴呆这两大恶魔的折磨,他在依然还能求证、还能猜想的时候猝死于心脏病,死时没有痛苦,没有恐惧.
——Erdos
如果你是一位才华横溢的数学家,如果你不幸得了脑炎,如果在你做完脑部手术、恢复清醒之后,医生问你这样一个问题:"8与13的和是多少?"你的感觉会是怎样的?
这就是Ulam在1945年冬天的遭遇.也许他会从此丧失对自己数学能力的信心,--如果他在走出医院的时候没有遇见Erdos. 那天,当Ulam在妻子的搀扶下离开医院时,突然看见Erdos神气活现地出现在他们的面前."Stan!我还以为你已经死了,正准备替你写讣告,还打算独自完成咱们合写的论文."
Erdos手提一个小箱子,里面装着他的全部财产,显然是无处可去,于是Ulam便邀请他去自己的家.在乘车回家的路上,Erdos缠着Ulam讨论数学问题,根本不让Ulam休息.Erdos在Ulam家里住了两周,不停地与Ulam讨论数学问题.在Ulam做手术后,Erdos是第一个把他当作数学家而不是白痴或者准白痴看待的人.
－－25－－
死亡从40岁开始.
——Erdos
1948年冬,Erdos回到布达佩斯,看望了他的母亲和一些老朋友.但很快斯大林就开展了一次笔迹审查活动,大肆封锁边界、围捕公民,Erdos不得不再次逃离匈牙利.随后几年内,他往返于美国和英国之间,居无定所.
那时Erdos已经开始在信件里不停地抱怨自己已经老了,他还经常对人说,上帝已有一只手搭在了他的肩膀上.有人问他:"Paul,如果你才40岁时就感觉如此之糟,当你50岁时又会如何?"他立即悲哀地说:"更糟."
科学家的创造年华通常是很短暂的,所以学术机构中都设有终身职位,以保证科学家的生活.Erdos的朋友们劝他尽快找一份终生职位,他们说:"Paul,你那走江湖数学家的生涯还要维持多久?"他竟回答:"起码40年."他甚至拒绝了一些大学的终身职位的邀请.
－－26－－
数学是科学的女王,数论是数学的女王.
——C.F.Gauss
大约在1792年,15岁的Gauss经过深入的分析和例证,猜想素数在自然数中的的分布密度应该是1/log(x),Gauss曾经写信给当时世界上一些著名的数学家,向他们请教这个问题,但没人能给出证明.
这就是19世纪最著名的数学难题:素数定理.
在Gauss的一生中,肯定曾花费了不少时间和精力来思考这个从少年时便开始困惑他的难题,但我们没有Gauss关于这个问题的研究记录,所以也无法知道他在这个问题上究竟走了多远,不过十有八九是他并没有解决这个猜想.
注:Carl Friedrich Gauss,主要生活在19世纪的德国数学家.他通常被认为是历史上最伟大的三位数学家之一,另外两个是Archimedes和Newton.
高等算术(即数论--编者注)中一些最美丽的定理具有这样的特性:它们极易从经验事实中归纳出来,但其证明却隐藏得极深,只有高人一等的研究者才能把它们挖掘出来.正是出于此种原因,赋予高等算术以神奇魅力,使之成为第一流数学家们最喜爱的科学.至于它远远凌驾于数学其他各分支之上的无限丰富性,那就更不必提了.
——C.F.Gauss
首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev. 他证明了如果π(x)log(x)/x 的极限存在,则必定是1. 这些无疑都是很重要的进展,但不幸的是,用Chebyshev的方法无法证明最后的结果.
1859年,Riemann发表了题为"论不超过一个给定值的素数个数"的论文,这是他唯一一篇关于数论的论文.在这篇仅8页的论文里面,Riemann首次深刻而系统地研究了ζ函数的性质.并且指出,素数的分布与ζ函数,特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系.
在这篇文章里,他还提出六个关于ζ函数的猜想,其中一个就是著名的Riemann假设:ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上
Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方 向,以后这方面所有的进展都是从他的思想中得来的.
1896年,两位年轻的数学家Hadamard和de la Vallée Poussin按照Riemann的思路,各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理,从而解决了这个有一个世纪历史的难题.后来Landau,Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明.以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具.后来Wiener用实分析的方法证明了素数定理等价于"ζ函数的零点不在直线 Re(s)=1 上".这就更让人相信,素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具.
1921年,G.H.Hardy就曾经说过这样一段话:"断言一个数学定理不能用某种方法证明,这可能显得过于轻率;但有一件事(素数定理没有初等证明)却是清楚的.如果有谁能给出素数定理的初等证明,那么他就将表明,我们过去关于数学中何谓'深刻'、何谓'肤浅'的看法都是错误的.那时我们就不得不把书本都抛在一边,重写整个理论."
Hardy逝世于1947年,他万万没有想到,就在他去世的两年后,两位年轻的数学家就推翻了他以及整个数学界的断言,用完全"初等"的方法给出了素数定理的证明,进而导致了整个素数理论的重写.
注:Jacques Salomon Hadamard,法国数学家,在数学的许多方面均有贡献,被誉为Poincaré之后少有的多面手.
Norbert Wiener,美国数学家、哲学家,控制论的创立者,在调和分析、数学物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献.1964年获美国国家科学奖章.
－－28－－
我很同情非数学家,我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报.
——Selberg
1949年,两位年轻的数学家,31岁的Selberg和35岁的Erdos分别独立地证明了素数定理.与以往的证明不同的是,他们的证明没有用到ζ函数,而且除了极限、e^x和log(x)
的简单性质外,没有用到任何高等数学的知识,甚至连微分和积分都没有用到!可以说,他们给出的是一个完全"初等"的证明,这一结果轰动了整个数学界.
在Erdos的一生中,尽管发表了1475篇论文,但像素数定理的初等证明这样具有划时代意义的成果却很少.但Erdos对这件事却避而不谈,因为在这件事上颇有争议.
当时Selberg发现了一个恒等式,他把这个恒等式告诉了Erdos. 然后他们两人分别独立地用这个恒等式给出了素数定理的初等证明.他们本来商量好在同一本杂志上一起发表文章,讲述各自的工作.Erdos便到处给数学家发信,宣称他和Selberg已经给出了素数定理的初等证明.但有一次,Selberg碰上一位陌生的数学家,对方开口就说:"你知道吗?Erdos和--和谁来着?--用初等方法证明了素数定理."Selberg伤透了心,便抢先发表了论文,并因此享有该成果的大部分权益.Selberg也从此与Erdos反目.
在数学家中,优先权的争论并不少见,最著名的就是Newton和Leibniz关于微积分发明权的争论.但Erdos却具有罕见的坦荡胸怀,他愿意与别人分享他的数学思想,他的目的并不是要第一个去证明某个问题,而只是使这个问题得到解决--不管是不是他解决的.所以Erdos才能有创纪录的485名合作者.但我们不能指责Selberg心胸狭窄,因为即使Newton或者Gauss这样的最伟大的数学家也会陷入优先权的争论之中.这只能说是一场悲剧.
注:Atle Selberg,挪威裔美籍数学家,在数论、调和分析、离散子群、自守函数等方面均有贡献.1950年获Fields奖,1986年获Wolf奖.
－－30－－
我现在在澳大利亚,明天去匈牙利.设k为最大的整数以满足……
—— 一封典型的Erdos的信件的开头
移民局没有给Erdos再入境许可证.Erdos请了一名律师提出上诉,结果被驳回.法院没有给出任何理由.他的律师被允许查阅部分Erdos的档案,发现其中附有一封Erdos写给居住在红色中国的华罗庚的信:"亲爱的华,设p是一个奇素数……"Erdos一年要写1500封左右的信,基本上都在讨论数学问题.但移民局的官员显然害怕信中的那些他们看不懂的数学符号是某种密码.
另外根据FBI的记录,Erdos还曾经涉嫌在一个雷达站附近从事间谍活动.所以他被麦卡锡踢出美国是再正常不过的事了.
－－31－－
他是一个流浪的学者(wandering scholar).他时常横跨五大洲.他效忠的是科学的女王而不是任何特别地方或研究所.
——Rado谈Erdos
被赶出美国之后,Erdos发现自己已经没什么地方可去了:荷兰只给了他几个月的签证,英国也差不多.西欧的各个国家都不愿意接纳一个对红色中国亲善的人.最后,以色列接纳了他,给予他居住权,但他拒绝加入以色列国籍,并且保留自己的匈牙利护照.1955年,Erdos在密友们的多方奔走和呼吁下,终于得以访问匈牙利.匈牙利政府颁发给他一个特别护照,证明他是匈牙利公民,但拥有以色列居住权.从此Erdos能够自由出入匈牙利.他每年都要回去几次,看望母亲和朋友们.
但Erdos永远都不会安居在一个地方,他宣布自己是世界公民.他以惊人的速度穿梭于各个大学和数学研究所之间.他的足迹踏遍五大洲,他在超过25个国家里进行数学研究,在遥远的地方完成各种重要的论证,有时还在这些地方的不知名的杂志上发表自己的成果.他曾经在六十年代初和八十年代中期两次访问中国.1990年,为庆祝柯召教授八十寿辰暨执教六十周年,《四川大学学报》出了一本专辑.Erdos热情地写了一篇题为《初等数论中的某些问题与成果--祝我的朋友和合作者柯召80寿辰》的论文发表在该专辑上.
他的全部财产都装在一只破旧的小衣箱和一个在布达佩斯中心商场购买的土黄色塑料包里.流浪,流浪,这就是一个犹太人的宿命.
注:Richard Rado,德国数学家,后移居英国.主要研究组合数学.
柯召,中国数学家,研究方向为数论、组合数学、代数等.
－－32－－
Non numerantur sed ponderunter.(不是看数,而是称重.)
——俗谚
在古代匈牙利的贵族院,统计选票不是看票数,而是称重量.Erdos经常会想象上帝正拿着天平衡量他与同事们合著的论文.天平的一端放上他与已去世的同事合著的论文,另一端放上他与仍在世的数学家合著的论文."当亡者的那一端下沉的时候,我肯定也要死了."他这样说.
是的,每个人都会衰老,都会死去.所以Erdos以惊人的精力工作,--他害怕有一天他再也不能思考.即使在70多岁的时候,他还一年发表50多篇论文.
－－33－－
他(Erdos)的工作节奏真是逼死人.
——Ralph Faudree
不知道那些有幸受到Erdos拜访的数学家们会有何感触,至少孟菲斯大学的Ralph Faudree是很不适应.他发现Erdos每天仅仅需要3个小时的睡眠,每天很早就起来写信--都是有关数学的.他起来后,觉得别人也该起来工作了,就把电视打开,声音开得大大的.他还会跑去敲Faudree的卧室的门:"Ralph,你还活着吗?"吃饭的时候,他也会在餐巾上写写画画或是不停地讨论数学问题.
Faudree后来回忆道:"等他住上一两个星期后你都快要崩溃了,但就在他走后的几天里,我还会不断收到他的电话:'证明完成了没有?你把它交给打字员了吗?'"
－－34－－
他(Erdos)一定是认为我有可取之处,因为后来连续10多年他每年都来路易斯维尔找我,而且一呆就是一个星期.
——Michael Jacobson
1983年,Erdos第一次到路易斯维尔拜访Michael Jacobson. 那时Jacobson还没结婚,于是就跟Erdos住在一起.他对Erdos的故事早有耳闻,已经作好准备与之一起拼命工作,但情况显然远超过他的预料.
"头一天我们就工作到半夜1点,我已经精疲力竭,上楼睡觉去了.他呆在楼下的客房里.凌晨4点半,我听到厨房有响声,他把锅碗瓢盆弄得一片响,那是在告诉我该起床了.大约6点钟时,我跌跌撞撞地下了楼.你猜他说的第一句话是什么?不是'早上好!'也不是'睡得好吗?'而是'设n是整数,k是……'我只穿了一件浴衣,半裸着身体,眼睛还是半睁半闭,矇矇眬眬.我认输了.我告诉他,不洗一个淋浴的话,我是没法接着研究数学的."
范德比尔特大学的Mike Plummer回忆了这样一件事情:"1983年圣诞节前夜,我一家都在布达佩斯.这儿圣诞节可是一个隆重的节日,各家各户都团聚在一起开拆礼物.城市都停止运作了,所有单位都打烊,连公共汽车都不开了.要想坐出租车的话,几天前就得预订.我们都穿好了衣服,等着出租车来接我们去看一个朋友.正当我们站在屋里时,突然听到一阵敲门声.我打开门一看,是Erdos站在那里.'Plummer,'他说道,'圣诞快乐.设f(n)是以下函数……'就这样我们一直讨论到出租车来时为止.要想止住他的话而离去那是很困难的."
－－36－－
Erdos有一种激励人的本领,他能把人们带到一个全新的水平.他的数学世界是我们都能够进入的.
——Joel Spencer
－－37－－
全世界的数学家,联合起来!
——F.Klein
有一年,Erdos去UCLA,那里很多人都想和他讨论,便问他什么时候有空.Erdos总是回答:"任何时候."结果他的房间里经常聚集着一大帮人,而Erdos同时和几个不同的人讨论不同的数学问题.
他满屋子转,就像一位超级棋手同时跟好几个人下棋.Bruce Rothschild说:"那可真够刺激.当他正与别人合作时,趁着他还没回到你身边,你还有点时间考虑考虑.你还有机会知道别人正在着手解决什么问题."
Erdos自己可以同时思考好几个问题,但他却希望他的合作者精力集中在手头的问题上.当他察觉到他们走神时,他会说:"不许开小差!"
注:Felix Christian Klein,德国数学家.在他所生活的那个时代,他是哥廷根乃至整个数学界的领袖之一.
－－39－－
从来没有什么下棋的问题影响过科学思维的进程,而Pythagoras,Newton和Einstein都分别在他们不同的时代改变了科学思维的方向.
——G.H.Hardy
在一次会议期间,Erdos看见单墫和另外一位中国数学家下围棋,颇感兴趣,便要求和单墫下.但他知道中国人是下"Go"的高手,就提出得让他四个子.下的时候,他全身"覆盖"在棋盘上(眼睛相当近视).第一盘自然是输了,又要求再下一盘.第二盘单墫故意让他赢,他丝毫没有觉察,还非常高兴,连声说:"We are equal!"
－－40－－
数学从纯理论角度看是有序而美好的,这种秩序超越了物质世界.
——Erdos
Erdos只对数学感兴趣,但这并不意味着他对数学以外的事物完全无知.他会下国际象棋,会下围棋,会打桥牌,会打乒乓球,而且他还有十分渊博的历史和科技知识.一次,在匈牙利科学院宾馆,有人把Erdos介绍给Lajos Elekes. Erdos首先发问:"你从事什么职业?"许多人在知道Elekes是一位正在写一本关于15世纪匈牙利将军János Hunyadi的书的历史学家时都会无言以对,但Erdos立即追问:"匈牙利军队在1444年瓦尔纳战役中惨败于土耳其的原因是什么?"
从某种意义上说,数学是唯一无限的人类活动.可以想象,人类终将有一天获得物理学或者生物学的全部知识,但人类永远无法穷尽所有的数学知识,因为数学领域是无限广大的.数字本身是无穷多的.这就是数学成为我唯一兴趣的原因.
——Erdos
Erdos最后一次看小说是在20世纪40年代,最后一次看电影是在50年代.有一次,一位同事带他去航天中心看火箭,但他甚至连头都没有抬.还有一次他被人拉去看哑剧,可表演没开始他就睡着了.
－－42－－
Erdos的证明总是很漂亮,使用的技巧常常比别人的更好、更高超.
——M.Golomb
Erdos对许多数学领域均有贡献,而他的智慧远远超出了他的专业领域.George Purdy回忆了这样一件事:"1976年我们在德州农机学院的数学休息室喝咖啡时,看见黑板上有一个有关泛函分析的问题.对这个领域,Erdos一无所知.碰巧我知道有两位这方面的专家刚刚得出一个长达30页的解答并因此而沾沾自喜.Erdos抬头看了看黑板说道:'那是什么?那也是一个问题?'我说'是的',然后他就走到黑板前面眯着眼睛看了看那个简要陈述的问题.他问了几个有关符号代表什么意义,便毫不费力地写出一个两行的解答.要是那还不是魔力,什么才是呢?"
－－43－－
上帝不掷骰子.
——Einstein
数学往往是要求精确的.但Erdos开创了一种存在性问题的概率证明方法,把随机性引入证明之中.他可以证明许多现象存在的概率很大,甚至是1,但不给出构造.这种办法在计算机里经常会用到.想象一下这样一个难题:我是应该先迈左脚,还是应该先迈右脚?对这个问题如果非要找一个合理的回答,那就怎么也迈不了步,于是便会陷入死循环.最好的办法是掷一枚硬币,让上帝来替我们选择.
1989年,为纪念Erdos概率证明方法的发现,参加在波兰波兹南召开的随机图论会议的数学家们举行了一次随机赛跑.当他们绕着跑道赛跑时,谁也不知道终点在哪里.赛跑开始前,Erdos作为嘉宾掷了一枚巨大的骰子以决定起始的圈数,当大家快接近终点线时,Erdos又掷了一次骰子以决定再增加的圈数……Erdos开心地笑了,显然对自己所扮演的"烦人的SF"角色相当满意.
－－44－－
有位法国社会主义者说私有财产是窃取之物,而我认为私有财产就是累赘.
——Erdos
Erdos每见到一个无家可归的人,总要给他些钱.D.G.Larman回忆道:"60年代初,当我还是伦敦大学学院的一个学生时,Erdos来这儿讲学一年.他第一个月的工资刚发下来就在尤斯顿车站碰上一个乞丐找他要茶钱.Erdos从放工资的口袋里留出支付自己简单生活的少量费用后把剩下的钱都给了乞丐."
每当他得知一件好事,比如说艰难起步的古典音乐电台、美洲土著人运动、走失儿童抚养所,他就会捐一些钱.在他去世一年后,他所捐赠的组织还给他写信表示感谢.
－－45－－
这东西,只这一点点儿,就可以使黑的变成白的,丑的变成美的,错的变成对的,卑贱变成尊贵,老人变成少年,懦夫变成勇士.
——莎士比亚,《雅典的泰门》
1984年,Erdos获得Wolf数学奖.他把5万美元奖金的大部分捐给了以他父母的名义设立的奖学金,自己只留下720美元.他曾两次去印度讲学,所得的报酬都捐给了一位素昧平生的印度妇女--Ramanujan的遗孀.
80年代末,Erdos得知一位叫Glen Whitney的高中生想到Harvard去学数学,但还差一点儿学费.Erdos便与他此人见了面.当他深信这名学生确有天资时,就借给了他1000美元,并告诉对方只有在不造成经济困难的情况下才还钱.10年后Whitney有能力偿还这笔钱了,便问Graham:"Erdos要不要利息呢?"Graham向Erdos询问,Erdos回答:"告诉他,拿那1000美元去做我当年所做的事."
－－46－－
只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力;而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止.
——D.Hilbert
Erdos经常在各种数学杂志上抛出一些悬赏征解的数学问题,奖金数目从五美元到三千美元不等.许多年轻人都爱做Erdos提出的问题,当然不光是因为有奖金.Erdos提出的问题往往重要而有趣,很多人就是在解决了这些问题后走上数学道路的.
有人曾问Erdos,假如所有的问题都同时解决了,事情会怎么样?他还支付得起吗?
Erdos说"当然不能.但如果所有储户同时要求把钱取光的话,哪怕是世界上资金最雄厚的银行也会破产.事实上前者比后者发生的可能性还要小得多"
Erdos去世后,他的朋友Graham决定负责支付他在图论问题上的奖金,总额约10000美元,达拉斯的一位银行家则提出支付其他领域里的问题的奖金.
下面是一个有三千美元奖金的问题:
如果正整数序列a1,a2,……有这样的性质:
∞
∑ 1/ai ＝∞
i=1
那么原来的数列中存在长度为任意自然数的等差数列.
－－47－－
孩子们从来不认为他们会死,我也是这样,直到4岁时.当时我正和母亲逛商店,突然意识到自己错了.我哭了起来,我知道我会死的.从那时起,我总是想再年轻一些.
——Erdos
早在四十年代,Erdos便一再在书信里宣称自己已经老了.1970年,他在洛杉矶作了一次"我从事数学的前25亿年"的讲演:"当我还小时,据说地球已有20亿岁年龄.现在,科学家们说地球有45亿岁.这样一来,我就有25亿岁了."听讲座的学生们画了一条时间曲线,画上Erdos正骑着一条恐龙.有人问他:"恐龙是怎么一回事?"Erdos答:"你看,我忘记了,因为一个老人只记得很早时候的事,而恐龙则是昨天才出生的,就在1亿年以前."
－－48－－
一个人衰老的第一个标志,是忘记了自己的定理,第二个标志是忘记拉上拉链,第三个标志是忘了拉开拉链.
——Ulam
70年代初,Erdos开始用P.G.O.M.来代表他的名字,意为"Poor Great Old Man".到他60岁时,就成了P.G.O.M.L.D.,L.D.是"Living Dead".到65岁时,又成了P.G.O.M.L.D.A.D.,A.D.意为"Archaeological Discovery".70岁时,换成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.,L.D.是"Legal Dead".75岁时,又成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.C.D.,C.D.是"Counts Dead",他解释道:"匈牙利科学院有200名成员.当成员满75岁时,还可以留在科学院并享有充分的特权,但已不再计为成员了.这就是'计数死亡'的含义."
－－49－－
我从未做过什么"有用"的事情.我的任何发现都没有,也不可能对平静的现实世界产生什么影响,不管是直接的还是间接的,也不管是正面的还是负面的.
——G.H.Hardy
与Hardy不同,Erdos对数学的应用更能容忍,事实上他的很多成果都获得了应用.
但Erdos的兴趣只在"纯粹"数学方面,并且明确反对任何脱离纯粹数学的倾向.
Vázsonyi回忆道:"当我为继续当一位数学家还是去工学院当一名工程师的问题犹豫不决时,Erdos警告我:'我会藏起来,等你一去工学院,我就毙了你.'一句话就把我搞定了."
－－50－－
每一样能够用于善举的东西同样也能够用于恶行.归根到底,确定毒气传播的微分方程同样也能描述污染物的扩散.因此,人们既能有意散播毒气,又能防止污染的扩散.
——Erdos
二战期间,M.Kac曾在MIT的辐射实验室工作,他根据当时的研究成果在《应用物理杂志》上发表了一篇论文.然后他就收到了Erdos寄给他的明信片,上面只有一句话:"我为你的灵魂祈祷."
－－51－－
One should have a general attitude of welcoming to everybody.
——B.Russell
Erdos非常富有同情心.1945年,他到一位数学同行家里参加晚会,但刚与大家打了个招呼,便不见了踪影,直到晚会快结束时才再次见到他.原来Erdos得知主人有一个双目失明的老父亲,不能来参加晚会,孤零零地呆在楼上的一个房间里;于是Erdos宁愿放弃与数学同行们共度良宵的机会,而上楼去陪伴那位孤独的失明老人.
Peter Winkler谈了另一件事:"我们有一个非常聪明的学生,可惜患有脑瘫,人坐在轮椅里.当Paul第一次见到他时,便立即跑上去,询问他的病情和预后状况.Erdos在10分钟内对这个学生的了解比我们在他整个研究生学习期间对他的了解都要多.此后Erdos对这个学生的研究工作很是关心--当时该生正在完成他的博士论文,--提了很多中肯的建议.诸如此类的事情在他的一生中不胜枚举."
－－52－－
每次他(Erdos)回到匈牙利时,他总要问候那些年迈的妇女们.光花在这些数学家的母亲和遗孀上的时间就要耗掉他回来后的头两三天.
——Vera Sós
1994年在布达佩斯,Erdos去看望他的一位老朋友的岳母.那位老夫人坐着轮椅,并且出于某种原因生活在精神的痛苦中.她不住地埋怨她的保姆:"别放在那儿!""为什么不先给Erdos教授先生上茶?"临走的时候保姆把客人们送出门,Erdos给了她一份相当丰厚的小费,好象是对她所受委屈的一种安慰.
Erdos总是尽自己的可能帮助别人.当身无分文的俄罗斯数学家来到匈牙利时,他把自己所有的钱都给了他们.
塞尔维亚数学家Aleksandar Ivic谈了另外一件事:一次他与Erdos一同在餐馆吃饭,两人正讨论一个数论问题,Erdos突然从兜里掏出一叠不同国家的钞票,并用一种柔和的语调说:"拿着吧!我知道你现在很缺外汇."Ivic非常窘迫,对Erdos说,从贝尔格莱德目前的政治、经济形势看,他在可预见的将来是还不了这笔钱的.Erdos坚持要给他,但Ivic最终还是没有要.
－－53－－
你听说过我母亲的定理了吗?我母亲说过:"在同一时间,即使是你,Paul,也只能在一个地方."也许不久我就将不受这一限制了.也许一旦我离开了这个世界,我就可以同时在不同的地方了.也许到时我将可以与Archimedes和Euclid合作了.
——Erdos
Erdos对他的母亲怀有深厚的感情.Herb Wilf说:"在参加一次会议期间,有一天我正穿过院子准备去吃早饭,Erdos刚好吃完早饭从我对面走来.当我们相遇时,我习惯性地问候道:'早上好,Paul,今天好吗?'他一下子止住了脚步,出于尊敬和关心,我也停了下来.我们默默地站在那里,他认真地思考着我的问话,仿佛那是一个渐进线理论方面的问题,需要好好想想才能回答似的.他的一生都在冥思苦想重要的数学问题,但对待这样的日常问候语也很认真.他沉思了好一会儿,终于回答道:'Herb,今天我很难过.'我说:'听到这个我很抱歉,你为什么难过,Paul?'他说:'是因为我想念我母亲.你是知道的,她死了.'我说:'是的,我知道这事,对于她的去世,你和我们大家都感到很难过.但这不是5年前的事吗?'他答道:'是的,5年了.但我很想念她.'我们相对无言,尴尬地站了会儿,然后各奔东西."
－－54－－
他把一个个问题连珠炮似地砸向我们,好象我们是职业数学家似的.
——J.Pelikán回忆他15岁时第一次见到Erdos的情形
Erdos以发掘数学天才为己任.1959年,他听说有一个12岁的匈牙利小男孩Lajos Pósa已经掌握了全部中学数学课程,便邀请他共进午餐.吃饭的时候,Pósa正喝着汤,Erdos便问了他这样一个问题:"试证:在1,2,...,2n中任取n+1个数,必有两个数互素."
Pósa先把汤喝完,然后给出了这个问题的证明.Erdos大为震惊,因为他当初花了10分钟才找到这个问题的证明方法,而这个小男孩只用了半分钟!
后来Erdos经常与Pósa见面,Pósa 13岁时,Erdos便给他讲Ramsey原理,并提了一个包含无穷个点和无穷条边的问题.Pósa花了15分钟时间才弄清楚题意,然后他回家了,想了一个晚上,最终在入睡前找到了证明.
和Pósa讨论问题时,Erdos曾给他喝浓咖啡.Erdos的母亲对Erdos给这么小的孩子喝浓咖啡大为光火,Erdos答道:"Pósa会这么说:'夫人,我做着一名数学家的工作,喝着一名数学家所喝的饮料.'"
Pósa不到14岁时,Erdos已经把他当作成年数学家来讨论问题.14岁那年,Pósa与Erdos合作发表了第一篇论文,15岁时在图论方面完成了他最著名的工作.但20岁那年,Pósa就停止证明和猜想,改行去作小学教师了.
Erdos说:"我觉得非常可惜.他虽然活着,但无异于行尸走肉,我非常希望他能尽快真正活过来.其实当他16岁那年告诉我他宁愿做Dostoyevsky,而不做Einstein时,我就开始隐隐有些担忧了."
注:Frank Plumpton Ramsey,英国数学家、逻辑学家、经济学家.他开创了组合数学中的Ramsey理论.
Fyodor Mikhaylovich Dostoyevsky,19世纪俄国小说家,擅长强烈的心理描写.代表作有《白痴》、《罪与罚》、《卡拉马佐夫兄弟》、《群魔》等.
－－55－－
Paul Erdos was the most inspirational man I have ever met.
——Joel Spencer
有一年,Hawaii的一个名叫David Williamson的中学生证明了这样一个结论:如果存在一个奇完全数,那么它必然有且仅有一个形如4k+1的素因子.Williamson向一位大学教授询问这个结果是否为已知,那位教授不太清楚,便建议他写信问Erdos. Williamson写了信,很快就收到了回复:"亲爱的Williamson先生:非常感谢你的来信,——我昨天才收到这封信.你证明的那个结果已经被Euler知道了,他还证明了……或许我的下面这些问题会使你感兴趣.……"
Williamson如今已是IBM的研究人员,在组合优化领域颇有建树.他说:"跟Erdos的巨大成就比起来,一封给中学生的信算不了什么,但那对我的意义却非同小可."
－－56－－
Neither Sam nor Joe can determine when and where I should travel.
——Erdos
我们说过,Erdos曾被美国移民局取消再入境资格.1963年,几百名数学家联名向美国政府要求允许Erdos重新入境,于是Erdos终于得以重返这个自由的国度.在会议上发表讲话时,Erdos说:"Sam终于肯接纳我了,大概它认为我已经老迈不堪,不足以推翻它了!"
但Erdos与政府之间的纠葛还没有完.1973年,匈牙利政府禁止以色列数学家入境参加为庆祝Erdos六十寿辰而举行的集合论学术会议.Erdos大发雷霆,宣布将抵制他自己的生日晚会.他后来还是去了,但他拒绝再回到匈牙利.(直到1976年,他才赶回匈牙利,因为他的挚友Turán身患癌症,已经奄奄一息.)
正如一位美国数学家所说:"这是我们的时代和我们的国家的悲哀:这个人--如此全身心地投入到学术研究,如此远离政治,具有最高尚的道德的自由灵魂--竟然会受到官僚们的骚扰.而这些官僚的职责还是保护我们的自由!"
－－57－－
You don't have to believe in God, but you should believe in The Book.
——Erdos
Erdos不太相信上帝,但他相信世界上有一本超穷的"天书"(The Book),那里面包含了所有数学定理的最简洁、最漂亮、最优雅的证明.他对一个证明的最高赞誉就是:"It is from The Book!"
没有人能看到天书,Newton和Gauss这样的数学家或许曾有幸瞥上一眼.Erdos希望当他见到上帝的时候,上帝能够允许他阅读这本书,--为什么不呢?
Erdos常爱引用一个笑话,说是有人问:"要是你在街上遇见耶酥,你会问他什么问题?"Erdos说他会问连续统假设是否正确,而耶酥可能会有三种回答.第一种是:"Godel和Cohen已经把有关这一猜想的一切都教给你了."第二种是:"是的,确有一个答案,
可惜你的头脑还不够发达,无法知道它."第三种是:"在创世前很久,圣父、圣灵和我就一直为此绞尽脑汁,但我们还没有得出结论."虽然大多数逻辑学家都会同意第一种回答,但Erdos却认为第三种是最佳答案.
－－58－－
L.A. is studying Jordan's theorem.
——Erdos
我们曾谈到过,在匈牙利的半法西斯政权统治期间,Erdos开始使用各种隐语.前面的引文就是当时他说的一句.
在拓扑学里有一个Jordan曲线定理:"平面上一条同胚于圆周的曲线必然把平面分成两个不连通的部分."有一次,Erdos的朋友László Alpár被抓进监狱了,Erdos就用前面那句隐语把这个消息告诉朋友们.
注:Marie Ennemond Camille Jordan,法国数学家.
－－59－－
Ask Uncle Paul before you spend months on a problem.
——János Komlós
Erdos对数学问题有着惊人的洞察力.每个人都会提问题,但并不是每个人都能提好的问题.大多数人提的问题往往要么非常平庸,要么非常怪僻.Erdos不一样,他能够提出各种层次上的适当的问题,而且都是重要且有趣的.绝大部分数学家擅长研究某一小类问题,对其它的问题则根本无从下手.但Erdos却在几乎所有的问题上都能入手,并且能估计这个问题的难度.
M.Jacobson在当研究生时第一次见到Erdos. 当时Erdos作完一次讲座,然后宣布"My brain is open." 于是Jacobson走上讲台,把他正在研究的一个组合论问题告诉Erdos.
Erdos当即毫不犹豫地说:"我认为你需要寻找另外的问题."7年后,Jacobson又一次见到Erdos,并谈起第一次见面的情形.Erdos已经不记得这事了,便要Jacobson重新说一下当时的问题.等对方说完后,Erdos说:"哼,这个问题确实太难,到现在还没解决呢!"14年后,当Erdos去世时,那个问题依然没有解决.
Erdos不仅能够提出适当的问题,而且还能提给适当的人.他能够在短时间内正确地评估一个人的数学水平,并把适合他研究的问题提给他.很多人就是从Erdos的问题开始走上数学研究道路的.
－－60－－
明天咱们接着讨论这个问题,如果我还活着的话.
——Erdos
Erdos是最好的合作者.他是朋友,也是老师.他的"教学"是不易觉察的.他从不直接讲课,也不教给你定理或方法.但在与他合作时,每个人都可以把握住他那丰富的思想和方法.慢慢地,不知不觉中,他就能控制你的数学思维.
Aleksandar Ivic说,很多次当他自己独自一人思考问题时,他都会问自己:"Erdos会怎样做?他会怎样对付这道题?"
Gian-Carlo Rota则说,根据Erdos的提示而写成的论文至少有上万篇.
对于合作者来说,Erdos还是一个丰富的资料库.Erdos能够准确地记住上千篇论文的有关信息.在与他讨论时,常能听到他说诸如此类的话:"Mirsky写了一篇相关文章,发表于1947年或者1948年的'Quarterly J. Mathematics (Oxford)'上,在最后那几页."
李信明教授曾在法国Poincaré研究所的图书馆见到他进来查阅杂志,他不需要看目录,用手一翻就能找到他所要的文章,让人佩服得五体投地.
－－62－－
想见Erdos吗?呆在这儿别动,他迟早会到这里来的.
——关于Erdos的说法之一
Erdos似乎总处于Brown运动的状态,你很难在固定的时间找到他.在很多年里,如果你想联系到他,最好的办法是给下面的这些人打电话:东海岸Bell实验室的Ron Graham,或者Illinois大学的Paul Bateman,或者UCLA的Ernst Strauss. 1983年Strauss去世后,他的位置被Bruce Rothschild所取代.后来Bateman退休了,所以Graham似乎成为最有可能知道Erdos在哪里的人.
相比之下Erdos找起别人来就方便多了.有一次在新泽西州吃早饭时,他突然想起加州某位数学家,就朝电话走去并开始拨号.主人打断了他,指出在西海岸,现在才凌晨5点钟.Erdos说:"很好,这就意味着他会在家."
－－63－－
Fourier先生认为,数学的主要目的是服务人类、解释自然现象;但像他这样的哲学家应当知道,科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀,因此,一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义.
——C.G.J. Jacobi
1974年4月8日,Georgia大学的助理教授Carl Pomerance观看了一场棒球比赛的现场直播.那不是一场普通的棒球比赛.在那场比赛中,亚特兰大勇士队的Hank Aaron击出了他在大联盟比赛中的第715个本垒打,从而打破了Babe Ruth在四十年前创下的714个本垒打的纪录.
Pomerance注意到714和715这个数对的一个奇妙性质:它们的乘积刚好是前7个素数的乘积.第二天早上,他问他的同事David Penney知不知道714和715的一个有趣性质,Penney很快作出了同样的发现.Penney又把这个问题提给了他班上的学生,一个学生发现了另外一个性质:714的素因子的和等于715的素因子的和.Pomerance和Penney等人把具有后面这种性质的两个连续整数称为Ruth-Aaron数对,并且在"Journal of Recreational Mathematics"上发表了他们的发现,还猜想这种数对的密度应该是0.
Erdos这样的一位大数学家也是"Journal of Recreational Mathematics"的读者.
在看到那篇文章一周后,他给Pomerance写信,说他能够证明Ruth-Aaron数对的密度是0,
他想到Georgia来同Pomerance讨论这个问题.
这次会面导致了后来的20篇合作发表的论文.1995年,Erdos和Aaron被Emory大学授予名誉学位.在仪式中,Pomerance把Ruth-Aaron数对的故事告诉了Aaron,他对Aaron说,那个本垒打改变了他这个无名小卒作为数学家的一生.Pomerance请Erdos和Aaron在他的一个棒球上签了字,他说,这样Aaron的Erdos数就变成1了.
注:Carl Gustav Jacob Jacobi,19世纪德国数学家.
－－64－－
有一次我在火车上碰见了一位数学家,他对Paul Erdos和他的数学表示难以置信.他很难想象,一位像Jean-Pierre Serre这样的数学家竟然也会有一个有限的Erdos数.
——Peter J.Cameron
Erdos研究的领域主要是数论和组合数学,但他的论文中涵盖的学科有逼近论、初等几何、集合论、概率论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、差分方程与函数方程、数列、Fourier分析、泛函分析、一般拓扑和代数拓扑、统计、数值分析、计算机科学、信息论等等."Mathematical Reviews"曾把数学划分为大约六十个分支,Erdos的论文涉及到了其中的40%.
如此广泛的研究方向,再加上他的惊人数量的论文,超长的合作者名单,使他的触角伸展到了数学的几乎每一个角落.
几乎每一个当代数学家都有一个有限的Erdos数,而且这个数往往非常小,小得出乎本人的预料.比如说证明Fermat大定理的Andrew Wiles,他的研究方向与Erdos相去甚远,但他的Erdos数只有3,是通过这个途径实现的:Erdos--Andrew Odlyzko--Chris
M.Skinner--Andrew Wiles.
Fields奖得主的Erdos数都不超过5,(只有Cohen和Grothendieck的Erdos数是5,)Nevanlinna奖得主的Erdos数不超过3,(只有Valiant的Erdos数是3,)Wolf数学奖得主的Erdos数不超过6,(只有V.I.Arnold是6,且只有Kolmogorov是5,)Steele奖的终身成就奖得主的Erdos数不超过4.
在具有有限Erdos数的人名单中往往还能发现一些其他领域的专家,比如Bill Gates,他的Erdos数是4,通过如下途径实现:Erdos--Pavol Hell--Xiao Tie Deng--Christos H. Papadimitriou--William H. (Bill) Gates.
注:Jean-Pierre Serre,法国数学家,1954年获Fields奖,2000年获Wolf奖.
Pierre de Fermat,17世纪法国数学家,被誉为"业余数学家之王".但他的数学水平完全是职业水准的,E.T.Bell甚至说他是17世纪最出色的数学家.
Andrew Wiles,英国数学家.Fermat大定理的证明给他带来了无数的荣誉,其中包括1996年的Wolf奖和1998年国际数学家大会上颁发的特别奖.
John Charles Fields,加拿大数学家.他是1924年在多伦多举行的国际数学家大会的主席.以他名字命名的著名奖项被认为是数学界的最高荣誉.
Alexander Grothendieck,法国数学家,现代抽象代数几何的集大成者,1966年获Fields奖.
Rolf Herman Nevanlinna,芬兰数学家.国际数学家大会上设立有以他名字命名的奖项,颁发给对信息科学有重大贡献的数学家.
Vladimir Igorevich Arnold,苏联/俄罗斯数学家,主要研究常微分方程与动力系统.1982年获首届Crafoord奖,2001年获Wolf奖.
Andrey Nikolaevich Kolmogorov,20世纪最著名、最重要的数学家之一,苏联数学界的领袖.1980年获Wolf奖.
附录:
下面是一些著名学者的Erdos数,其中某些Erdos数小得出乎你的想象之外.
Nobel Prize winners
NAME YEAR SUBJECT ERDOS NUMBER
Max von Laue 1914 Physics 4
Albert Einstein 1921 Physics 2
Niels Bohr 1922 Physics 5
Louis de Broglie 1929 Physics 5
Werner Heisenberg 1932 Physics 4
Paul A. Dirac 1933 Physics 4
Erwin Schrodinger 1933 Physics 8
Enrico Fermi 1938 Physics 3
Ernest O. Lawrence 1939 Physics 6
Otto Stern 1943 Physics 3
Isidor I. Rabi 1944 Physics 4
Wolfgang Pauli 1945 Physics 3
Frits Zernike 1953 Physics 6
Max Born 1954 Physics 3
Willis E. Lamb 1955 Physics 3
John Bardeen 1956 Physics 5
Walter H. Brattain 1956 Physics 6
William B. Shockley 1956 Physics 6
Chen Ning Yang 1957 Physics 4
Tsung-dao Lee 1957 Physics 5
Emilio Segrè 1959 Physics 4
Owen Chamberlain 1959 Physics 5
Robert Hofstadter 1961 Physics 5
Eugene Wigner 1963 Physics 4
Richard P. Feynman 1965 Physics 4
Julian S. Schwinger 1965 Physics 4
Hans A. Bethe 1967 Physics 4
Luis W. Alvarez 1968 Physics 6
Murray Gell-Mann 1969 Physics 3
John Bardeen 1972 Physics 5
Leon N. Cooper 1972 Physics 6
John R. Schrieffer 1972 Physics 5
Aage Bohr 1975 Physics 5
Ben Mottelson 1975 Physics 5
Leo J. Rainwater 1975 Physics 7
Steven Weinberg 1979 Physics 4
Sheldon Lee Glashow 1979 Physics 2
Abdus Salam 1979 Physics 3
S. Chandrasekhar 1983 Physics 4
Norman F. Ramsey 1989 Physics 3
Paul A. Samuelson 1970 Economics 5
Kenneth J. Arrow 1972 Economics 3
Tjalling C. Koopmans 1975 Economics 4
Herbert A. Simon 1978 Economics 3
Gerard Debreu 1983 Economics 3
Franco Modigliani 1985 Economics 4
Robert M. Solow 1987 Economics 4
Harry M. Markowitz 1990 Economics 2
Merton H. Miller 1990 Economics 4
John C. Harsanyi 1994 Economics 8
John F. Nash 1994 Economics 4
Reinhard Selten 1994 Economics 7
Robert C. Merton 1997 Economics 6
Peter J. Debye 1936 Chemistry 5
George De Hevesy 1943 Chemistry 7
Otto Diels 1950 Chemistry 7
Kurt Alder 1950 Chemistry 6
Edwin M. McMillan 1951 Chemistry 6
Glenn T. Seaborg 1951 Chemistry 5
Linus Pauling* 1954 Chemistry 4
*Also received the 1962 Nobel Peace Prize
Lars Onsager 1968 Chemistry 3
Ilya Prigogine 1977 Chemistry 6
Walter Gilbert 1980 Chemistry 4
Kenichi Fukui 1981 Chemistry 3
Jerome Karle 1985 Chemistry 4
Herbert A. Hauptman 1985 Chemistry 3
Francis H. C. Crick 1962 Medicine 7
James D. Watson 1962 Medicine 8
Sir John Carew Eccles 1963 Medicine 3
Fields Medal winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Lars Ahlfors 1936 Finland 4
Jesse Douglas 1936 USA 4
Laurent Schwartz 1950 France 4
Atle Selberg 1950 Norway 2
Kunihiko Kodaira 1954 Japan 2
Jean-Pierre Serre 1954 France 3
Klaus Roth 1958 Germany 2
Rene Thom 1958 France 4
Lars Hormander 1962 Sweden 3
John Milnor 1962 USA 3
Michael Atiyah 1966 Great Britain 4
Paul Cohen 1966 USA 5
Alexander Grothendieck 1966 Germany/France 5
Stephen Smale 1966 USA 4
Alan Baker 1970 Great Britain 2
Heisuke Hironaka 1970 Japan 4
Serge Novikov 1970 USSR 3
John G. Thompson 1970 USA 3
Enrico Bombieri 1974 Italy 2
David Mumford 1974 Great Britain 2
Pierre Deligne 1978 Belgium 3
Charles Fefferman 1978 USA 2
Gregori Margulis 1978 USSR 4
Daniel Quillen 1978 USA 3
Alain Connes 1982 France 3
William Thurston 1982 USA 3
Shing-Tung Yau 1982 China 2
Simon Donaldson 1986 Great Britain 4
Gerd Faltings 1986 Germany 4
Michael Freedman 1986 USA 3
Valdimir Drinfeld 1990 USSR 4
Vaughan Jones 1990 New Zealand 4
Shigemufi Mori 1990 Japan 3
Edward Witten 1990 USA 3
Pierre-Louis Lions 1994 France 4
Jean Christophe Yoccoz 1994 France 3
Jean Bourgain 1994 Belgium 2
Efim Zelmanov 1994 Russia 3
Richard Borcherds 1998 S Afr/Gt Brtn 2
William T. Gowers 1998 Great Britain 4
Maxim L. Kontsevich 1998 Russia 4
Curtis McMullen 1998 USA 3
Nevanlinna Prize winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Robert Tarjan 1982 USA 2
Leslie Valiant 1986 Hungary/Gt Brtn 3
Alexander Razborov 1990 Russia 2
Avi Wigderson 1994 Israel 2
Peter Shor 1998 USA 2
Wolf Prize in Mathematics winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Izrail M. Gelfand 1978 USSR (Russia) 4
Carl L. Siegel 1978 Germany 3
Jean Leray 1979 France 3
André Weil 1979 France 4
Henri Cartan 1980 France 3
Andrei N. Kolmogorov 1980 Russia 5
Lars Ahlfors 1981 Finland 4
Oscar Zariski 1981 USA 3
Hassler Whitney 1982 USA 2
Mark G. Krein 1982 Ukranian SSR 4
Shiing Shen Chern 1983-84 China 2
Paul Erd?s 1983-84 Hungary 0
Kunihiko Kodaira 1984-85 Japan 2
Hans Lewy 1984-85 Germany 3
Samuel Eilenberg 1986 Poland 2
Atle Selberg 1986 Norway 2
Kiyoshi Ito 1987 Japan 3
Peter D. Lax 1987 Hungary/USA 3
Friedrich E. Hirzebruch 1988 Germany 3
Lars Hormander 1988 Sweden 3
Alberto Calderón 1989 Argentina 3
John Milnor 1989 USA 3
Ennio De Giorgi 1990 Italy 3
Ilya Piatetski-Shapiro 1990 Russia 3
Lennart A. Carleson 1992 Sweden 4
John G. Thompson 1992 USA 3
Mikhael Gromov 1993 Russia 3
Jacques Tits 1993 Belgium 4
Jurgen K. Moser 1994-95 Germany 3
Robert Langlands 1995-96 Canada 2
Andrew Wiles 1995-96 Great Britain 3
Joseph B. Keller 1997 USA 3
Yakov G. Sinai 1997 Russia 4
Laszlo Lovasz 1999 Hungary 1
Elias M. Stein 1999 Belgium/USA 2
Raoul Bott 2000 Hungary 3
Jean-Pierre Serre 2000 France 3
Vladimir I. Arnold 2001 Russia 6
Saharon Shelah 2001 Israel 1
Steele Prize (Lifetime Achievement) winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Salomon Bochner 1979 Poland 2
Antoni Zygmund 1979 Poland 2
André Weil 1980 France 4
Gerhard P. Hochschild 1980 Germany 4
Oscar Zariski 1981 Poland 3
Fritz John 1982 Germany 4
Shiing Shen Chern 1983 China 2
Joseph L. Doob 1984 USA 2
Hassler Whitney 1985 USA 2
Saunders Mac Lane 1986 USA 3
Samuel Eilenberg 1987 Poland 2
Deane Montgomery 1988 USA 3
Raoul Bott 1990 Hungary 3
Armand Borel 1991 Switzerland 3
Peter D. Lax 1992 Hungary/USA 3
Eugene B. Dynkin 1993 Russia/USA 3
Louis Nirenberg 1994 Canada 3
John T. Tate 1995 USA 3
Goro Shimura 1996 Japan 2
Ralph S. Phillips 1997 USA 2
Nathan Jacobson 1998 USA 3
Richard V. Kadison 1999 USA 3
Isadore M. Singer 2000 USA 3
Harry Kesten 2001 USA 2
Other distinguished scholars
NAME FIELD OF RESEARCH ERDOS NUMBER
Walter Alvarez geology 7
Rudolf Carnap philosophy 4
Jule G. Charney meteorology 4
Noam Chomsky linguistics 4
Freeman J. Dyson quantum physics 2
George Gamow nuclear physics and cosmology 5
Stephen Hawking relativity and cosmology 4
John L. Hennessey comp. sci., Stanford U president 4
Pascual Jordan quantum physics 4
Theodore von Kármán aeronautical engineering 4
John Maynard Smith biology 4
Oskar Morgenstern economics 4
Rolf Nevanlinna mathematics 5
J. Robert Oppenheimer nuclear physics 4
Roger Penrose relativity and cosmology 3
Jean Piaget psychology 3
Karl Popper philosophy 4
Edwin E. Salpeter astrophysics 5
Claude E. Shannon electrical engineering 3
Arnold Sommerfeld atomic physics 5
Edward Teller nuclear physics 4
Alan Turing computer science 5
George Uhlenbeck atomic physics 2
John A. Wheeler nuclear physics 3
－－65－－
愿数论永远无用!
——某位数学家的祝酒词
有一年在洛杉矶,Erdos因不遵守交通规则而被扣,身上又没有身份证和现金.警察威胁说要把他送进监狱,于是Erdos出示了他的一本厚厚的论文选集"The Art of Counting",卷首插图有他的满面笑容的照片.警察耸耸肩,权作它是他的身份证.后来UCLA的Bruce Rothschild替他支付了罚款.
－－66－－
你不能两次踏入同一条河流.
——Heraclitus
一切皆流逝,但Erdos似乎永远都不会改变.从五十年代到九十年代,他看起来总是那个样子.用同样的语气讲述同样的笑话,以同样的方式穿同样的衣服.在后半生,他所有的讲演都是一个题目: "Problems in combinatorics and number theory",不过讲座的内容总是在变化,每次他都会讲一些新的已解决的问题,再加上一些新的未解决的问题.
注:Heraclitus,古希腊哲学家.
－－67－－
据说证明了素数定理的人将获得永生.呃,Hadamard和de la Vallée-Poussin都活了将近百岁.现在我和Selberg也在素数定理上做了一些事,所以……
——Erdos
从四十年代开始,Erdos就是一幅体弱多病、疲惫不堪的样子.他的朋友们都觉得他没多少光景了,可事实上他活得比别人都长.几十年中,Erdos一直拿上帝和死亡开玩笑,在结束自己的演讲时,他会说:"你们知道我是什么意思.除了数学以外,任何事情都是要结束的,数学演讲也是这样.我会回来的,如果我还活着的话;否则我就不来了."
－－68－－
数学是年轻人的游戏,……迄今为止我还没有发现一项重要的数学进展是由超过50岁的人取得的.
——G.H. Hardy. 与Hardy见面时,Erdos才21岁
到暮年的时候,Erdos开始怀疑自己的数学能力了.他翻阅过去写的论文,发现三四十年前自己的那些论证是多么难以理解.
有一次他问Graham:"你注意到我有什么不同吗?"
Graham说:"没有,真没什么."
"还说你观察力那么强,难道你没有注意到最近我那么沮丧吗?"
"嗯,也许吧."
"我现在发现,我正在走下坡路.对此我一筹莫展,真是令人懊恼."
Graham说:"Paul,你仍然比别人强得多."
后来Erdos经常请Graham帮忙检查他写的东西,尽管他并没有出什么错.
－－69－－
有一个念头令我不安,我或将死亡在日渐严重的早老性痴呆症中.
——Erdos
Erdos曾说,印度人确实聪明.他们不仅发明了"0",而且还用相似的词来称呼"弱智者"(buddhu)和"老人"(buddha).
1994年,他年满81岁,也就是9的平方.他抱怨说这也许是自己"最后一次平方了".
1996年,他83岁的时候说道:"要是38岁,而不是83岁就好了.在许多语言里,"接着,他又用匈牙利语、希伯来语、法语、德语重复说道,"年老是不愉快的事."
－－70－－
像Wiener一样,Erdos是假装心不在焉,以此来摆脱俗事的纠缠.他的同事们为他安排一切,但如果出了什么乱子,他很快就能发现.他总是记得自己的日程,从不会忘记提醒主人:是时候开车送他去机场了.
——Gian-Carlo Rota
晚年时,Erdos有一只眼睛的视力在逐渐丧失.有一次他把眼镜掉在地上了,一个镜片破了,但仍留在镜框里.Erdos说:"不碍事,反正那只眼睛也看不见."说着便又戴上眼镜.Faudree怕玻璃渣子进到他的眼睛里,便把那个碎了的镜片彻底捅了出来.然后Faudree给Graham打电话,要他把放在Bell实验室里的一副备用眼镜送过来.没过一会儿,Faudree发现Erdos又戴上了一副完好的眼镜,他疑惑地问:"这是Graham送来的吗?"Erdos说:"不是,这副眼镜也没多大帮助."又想了想,补充说:"我准是把别人的眼镜拿来戴上了."迟疑了一下,他笑了起来:"很可能就是刚才跟我在一起的那家伙的,我得问问他."
－－71－－
Paul Erdos was a searcher, a searcher for mathematical truth.
——Joel Spencer
后来Erdos的那只眼睛完全看不见了,急需一次角膜移植手术.在Faudree的妻子的安排下,很快找到了合适的角膜捐赠人,可以进行手术了.
手术开始前,医生仔细给Erdos讲了手术过程.
"医生,"Erdos问道:"我还能看书吗?"
"可以,"医生说道,"这正是我们手术的目的."
Erdos走进手术室.可灯光一暗下来,他又烦躁起来:"你们为什么把灯给关了?"
"为了手术."
"可你刚才还说我能看书!"
然后他就跟医生吵起来了,说既然做手术的是一只眼睛,为什么他不能用另外一只好眼睛看书呢?医生急得拼命给孟菲斯大学数学系打电话:"你们能否派一个数学家过来,以便手术过程中Erdos能谈论数学?"数学系答应了,手术进行得很顺利.
手术后,大脑需要一段时间才能将两只眼睛对焦.Erdos度过了悲惨的一年,他逢人就抱怨看东西重影.
－－72－－
He worked on what he loved to do to the last!
——Melvin Henriksen
一次Faudree和Erdos在希腊的一家饭店吃饭,Erdos的心跳突然陡增至每分钟150次.
Faudree连忙把他送到急诊室.Erdos紧盯着监视器,从那里可以读出心跳的频率.突
然,心跳频率开始急剧下降,仿佛要一直降到0,幸好在65时稳住了.医生把Erdos留在医院观察.Erdos的病床上堆满了论文,病房里数学家们像牵线一样进进出出.护士们试图阻止他可又没办法,医生和护士都被逼得发了疯.
－－73－－
不久我就要摆脱生命这一不治之症了.
——Erdos
一次Erdos因为心脏病在布达佩斯住院.他不得不转了医院,因为第一家医院里没有能够容纳那么多人探视的病房.他的病房里乱七八糟,到处都是成堆的杂志和论文.Erdos躺在那里,同时进行着三个讨论:用匈牙利语和一个角落里的一群人,用德语和另一个角落里的一群人,用英语和第三组人.在进行这些讨论时,他还和来探望他的Ordman夫妇说话.当医生们走进来时他喊道:"走开!不知道我这儿很忙吗?给我几个小时!"
医生们果然都走了.
－－74－－
就像生命一样,这种会议不久就要到头了;但比起生命来,它还是让人高兴多了.
--Erdos
1996年3月,在博卡拉顿举行的一次会议上,Erdos的报告进行了一半.当他站起来往黑板上写字时,突然僵硬地倒了下来.他的血压极低,心率降至37.他僵卧在那里,但麦克风还戴在身上.与会者都吓坏了,保安正安排他们鱼贯而出.这时Erdos苏醒过来,说,"告诉他们不要走,我还有两个问题要讲."
那次会议安排了去新奥尔良过斋前节,Alexander Soifer提出要留下来陪Erdos,Erdos说:"尽管去玩吧!我很好,什么事也没有.过完节后请到我的房间里来,我有些问题和你研究."
－－75－－
He talked a little, nearly every time I saw him, about death. He wanted it.
He did not fear it: what was there to fear in nothingness?
——C.P. Snow所记录下来的临终前的Hardy
1996年6月的一次会议上,Erdos听了Gerhart Ringel的报告.报告结束时,坐在前排的Erdos小声地问了一个问题,就在提问的当中,他突然昏厥倒下了.那天上午医生们给他装了一个心脏起搏器,晚上他就去参加宴会了,——在两位心脏科医生的陪同下.他站起来,微微地鞠了一个躬,介绍完两位医生后说:"现在我想完成我对Ringel博士的提问."
他没把他装心脏起搏器的事告诉别人,因为他不希望别人同情他.
－－76－－
1783.9.18,欧拉拿着烟斗,呛了一口,死前最后一句话是"我死了".
有次Erdos在演讲中讲到这个故事,一个听众说"欧拉的一个猜想又得到了证明",Erdos也想这样走.
"我希望在我演讲时,在黑板上完成一个重要的证明之后,有人喊道:'一般情况怎样?'我会面对听众,微笑着说:'我把它留给下一代',然后就撒手而去了."
——Erdos
一次Erdos与朋友们在Memphis的一家餐馆吃饭,他突然说自己感觉不舒服.Cecil Rousseau摸了一下他的脉,发现十分异常,连忙把他送到医院.
在急救室里,Erdos对Rousseau说:"给我出一道题.""奥林匹克竞赛题可以吗?""行!"
于是Rousseau就给Erdos出了一道德国数学奥林匹克的题目.过了一会儿,Faudree也来了,他们一直在讨论数学,尽量避免去看仪器上显示出的Erdos的心率.慢慢地,心率降下来了,Rousseau和Faudree才松了一口气.
Erdos被留在医院治疗,当然他仍然不会放弃数学.他给护士讲素数有无穷多个的证明,还挺高兴地对别人说:"我相信她听懂了."
－－77－－
Végre nem butulok tovább.
(我终于不再愈变愈蠢了.)
——Erdos自撰的墓志铭
晚年的Erdos越来越受到人们的欢迎,听他报告的人也越来越多.对此,Erdos是这样解释的:"大家都希望自己能说这样的话:'我记得Erdos.你看,连他最后一次讲座我都参加了.'"
1996年9月18日,Erdos在华沙的Banach中心参加图论会议,并作了一次报告.次日,他完成了他的最后一篇独自写就的论文.他买好了一张车票,准备去Lithuania参加一个数论会议.9月20日,他因为心脏病突发而去世.在他与SF作最后斗争时,没有一个朋友在他的身边.所以我们无从得知他说的最后一句话是什么.
不到一天的时间内,大半个数学界都得知了这一消息.人们很难相信这是真的,因为Erdos总是拿死亡和大家开玩笑,仿佛他永远不会死似的.但这次Erdos的确是真的离开了.他将到SF身边,潜心阅读那本"天书".那本书上有所有数学定理的最简洁、最优雅的证明.他将永远也读不完那本书,因为数学世界是超穷的,"天书"也是超穷的.所以他将一直读下去,直到永恒.
－－78－－
Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful. If they aren't beautiful, nothing is.
——Erdos
Erdos究竟给我们留下了什么?不光是1475篇质量不低的论文.
很难对Erdos在数学历史上的地位作出一个合适的评价,--他无疑是超一流的数学家,但他对数学的影响究竟有多大?
通常认为,20世纪的数学以泛函分析、抽象代数、拓扑学为基础,而Erdos对这三门学科都没什么兴趣,甚至可以说不怎么懂.Erdos主要的兴趣在数论和组合数学,而他研究数论主要使用的是比较初等的解析方法.从这个意义上看,Erdos对主流数学的影响并不是很大.
Béla Bollobás认为,Erdos对数学的主要贡献有三个:
第一,他一再向人们证明了:初等方法在数学中也有它们的地位.这里"初等"并不代表"简单",事实上,初等方法往往更为复杂.Erdos的很多工作都是18、19世纪的数学家就可以完成的,但一个由全套现代数学工具武装起来的数学家反而会对此感到无能为力.
第二,他引进了存在性问题的随机方法,用来证明各种各样跟随机性或者概率论毫无关系的问题.尽管随机方法还不像传统的存在性问题证明方法那样应用得广泛,但它已经越来越显示出它的威力.
第三,他提出了大量的问题.这些问题的陈述都非常浅显,但证明起来却十分困难.而且这些问题都是重要的问题,也都是合适的问题.
但或许Erdos对数学更为深远的影响并不是在技术上,而是在数学精神的领域.1984年,他获得Wolf奖的主要原因之一就是"and for personally stimulating mathematicians the world over".或许Joel Spencer说的这一段话已经能够说明Erdos对数学精神的影响:
"是什么使得我们这么多人聚集在他的圈子里?怎样解释我们在谈论他时获得的欢乐?为什么我们会喜欢讲述Erdos的故事?我曾经对此思考过很多,我想这是一种信念(belief),或者说信仰(faith).我们都知道数学的美,而且我们相信她的永恒.上帝创造了整数,剩下的都是人的工作.数学真理是亘古不变的,她存在于物理现实之外.举个例子,当我们证明了'若n≥3,则任两个n次幂之和都不会是n次幂'的时候,我们发现了一条真理.这就是我们的信念,是我们工作的动力.然而,对一个数学界以外的朋友解释这种信念,就像是对无神论者解释上帝.Paul实践了这种对于数学真理的信仰.他把他的全部聪明才智和超人的力量都贡献给了数学的殿堂.他对他的追求的重要性和绝对性毫不怀疑.了解了他的信仰,你就会产生同样的信仰.我有时会觉得,宗教界的人士比我们这些理性主义者更能够理解这个独特的人."
Szekeres & Klein Sweet Problem about Convex Polygon.
平面任意N个点可找到一个凸k边形,N最小为N_k
Szekeres 证明N_k>2^{k-2}+1
Erdos证明N_6<71
96年11月Graham和金芳容在Erdos追悼会上遇到Szekeres, 回去后利用一天时间将上限减小到70,是60年来的唯一进展,用了新的方法.一年后,上限就变成了37
还是用Erdos说的那句话来解释这种信仰吧:"You don't have to believe in God, but you should believe in The Book." 引自第1页
1913-1996
一生中同485位合作者发表过1475篇数学论文.论文数仅次于Euler
－－1－－
一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器.
——P. Erdos
前面所引的那段话暗示了一天工作19个小时以上(在古稀之年依然如此)的Erdos对兴奋剂的依赖.1979年,他的朋友Graham与Erdos打赌,只要他一个月之内不服用安非他明,Graham就输给他500美元.Erdos成功地赢得了这次打赌,但他对Graham说:"你帮我证明了我不是一个瘾君子,但在这段时间内我一无所成.我早晨起来就盯着一张白纸发呆,毫无主意,跟普通人没有什么区别.你因此使数学的发展滞后了一个月."所以他随后便重新开始服用兴奋剂.
－－2－－
SF创造我们就是为了拿我们的痛苦取乐,我们死得愈早,他的计划就愈早落空.
——Erdos
Erdos并不敬畏上帝,死亡对于Erdos的唯一意义就是使他无法再进行数学研究,所以他经常说:"在坟墓里有的是时间休息."
Erdos从事数学研究的方式很独特.他总是游历于世界各地的大学和研究所,登门拜访那里的数学家,向对方宣布:"我的头脑敞开着."然后他们便开始讨论数学问题,一连持续几天,直到双方都厌倦了为止.他从不在一个城市里连续呆上一个月(Another roof, another proof.)
－－3－－
出生的不幸是什么时候降临在你头上的?
——Erdos 常用的问候语
Martin Gardner第一次见到他的时候,他问Gardner:"你是什么时候到的?"Gardner连忙看表,这时Graham小声告诉他,对于Erdos来说,这句话的意思是:"你是什么时候出生的?"
－－4－－
一个数学家必须是在每个星期都有一些新的研究工作才成为数学家.
——Erdos
Erdos见到他的同行时,总喜欢问:"你昨天有什么新的发现?"可事实上并不是每个数学家都能像他那样每年发表50多篇论文!
－－5－－
我只要拿张纸,坐下,就能思考.
——Erdos
在很多张Erdos的照片上,他都是低着头的.这种姿势很容易让人以为是在打盹,但Erdos声称他是在思考问题.
1939年,Erdos曾听过M.Kac在Princeton研究所做的一个报告.事后Kac这样回忆道:
"在我报告的大部分时间内,他都快要睡着了.报告的内容跟他的兴趣毫不沾边.在将近结尾时我大致说了一下我在素因子方面遇到的困难.一提起数论,Erdos马上就精神起来,让我再解释一下到底困难在哪.不到几分钟,报告还没有结束,Erdos就打断我的讲话并宣布问题解决了!"
注:Mark Kac,波兰裔美籍数学家,主要研究概率论与数学物理,有以他名字命名的Feynman-Kac公式.
－－9－－
我不明白为什么我们初次见面时他会那样--说的全是数的平方和各种各样的证明.在我渐渐了解他之后,我发现他并不是那种喜欢过分张扬的人.……所以我真的不能解释为什么他总是在说他所知道的所有证法.
——A.Vázsonyi对Erdos的回忆
1930年,17岁的Erdos第一次见到14岁的Vázsonyi时,前者对后者说的第一句话是:
"给我举出一个4位数."
Vázsonyi答道:"2,532."
"它的平方是6,411,024. 对不起,我老了,否则我会立即告诉你它的立方."
Erdos又问道:"你知道毕达哥拉斯定理的多少种证法?"
"1种."Vázsonyi说.
"我知道37种.你知道位于一条直线上的点不能构成可数集合吗?"继而Erdos给出了一种证明方法,然后他说他必须跑了.
六十七年后,Vázsonyi仍然清晰地记得当时的情形:
"当Erdos说他必须'跑'时,他像只大猴子一样驼着背,侧着身子,摇摆着双臂,沿着街一溜儿小跑,引得行人时时回头观望.……当他年纪稍大之后,他的步态不太像猴了,但仍有些奇怪.他老是走得很快,甚至发展到会向一面墙直冲过去,然后突然止步,猛然掉头,再往回跑.有一次他没能止住脚步,一下子撞到墙上,弄伤了自己."
政治并不能干扰Erdos和他的朋友们对数学的兴趣.Vázsonyi回忆说:"他(Erdos)沉浸在素数的世界里,素数是他的一切,他与素数之间似乎有着某种奇妙的密切关系."
大学一年级时,Erdos便证明了Bertrand猜想:"在n和2n之间总存在一个素数,其中n是大于1的整数."这个猜想最初是在1848年由Chebyshev证明的,但Erdos的证明比Chebyshev的要简单得多,轰动了匈牙利数学界
20岁时,Erdos便宣称要用古希腊时期流传下来的Eratosthenes筛法来给出素数定理的初等证明,若干年后他果然做到了.这是后话.
注:Joseph Louis Francois Bertrand,19世纪法国数学家,在数论、概率论、几何、微分方程等领域均有贡献.
Pafnuty Lvovitch Chebyshev,19世纪俄国数学家,在数学许多领域有开创性工作,是俄国数学的奠基人.
Eratosthenes,与Archimedes同时代的学者,曾任亚历山大图书馆馆长.
－－12－－
最好的数学既是美的,同时又是严肃的.
——G.H.Hardy
在Erdos抵达英国的第二天,还发生了另外一件事,可能对他的影响更大,那就是他遇见了那个时代最为纯粹的数学家--Godfrey Harold Hardy.
数学家有很多种类型,像Erdos这样的可谓凤毛麟角.(不过好象公众心目中的数学家都是Erdos这样子的.)Hardy可谓是跟Erdos截然相反的一类数学家.
Erdos每天工作19个小时,Hardy的生活则有规律得多:他每天只花4个小时(上午9点到下午1点)用于数学研究,下午打板球和网球,晚上与B.Russell,C.P.Snow, G.E.Moore, A.N.Whitehead,J.M.Keynes,G.M.Trevelyan,E.M.Forster,L.Strachey,L.Woolf等人热烈交谈.
Erdos只对数学感兴趣,Hardy的兴趣则广泛得多.有一年,他在给朋友的明信片里谈了他新年的6项打算:"1.证明Riemann假设;2.不能让211队在奥威尔举办的板球决赛阶段第四局比赛中出局;3.找到足以让公众信服的证明上帝不存在的论据;4.成为登上珠穆朗玛峰的第一人;5.成为苏联、大不列颠及德意志联合王国的首任总统;6.谋杀Mussolini."
Erdos是天生的流浪者,Hardy则憎恶旅行,尤其是害怕坐船.如果Hardy不得不乘船出海,他就会给朋友寄一张明信片,宣称自己已经证明了Riemann假设.他认为这样一来上帝就不会让他在旅途中死去,因为上帝--他"个人的敌人"--是不会让他享有证明Riemann假设的荣誉的.
Erdos其貌不扬,看上去还有些神经质,Hardy则是出了名的美男子,十足的绅士.
注:Godfrey Harold Hardy,剑桥分析学派后期的领袖人物,主要研究调和分析与解析数论.
Bertrand Russell,20世纪最著名、最重要、最卓越的思想家之一,曾获1950年Nobel文学奖.
Alfred North Whitehead,英国数学家、哲学家,著有《数学原理》(与Russell合著)、《过程与实在》、《观念的历险》等.
John Meynard Keynes,有史以来最伟大的经济学家之一.
Georg Friedrich Bernhard Riemann,19世纪德国数学家,在数学的许多领域内均有天才的开拓性工作,对20世纪数学的发展有着难以估量的深远影响.
John Edensor Littlewood,英国数学家,与Hardy密切合作达35年,共同撰写了100篇论文.
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan,天才的印度数学家,对无穷级数和数论有着惊人的直觉."偷看过天书的人"
－－13－－
明年哥廷根见!
——Erdos理想中的犹太人祝酒辞
到英国后,Erdos开始了他的流浪生涯.他频繁来往于英国的各个大学之间,从没有连续七天呆在同一个城市.那时候世界数学的中心是哥廷根大学,尽管希特勒的兴起已使哥廷根开始衰落.Erdos一直想去哥廷根,但作为犹太人的他始终没有达成这个心愿.
他每年要回布达佩斯三次,看望双亲和老朋友.有一次,在他回家期间,Vázsuoni正研究一个图论问题,并找到了这个问题的必要条件.他回忆道:"我几乎天天与Erdos见面.但我犯了一个致命的错误--我在电话里把自己的发现告诉了他.我称这个错误是致命的,是因为他在20分钟后就回电告诉了我证明充分性的方法.'该死的,'我想,'现在我只好和他合作写这篇论文了.'这个著名的Erdos数'1'究竟给我带来了什么,我几乎一无所知."
－－14－－
Wir Mathematiker sind alle ein biβchen meschugge.
(我们数学家都有些疯狂.)
——E.Landau曾对Erdos说的一句话
Harold Davenport的妻子Anne Davenport回忆说:"有一次在三一学院,我想大概是在30年代,Erdos和我丈夫在一个公共场所思考了一个多小时而彼此一言不发.最后,Harold说:'这不是0,而是1',这才打破了长时间的沉寂.然后就是如释重负、一片欢欣了.他们周围的人都以为他们疯了.的确,他们是疯了."
注:Edmund Landau,德国数学家,主要研究数论与复变函数,曾在柏林大学和哥廷根大学任教授.Erdos没去过哥廷根,Landau却访问过剑桥,他们可能就是在剑桥见面的.
据说Landau怀疑Littlewood这个人的存在性,所以专程去英国看了一下.这个故事还有另外一种版本,说Wiener在访问剑桥时遇见了Littlewood,便说:"哈!原来还真有你这么一个人!我还以为Littlewood是Hardy发表那些写得不太好的文章时所用的化名呢!"Wiener对这个笑话感到非常苦恼,专门在自传里辟了谣.
－－15－－
人们研究你是因为你是一个数学家,而不是因为你研究Leibniz.
——Erdos对Godel如是说
1938年9月3日发生了捷克事件.那天Erdos正在布达佩斯,他当晚便匆匆赶回英国,几周后又去了美国,到位于Princeton的高等研究所(Institute for Advanced Study)工作.
Oppenheimer曾称高等研究所是一座疯人院,许多年以后他自己成为这家疯人院的院长.在这里,Erdos肯定算不上是天才,但却仍然显得很怪异,因为一年半以后他就因为过于"uncouth and unconventional"而被解聘了.不过天真的Erdos却把在研究所的这段日子称为他在数学上最有成果的时期.
当时的高等研究所拥有世界上最出色的一批数学家,比如说Godel. 那时候Godel的兴趣已经转向了形而上学,所以Erdos常与他吵得不可开交.
Godel晚年患精神病.疑心别人下毒只吃妻子的食物.妻子住院后他饿死.
注:Gottfried Wilhelm Leibniz,17世纪德国百科全书式的学者,微积分的创始人之一.
Kurt Godel,奥地利裔美籍数学家、逻辑学家.
James Waddell Alexander,美国拓扑学家.
Harold Marston Morse,美国数学家,Morse理论的创立者.
Claude Hugo Hermann Weyl,Hilbert的得意门生,20世纪最伟大的数学家之一.
－－16－－
我知道Einstein绝不信奉人格化的上帝,因为我问过他.
——Erdos
如同那个时代曾待在Princeton的其他人一样,Erdos曾有幸与Einstein交往.有一次在Einstein家吃午饭时,Erdos把自己最钟爱的素数理论讲给Einstein听.Einstein对这一理论的评价很高,但他对细节并不感兴趣.
他们两人主要讨论的话题还是政治.Erdos一向很关心政治,经常就世界政治和人类的普遍问题发表一些悲观言论.
原子弹的问世使Einstein再次成为世界关注的焦点,--尽管没有Einstein也能造出原子弹.Erdos曾问Einstein:"40年前你想到过你的质能方程会在你的有生之年得到应用吗?"Einstein说:"我没料到.我曾想也许最终会得到应用,但没料到会那么快."
其实像Einstein或者Erdos这样的科学家并不很关心自己的理论能否得到应用.一个极端的例子是Erdos曾经拜访过的Hardy,他就宣称最好的理论是毫无用处的,比如数论和相对论,--不幸的是他举的这两个例子都错了.
－－17－－
他在Princeton的大街上走来走去,挥舞着双手,旁若无人地比划着.
——Louise Straus对Erdos的回忆
每当他在自己的宿舍里住腻的时候,他就跑到他的数学助手Ernst Straus的家里呆上若干天.
那时Straus夫妇经常在半夜里听到一声巨响,那是Erdos在开窗户,--他从没想到应该轻轻地把窗户放下.他不会使用淋浴器,不会把水龙头关上.他到公用电话亭里彻夜不停地往里面塞硬币,给世界各地的数学家打电话,宣称自己在Straus家里,然后和他们讨论问题.他还邀请附近的一些朋友到这里来,不管主人是否同意.
许多年以后,Straus说:"Einstein曾对我说过……对于一个科学家而言,首要任务是解决核心问题,而不为其他问题所动--无论那些问题多难,多么具有诱惑力.Erdos完全违背了Einstein的这一番话,但他却取得了成功.他几乎痴迷于他所遇到的每一个难题,并成功解决了其中的大部分."
－－18－－
你应该找一份实际的正经工作.
——Halmos对Erdos的劝告
P.R.Halmos曾记载过Erdos在Princeton时的另一个故事.Hurewicz曾经提出过这样一个问题:Hilbert空间中有理点集合的维数是多少?Erdos听到这个问题后,便问"Hilbert空间"和"维数"各是什么意思.有人把定义告诉他,很快Erdos便得出了答案.这是Erdos对一个他几乎一无所知的领域作出的贡献!
－－21－－
数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作,他可能在走路、吃饭甚至谈天时继续思考.
——Ulam
其实Erdos无论如何都不可能被接纳到曼哈顿工程中的,因为他在FBI早已有了案底.
1941年,他还在Princeton的时候,有一次与两名Princeton的学生,加久谷静雄和A.H.Stone,一起去Chicago参加一个会议,途经长岛,便下来看看海景.他们在一个无线电发射塔--可能是一个秘密的军用雷达--附近拍照,被警卫发现.警卫报警称"3个日本人在这里鬼鬼祟祟地拍照",于是警察四处搜捕,终于在路上截获了他们.
FBI的调查人员问他们为什么没有看到"NO TRESPASSING"的标牌,Erdos说:"我正在思考问题.""思考些什么?""数学."当晚,他们的身份被确认,于是得到释放.但此事已经被FBI记录在案,并对Erdos产生了不利的影响,这是后话.
Turán就曾经有过一段危险的经历.当时他在布达佩斯被一个苏联巡逻兵拦住去路,被要求出示证件.可Turán刚逃过纳粹的搜捕,身上没有任何证件.情急之下,他拿出一本1935年出版的《托木斯克数学力学研究所通报》,上面有他和Erdos合著的一篇论文.这本战前的苏联杂志显然赢得了士兵的好感,于是他被放行了.后来Turán遇见Erdos时,感慨地说:"没想到数论还有这样的妙用!"
注:Paul Turán,匈牙利数学家,主要研究数论和图论.
－－24－－
他(Ulam)真的很幸运,并没有遭受年迈体衰和老年痴呆这两大恶魔的折磨,他在依然还能求证、还能猜想的时候猝死于心脏病,死时没有痛苦,没有恐惧.
——Erdos
如果你是一位才华横溢的数学家,如果你不幸得了脑炎,如果在你做完脑部手术、恢复清醒之后,医生问你这样一个问题:"8与13的和是多少?"你的感觉会是怎样的?
这就是Ulam在1945年冬天的遭遇.也许他会从此丧失对自己数学能力的信心,--如果他在走出医院的时候没有遇见Erdos. 那天,当Ulam在妻子的搀扶下离开医院时,突然看见Erdos神气活现地出现在他们的面前."Stan!我还以为你已经死了,正准备替你写讣告,还打算独自完成咱们合写的论文."
Erdos手提一个小箱子,里面装着他的全部财产,显然是无处可去,于是Ulam便邀请他去自己的家.在乘车回家的路上,Erdos缠着Ulam讨论数学问题,根本不让Ulam休息.Erdos在Ulam家里住了两周,不停地与Ulam讨论数学问题.在Ulam做手术后,Erdos是第一个把他当作数学家而不是白痴或者准白痴看待的人.
－－25－－
死亡从40岁开始.
——Erdos
1948年冬,Erdos回到布达佩斯,看望了他的母亲和一些老朋友.但很快斯大林就开展了一次笔迹审查活动,大肆封锁边界、围捕公民,Erdos不得不再次逃离匈牙利.随后几年内,他往返于美国和英国之间,居无定所.
那时Erdos已经开始在信件里不停地抱怨自己已经老了,他还经常对人说,上帝已有一只手搭在了他的肩膀上.有人问他:"Paul,如果你才40岁时就感觉如此之糟,当你50岁时又会如何?"他立即悲哀地说:"更糟."
科学家的创造年华通常是很短暂的,所以学术机构中都设有终身职位,以保证科学家的生活.Erdos的朋友们劝他尽快找一份终生职位,他们说:"Paul,你那走江湖数学家的生涯还要维持多久?"他竟回答:"起码40年."他甚至拒绝了一些大学的终身职位的邀请.
－－26－－
数学是科学的女王,数论是数学的女王.
——C.F.Gauss
大约在1792年,15岁的Gauss经过深入的分析和例证,猜想素数在自然数中的的分布密度应该是1/log(x),Gauss曾经写信给当时世界上一些著名的数学家,向他们请教这个问题,但没人能给出证明.
这就是19世纪最著名的数学难题:素数定理.
在Gauss的一生中,肯定曾花费了不少时间和精力来思考这个从少年时便开始困惑他的难题,但我们没有Gauss关于这个问题的研究记录,所以也无法知道他在这个问题上究竟走了多远,不过十有八九是他并没有解决这个猜想.
注:Carl Friedrich Gauss,主要生活在19世纪的德国数学家.他通常被认为是历史上最伟大的三位数学家之一,另外两个是Archimedes和Newton.
高等算术(即数论--编者注)中一些最美丽的定理具有这样的特性:它们极易从经验事实中归纳出来,但其证明却隐藏得极深,只有高人一等的研究者才能把它们挖掘出来.正是出于此种原因,赋予高等算术以神奇魅力,使之成为第一流数学家们最喜爱的科学.至于它远远凌驾于数学其他各分支之上的无限丰富性,那就更不必提了.
——C.F.Gauss
首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev. 他证明了如果π(x)log(x)/x 的极限存在,则必定是1. 这些无疑都是很重要的进展,但不幸的是,用Chebyshev的方法无法证明最后的结果.
1859年,Riemann发表了题为"论不超过一个给定值的素数个数"的论文,这是他唯一一篇关于数论的论文.在这篇仅8页的论文里面,Riemann首次深刻而系统地研究了ζ函数的性质.并且指出,素数的分布与ζ函数,特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系.
在这篇文章里,他还提出六个关于ζ函数的猜想,其中一个就是著名的Riemann假设:ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上
Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方 向,以后这方面所有的进展都是从他的思想中得来的.
1896年,两位年轻的数学家Hadamard和de la Vallée Poussin按照Riemann的思路,各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理,从而解决了这个有一个世纪历史的难题.后来Landau,Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明.以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具.后来Wiener用实分析的方法证明了素数定理等价于"ζ函数的零点不在直线 Re(s)=1 上".这就更让人相信,素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具.
1921年,G.H.Hardy就曾经说过这样一段话:"断言一个数学定理不能用某种方法证明,这可能显得过于轻率;但有一件事(素数定理没有初等证明)却是清楚的.如果有谁能给出素数定理的初等证明,那么他就将表明,我们过去关于数学中何谓'深刻'、何谓'肤浅'的看法都是错误的.那时我们就不得不把书本都抛在一边,重写整个理论."
Hardy逝世于1947年,他万万没有想到,就在他去世的两年后,两位年轻的数学家就推翻了他以及整个数学界的断言,用完全"初等"的方法给出了素数定理的证明,进而导致了整个素数理论的重写.
注:Jacques Salomon Hadamard,法国数学家,在数学的许多方面均有贡献,被誉为Poincaré之后少有的多面手.
Norbert Wiener,美国数学家、哲学家,控制论的创立者,在调和分析、数学物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献.1964年获美国国家科学奖章.
－－28－－
我很同情非数学家,我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报.
——Selberg
1949年,两位年轻的数学家,31岁的Selberg和35岁的Erdos分别独立地证明了素数定理.与以往的证明不同的是,他们的证明没有用到ζ函数,而且除了极限、e^x和log(x)
的简单性质外,没有用到任何高等数学的知识,甚至连微分和积分都没有用到!可以说,他们给出的是一个完全"初等"的证明,这一结果轰动了整个数学界.
在Erdos的一生中,尽管发表了1475篇论文,但像素数定理的初等证明这样具有划时代意义的成果却很少.但Erdos对这件事却避而不谈,因为在这件事上颇有争议.
当时Selberg发现了一个恒等式,他把这个恒等式告诉了Erdos. 然后他们两人分别独立地用这个恒等式给出了素数定理的初等证明.他们本来商量好在同一本杂志上一起发表文章,讲述各自的工作.Erdos便到处给数学家发信,宣称他和Selberg已经给出了素数定理的初等证明.但有一次,Selberg碰上一位陌生的数学家,对方开口就说:"你知道吗?Erdos和--和谁来着?--用初等方法证明了素数定理."Selberg伤透了心,便抢先发表了论文,并因此享有该成果的大部分权益.Selberg也从此与Erdos反目.
在数学家中,优先权的争论并不少见,最著名的就是Newton和Leibniz关于微积分发明权的争论.但Erdos却具有罕见的坦荡胸怀,他愿意与别人分享他的数学思想,他的目的并不是要第一个去证明某个问题,而只是使这个问题得到解决--不管是不是他解决的.所以Erdos才能有创纪录的485名合作者.但我们不能指责Selberg心胸狭窄,因为即使Newton或者Gauss这样的最伟大的数学家也会陷入优先权的争论之中.这只能说是一场悲剧.
注:Atle Selberg,挪威裔美籍数学家,在数论、调和分析、离散子群、自守函数等方面均有贡献.1950年获Fields奖,1986年获Wolf奖.
－－30－－
我现在在澳大利亚,明天去匈牙利.设k为最大的整数以满足……
—— 一封典型的Erdos的信件的开头
移民局没有给Erdos再入境许可证.Erdos请了一名律师提出上诉,结果被驳回.法院没有给出任何理由.他的律师被允许查阅部分Erdos的档案,发现其中附有一封Erdos写给居住在红色中国的华罗庚的信:"亲爱的华,设p是一个奇素数……"Erdos一年要写1500封左右的信,基本上都在讨论数学问题.但移民局的官员显然害怕信中的那些他们看不懂的数学符号是某种密码.
另外根据FBI的记录,Erdos还曾经涉嫌在一个雷达站附近从事间谍活动.所以他被麦卡锡踢出美国是再正常不过的事了.
－－31－－
他是一个流浪的学者(wandering scholar).他时常横跨五大洲.他效忠的是科学的女王而不是任何特别地方或研究所.
——Rado谈Erdos
被赶出美国之后,Erdos发现自己已经没什么地方可去了:荷兰只给了他几个月的签证,英国也差不多.西欧的各个国家都不愿意接纳一个对红色中国亲善的人.最后,以色列接纳了他,给予他居住权,但他拒绝加入以色列国籍,并且保留自己的匈牙利护照.1955年,Erdos在密友们的多方奔走和呼吁下,终于得以访问匈牙利.匈牙利政府颁发给他一个特别护照,证明他是匈牙利公民,但拥有以色列居住权.从此Erdos能够自由出入匈牙利.他每年都要回去几次,看望母亲和朋友们.
但Erdos永远都不会安居在一个地方,他宣布自己是世界公民.他以惊人的速度穿梭于各个大学和数学研究所之间.他的足迹踏遍五大洲,他在超过25个国家里进行数学研究,在遥远的地方完成各种重要的论证,有时还在这些地方的不知名的杂志上发表自己的成果.他曾经在六十年代初和八十年代中期两次访问中国.1990年,为庆祝柯召教授八十寿辰暨执教六十周年,《四川大学学报》出了一本专辑.Erdos热情地写了一篇题为《初等数论中的某些问题与成果--祝我的朋友和合作者柯召80寿辰》的论文发表在该专辑上.
他的全部财产都装在一只破旧的小衣箱和一个在布达佩斯中心商场购买的土黄色塑料包里.流浪,流浪,这就是一个犹太人的宿命.
注:Richard Rado,德国数学家,后移居英国.主要研究组合数学.
柯召,中国数学家,研究方向为数论、组合数学、代数等.
－－32－－
Non numerantur sed ponderunter.(不是看数,而是称重.)
——俗谚
在古代匈牙利的贵族院,统计选票不是看票数,而是称重量.Erdos经常会想象上帝正拿着天平衡量他与同事们合著的论文.天平的一端放上他与已去世的同事合著的论文,另一端放上他与仍在世的数学家合著的论文."当亡者的那一端下沉的时候,我肯定也要死了."他这样说.
是的,每个人都会衰老,都会死去.所以Erdos以惊人的精力工作,--他害怕有一天他再也不能思考.即使在70多岁的时候,他还一年发表50多篇论文.
－－33－－
他(Erdos)的工作节奏真是逼死人.
——Ralph Faudree
不知道那些有幸受到Erdos拜访的数学家们会有何感触,至少孟菲斯大学的Ralph Faudree是很不适应.他发现Erdos每天仅仅需要3个小时的睡眠,每天很早就起来写信--都是有关数学的.他起来后,觉得别人也该起来工作了,就把电视打开,声音开得大大的.他还会跑去敲Faudree的卧室的门:"Ralph,你还活着吗?"吃饭的时候,他也会在餐巾上写写画画或是不停地讨论数学问题.
Faudree后来回忆道:"等他住上一两个星期后你都快要崩溃了,但就在他走后的几天里,我还会不断收到他的电话:'证明完成了没有?你把它交给打字员了吗?'"
－－34－－
他(Erdos)一定是认为我有可取之处,因为后来连续10多年他每年都来路易斯维尔找我,而且一呆就是一个星期.
——Michael Jacobson
1983年,Erdos第一次到路易斯维尔拜访Michael Jacobson. 那时Jacobson还没结婚,于是就跟Erdos住在一起.他对Erdos的故事早有耳闻,已经作好准备与之一起拼命工作,但情况显然远超过他的预料.
"头一天我们就工作到半夜1点,我已经精疲力竭,上楼睡觉去了.他呆在楼下的客房里.凌晨4点半,我听到厨房有响声,他把锅碗瓢盆弄得一片响,那是在告诉我该起床了.大约6点钟时,我跌跌撞撞地下了楼.你猜他说的第一句话是什么?不是'早上好!'也不是'睡得好吗?'而是'设n是整数,k是……'我只穿了一件浴衣,半裸着身体,眼睛还是半睁半闭,矇矇眬眬.我认输了.我告诉他,不洗一个淋浴的话,我是没法接着研究数学的."
范德比尔特大学的Mike Plummer回忆了这样一件事情:"1983年圣诞节前夜,我一家都在布达佩斯.这儿圣诞节可是一个隆重的节日,各家各户都团聚在一起开拆礼物.城市都停止运作了,所有单位都打烊,连公共汽车都不开了.要想坐出租车的话,几天前就得预订.我们都穿好了衣服,等着出租车来接我们去看一个朋友.正当我们站在屋里时,突然听到一阵敲门声.我打开门一看,是Erdos站在那里.'Plummer,'他说道,'圣诞快乐.设f(n)是以下函数……'就这样我们一直讨论到出租车来时为止.要想止住他的话而离去那是很困难的."
－－36－－
Erdos有一种激励人的本领,他能把人们带到一个全新的水平.他的数学世界是我们都能够进入的.
——Joel Spencer
－－37－－
全世界的数学家,联合起来!
——F.Klein
有一年,Erdos去UCLA,那里很多人都想和他讨论,便问他什么时候有空.Erdos总是回答:"任何时候."结果他的房间里经常聚集着一大帮人,而Erdos同时和几个不同的人讨论不同的数学问题.
他满屋子转,就像一位超级棋手同时跟好几个人下棋.Bruce Rothschild说:"那可真够刺激.当他正与别人合作时,趁着他还没回到你身边,你还有点时间考虑考虑.你还有机会知道别人正在着手解决什么问题."
Erdos自己可以同时思考好几个问题,但他却希望他的合作者精力集中在手头的问题上.当他察觉到他们走神时,他会说:"不许开小差!"
注:Felix Christian Klein,德国数学家.在他所生活的那个时代,他是哥廷根乃至整个数学界的领袖之一.
－－39－－
从来没有什么下棋的问题影响过科学思维的进程,而Pythagoras,Newton和Einstein都分别在他们不同的时代改变了科学思维的方向.
——G.H.Hardy
在一次会议期间,Erdos看见单墫和另外一位中国数学家下围棋,颇感兴趣,便要求和单墫下.但他知道中国人是下"Go"的高手,就提出得让他四个子.下的时候,他全身"覆盖"在棋盘上(眼睛相当近视).第一盘自然是输了,又要求再下一盘.第二盘单墫故意让他赢,他丝毫没有觉察,还非常高兴,连声说:"We are equal!"
－－40－－
数学从纯理论角度看是有序而美好的,这种秩序超越了物质世界.
——Erdos
Erdos只对数学感兴趣,但这并不意味着他对数学以外的事物完全无知.他会下国际象棋,会下围棋,会打桥牌,会打乒乓球,而且他还有十分渊博的历史和科技知识.一次,在匈牙利科学院宾馆,有人把Erdos介绍给Lajos Elekes. Erdos首先发问:"你从事什么职业?"许多人在知道Elekes是一位正在写一本关于15世纪匈牙利将军János Hunyadi的书的历史学家时都会无言以对,但Erdos立即追问:"匈牙利军队在1444年瓦尔纳战役中惨败于土耳其的原因是什么?"
从某种意义上说,数学是唯一无限的人类活动.可以想象,人类终将有一天获得物理学或者生物学的全部知识,但人类永远无法穷尽所有的数学知识,因为数学领域是无限广大的.数字本身是无穷多的.这就是数学成为我唯一兴趣的原因.
——Erdos
Erdos最后一次看小说是在20世纪40年代,最后一次看电影是在50年代.有一次,一位同事带他去航天中心看火箭,但他甚至连头都没有抬.还有一次他被人拉去看哑剧,可表演没开始他就睡着了.
－－42－－
Erdos的证明总是很漂亮,使用的技巧常常比别人的更好、更高超.
——M.Golomb
Erdos对许多数学领域均有贡献,而他的智慧远远超出了他的专业领域.George Purdy回忆了这样一件事:"1976年我们在德州农机学院的数学休息室喝咖啡时,看见黑板上有一个有关泛函分析的问题.对这个领域,Erdos一无所知.碰巧我知道有两位这方面的专家刚刚得出一个长达30页的解答并因此而沾沾自喜.Erdos抬头看了看黑板说道:'那是什么?那也是一个问题?'我说'是的',然后他就走到黑板前面眯着眼睛看了看那个简要陈述的问题.他问了几个有关符号代表什么意义,便毫不费力地写出一个两行的解答.要是那还不是魔力,什么才是呢?"
－－43－－
上帝不掷骰子.
——Einstein
数学往往是要求精确的.但Erdos开创了一种存在性问题的概率证明方法,把随机性引入证明之中.他可以证明许多现象存在的概率很大,甚至是1,但不给出构造.这种办法在计算机里经常会用到.想象一下这样一个难题:我是应该先迈左脚,还是应该先迈右脚?对这个问题如果非要找一个合理的回答,那就怎么也迈不了步,于是便会陷入死循环.最好的办法是掷一枚硬币,让上帝来替我们选择.
1989年,为纪念Erdos概率证明方法的发现,参加在波兰波兹南召开的随机图论会议的数学家们举行了一次随机赛跑.当他们绕着跑道赛跑时,谁也不知道终点在哪里.赛跑开始前,Erdos作为嘉宾掷了一枚巨大的骰子以决定起始的圈数,当大家快接近终点线时,Erdos又掷了一次骰子以决定再增加的圈数……Erdos开心地笑了,显然对自己所扮演的"烦人的SF"角色相当满意.
－－44－－
有位法国社会主义者说私有财产是窃取之物,而我认为私有财产就是累赘.
——Erdos
Erdos每见到一个无家可归的人,总要给他些钱.D.G.Larman回忆道:"60年代初,当我还是伦敦大学学院的一个学生时,Erdos来这儿讲学一年.他第一个月的工资刚发下来就在尤斯顿车站碰上一个乞丐找他要茶钱.Erdos从放工资的口袋里留出支付自己简单生活的少量费用后把剩下的钱都给了乞丐."
每当他得知一件好事,比如说艰难起步的古典音乐电台、美洲土著人运动、走失儿童抚养所,他就会捐一些钱.在他去世一年后,他所捐赠的组织还给他写信表示感谢.
－－45－－
这东西,只这一点点儿,就可以使黑的变成白的,丑的变成美的,错的变成对的,卑贱变成尊贵,老人变成少年,懦夫变成勇士.
——莎士比亚,《雅典的泰门》
1984年,Erdos获得Wolf数学奖.他把5万美元奖金的大部分捐给了以他父母的名义设立的奖学金,自己只留下720美元.他曾两次去印度讲学,所得的报酬都捐给了一位素昧平生的印度妇女--Ramanujan的遗孀.
80年代末,Erdos得知一位叫Glen Whitney的高中生想到Harvard去学数学,但还差一点儿学费.Erdos便与他此人见了面.当他深信这名学生确有天资时,就借给了他1000美元,并告诉对方只有在不造成经济困难的情况下才还钱.10年后Whitney有能力偿还这笔钱了,便问Graham:"Erdos要不要利息呢?"Graham向Erdos询问,Erdos回答:"告诉他,拿那1000美元去做我当年所做的事."
－－46－－
只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力;而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止.
——D.Hilbert
Erdos经常在各种数学杂志上抛出一些悬赏征解的数学问题,奖金数目从五美元到三千美元不等.许多年轻人都爱做Erdos提出的问题,当然不光是因为有奖金.Erdos提出的问题往往重要而有趣,很多人就是在解决了这些问题后走上数学道路的.
有人曾问Erdos,假如所有的问题都同时解决了,事情会怎么样?他还支付得起吗?
Erdos说"当然不能.但如果所有储户同时要求把钱取光的话,哪怕是世界上资金最雄厚的银行也会破产.事实上前者比后者发生的可能性还要小得多"
Erdos去世后,他的朋友Graham决定负责支付他在图论问题上的奖金,总额约10000美元,达拉斯的一位银行家则提出支付其他领域里的问题的奖金.
下面是一个有三千美元奖金的问题:
如果正整数序列a1,a2,……有这样的性质:
∞
∑ 1/ai ＝∞
i=1
那么原来的数列中存在长度为任意自然数的等差数列.
－－47－－
孩子们从来不认为他们会死,我也是这样,直到4岁时.当时我正和母亲逛商店,突然意识到自己错了.我哭了起来,我知道我会死的.从那时起,我总是想再年轻一些.
——Erdos
早在四十年代,Erdos便一再在书信里宣称自己已经老了.1970年,他在洛杉矶作了一次"我从事数学的前25亿年"的讲演:"当我还小时,据说地球已有20亿岁年龄.现在,科学家们说地球有45亿岁.这样一来,我就有25亿岁了."听讲座的学生们画了一条时间曲线,画上Erdos正骑着一条恐龙.有人问他:"恐龙是怎么一回事?"Erdos答:"你看,我忘记了,因为一个老人只记得很早时候的事,而恐龙则是昨天才出生的,就在1亿年以前."
－－48－－
一个人衰老的第一个标志,是忘记了自己的定理,第二个标志是忘记拉上拉链,第三个标志是忘了拉开拉链.
——Ulam
70年代初,Erdos开始用P.G.O.M.来代表他的名字,意为"Poor Great Old Man".到他60岁时,就成了P.G.O.M.L.D.,L.D.是"Living Dead".到65岁时,又成了P.G.O.M.L.D.A.D.,A.D.意为"Archaeological Discovery".70岁时,换成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.,L.D.是"Legal Dead".75岁时,又成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.C.D.,C.D.是"Counts Dead",他解释道:"匈牙利科学院有200名成员.当成员满75岁时,还可以留在科学院并享有充分的特权,但已不再计为成员了.这就是'计数死亡'的含义."
－－49－－
我从未做过什么"有用"的事情.我的任何发现都没有,也不可能对平静的现实世界产生什么影响,不管是直接的还是间接的,也不管是正面的还是负面的.
——G.H.Hardy
与Hardy不同,Erdos对数学的应用更能容忍,事实上他的很多成果都获得了应用.
但Erdos的兴趣只在"纯粹"数学方面,并且明确反对任何脱离纯粹数学的倾向.
Vázsonyi回忆道:"当我为继续当一位数学家还是去工学院当一名工程师的问题犹豫不决时,Erdos警告我:'我会藏起来,等你一去工学院,我就毙了你.'一句话就把我搞定了."
－－50－－
每一样能够用于善举的东西同样也能够用于恶行.归根到底,确定毒气传播的微分方程同样也能描述污染物的扩散.因此,人们既能有意散播毒气,又能防止污染的扩散.
——Erdos
二战期间,M.Kac曾在MIT的辐射实验室工作,他根据当时的研究成果在《应用物理杂志》上发表了一篇论文.然后他就收到了Erdos寄给他的明信片,上面只有一句话:"我为你的灵魂祈祷."
－－51－－
One should have a general attitude of welcoming to everybody.
——B.Russell
Erdos非常富有同情心.1945年,他到一位数学同行家里参加晚会,但刚与大家打了个招呼,便不见了踪影,直到晚会快结束时才再次见到他.原来Erdos得知主人有一个双目失明的老父亲,不能来参加晚会,孤零零地呆在楼上的一个房间里;于是Erdos宁愿放弃与数学同行们共度良宵的机会,而上楼去陪伴那位孤独的失明老人.
Peter Winkler谈了另一件事:"我们有一个非常聪明的学生,可惜患有脑瘫,人坐在轮椅里.当Paul第一次见到他时,便立即跑上去,询问他的病情和预后状况.Erdos在10分钟内对这个学生的了解比我们在他整个研究生学习期间对他的了解都要多.此后Erdos对这个学生的研究工作很是关心--当时该生正在完成他的博士论文,--提了很多中肯的建议.诸如此类的事情在他的一生中不胜枚举."
－－52－－
每次他(Erdos)回到匈牙利时,他总要问候那些年迈的妇女们.光花在这些数学家的母亲和遗孀上的时间就要耗掉他回来后的头两三天.
——Vera Sós
1994年在布达佩斯,Erdos去看望他的一位老朋友的岳母.那位老夫人坐着轮椅,并且出于某种原因生活在精神的痛苦中.她不住地埋怨她的保姆:"别放在那儿!""为什么不先给Erdos教授先生上茶?"临走的时候保姆把客人们送出门,Erdos给了她一份相当丰厚的小费,好象是对她所受委屈的一种安慰.
Erdos总是尽自己的可能帮助别人.当身无分文的俄罗斯数学家来到匈牙利时,他把自己所有的钱都给了他们.
塞尔维亚数学家Aleksandar Ivic谈了另外一件事:一次他与Erdos一同在餐馆吃饭,两人正讨论一个数论问题,Erdos突然从兜里掏出一叠不同国家的钞票,并用一种柔和的语调说:"拿着吧!我知道你现在很缺外汇."Ivic非常窘迫,对Erdos说,从贝尔格莱德目前的政治、经济形势看,他在可预见的将来是还不了这笔钱的.Erdos坚持要给他,但Ivic最终还是没有要.
－－53－－
你听说过我母亲的定理了吗?我母亲说过:"在同一时间,即使是你,Paul,也只能在一个地方."也许不久我就将不受这一限制了.也许一旦我离开了这个世界,我就可以同时在不同的地方了.也许到时我将可以与Archimedes和Euclid合作了.
——Erdos
Erdos对他的母亲怀有深厚的感情.Herb Wilf说:"在参加一次会议期间,有一天我正穿过院子准备去吃早饭,Erdos刚好吃完早饭从我对面走来.当我们相遇时,我习惯性地问候道:'早上好,Paul,今天好吗?'他一下子止住了脚步,出于尊敬和关心,我也停了下来.我们默默地站在那里,他认真地思考着我的问话,仿佛那是一个渐进线理论方面的问题,需要好好想想才能回答似的.他的一生都在冥思苦想重要的数学问题,但对待这样的日常问候语也很认真.他沉思了好一会儿,终于回答道:'Herb,今天我很难过.'我说:'听到这个我很抱歉,你为什么难过,Paul?'他说:'是因为我想念我母亲.你是知道的,她死了.'我说:'是的,我知道这事,对于她的去世,你和我们大家都感到很难过.但这不是5年前的事吗?'他答道:'是的,5年了.但我很想念她.'我们相对无言,尴尬地站了会儿,然后各奔东西."
－－54－－
他把一个个问题连珠炮似地砸向我们,好象我们是职业数学家似的.
——J.Pelikán回忆他15岁时第一次见到Erdos的情形
Erdos以发掘数学天才为己任.1959年,他听说有一个12岁的匈牙利小男孩Lajos Pósa已经掌握了全部中学数学课程,便邀请他共进午餐.吃饭的时候,Pósa正喝着汤,Erdos便问了他这样一个问题:"试证:在1,2,...,2n中任取n+1个数,必有两个数互素."
Pósa先把汤喝完,然后给出了这个问题的证明.Erdos大为震惊,因为他当初花了10分钟才找到这个问题的证明方法,而这个小男孩只用了半分钟!
后来Erdos经常与Pósa见面,Pósa 13岁时,Erdos便给他讲Ramsey原理,并提了一个包含无穷个点和无穷条边的问题.Pósa花了15分钟时间才弄清楚题意,然后他回家了,想了一个晚上,最终在入睡前找到了证明.
和Pósa讨论问题时,Erdos曾给他喝浓咖啡.Erdos的母亲对Erdos给这么小的孩子喝浓咖啡大为光火,Erdos答道:"Pósa会这么说:'夫人,我做着一名数学家的工作,喝着一名数学家所喝的饮料.'"
Pósa不到14岁时,Erdos已经把他当作成年数学家来讨论问题.14岁那年,Pósa与Erdos合作发表了第一篇论文,15岁时在图论方面完成了他最著名的工作.但20岁那年,Pósa就停止证明和猜想,改行去作小学教师了.
Erdos说:"我觉得非常可惜.他虽然活着,但无异于行尸走肉,我非常希望他能尽快真正活过来.其实当他16岁那年告诉我他宁愿做Dostoyevsky,而不做Einstein时,我就开始隐隐有些担忧了."
注:Frank Plumpton Ramsey,英国数学家、逻辑学家、经济学家.他开创了组合数学中的Ramsey理论.
Fyodor Mikhaylovich Dostoyevsky,19世纪俄国小说家,擅长强烈的心理描写.代表作有《白痴》、《罪与罚》、《卡拉马佐夫兄弟》、《群魔》等.
－－55－－
Paul Erdos was the most inspirational man I have ever met.
——Joel Spencer
有一年,Hawaii的一个名叫David Williamson的中学生证明了这样一个结论:如果存在一个奇完全数,那么它必然有且仅有一个形如4k+1的素因子.Williamson向一位大学教授询问这个结果是否为已知,那位教授不太清楚,便建议他写信问Erdos. Williamson写了信,很快就收到了回复:"亲爱的Williamson先生:非常感谢你的来信,——我昨天才收到这封信.你证明的那个结果已经被Euler知道了,他还证明了……或许我的下面这些问题会使你感兴趣.……"
Williamson如今已是IBM的研究人员,在组合优化领域颇有建树.他说:"跟Erdos的巨大成就比起来,一封给中学生的信算不了什么,但那对我的意义却非同小可."
－－56－－
Neither Sam nor Joe can determine when and where I should travel.
——Erdos
我们说过,Erdos曾被美国移民局取消再入境资格.1963年,几百名数学家联名向美国政府要求允许Erdos重新入境,于是Erdos终于得以重返这个自由的国度.在会议上发表讲话时,Erdos说:"Sam终于肯接纳我了,大概它认为我已经老迈不堪,不足以推翻它了!"
但Erdos与政府之间的纠葛还没有完.1973年,匈牙利政府禁止以色列数学家入境参加为庆祝Erdos六十寿辰而举行的集合论学术会议.Erdos大发雷霆,宣布将抵制他自己的生日晚会.他后来还是去了,但他拒绝再回到匈牙利.(直到1976年,他才赶回匈牙利,因为他的挚友Turán身患癌症,已经奄奄一息.)
正如一位美国数学家所说:"这是我们的时代和我们的国家的悲哀:这个人--如此全身心地投入到学术研究,如此远离政治,具有最高尚的道德的自由灵魂--竟然会受到官僚们的骚扰.而这些官僚的职责还是保护我们的自由!"
－－57－－
You don't have to believe in God, but you should believe in The Book.
——Erdos
Erdos不太相信上帝,但他相信世界上有一本超穷的"天书"(The Book),那里面包含了所有数学定理的最简洁、最漂亮、最优雅的证明.他对一个证明的最高赞誉就是:"It is from The Book!"
没有人能看到天书,Newton和Gauss这样的数学家或许曾有幸瞥上一眼.Erdos希望当他见到上帝的时候,上帝能够允许他阅读这本书,--为什么不呢?
Erdos常爱引用一个笑话,说是有人问:"要是你在街上遇见耶酥,你会问他什么问题?"Erdos说他会问连续统假设是否正确,而耶酥可能会有三种回答.第一种是:"Godel和Cohen已经把有关这一猜想的一切都教给你了."第二种是:"是的,确有一个答案,
可惜你的头脑还不够发达,无法知道它."第三种是:"在创世前很久,圣父、圣灵和我就一直为此绞尽脑汁,但我们还没有得出结论."虽然大多数逻辑学家都会同意第一种回答,但Erdos却认为第三种是最佳答案.
－－58－－
L.A. is studying Jordan's theorem.
——Erdos
我们曾谈到过,在匈牙利的半法西斯政权统治期间,Erdos开始使用各种隐语.前面的引文就是当时他说的一句.
在拓扑学里有一个Jordan曲线定理:"平面上一条同胚于圆周的曲线必然把平面分成两个不连通的部分."有一次,Erdos的朋友László Alpár被抓进监狱了,Erdos就用前面那句隐语把这个消息告诉朋友们.
注:Marie Ennemond Camille Jordan,法国数学家.
－－59－－
Ask Uncle Paul before you spend months on a problem.
——János Komlós
Erdos对数学问题有着惊人的洞察力.每个人都会提问题,但并不是每个人都能提好的问题.大多数人提的问题往往要么非常平庸,要么非常怪僻.Erdos不一样,他能够提出各种层次上的适当的问题,而且都是重要且有趣的.绝大部分数学家擅长研究某一小类问题,对其它的问题则根本无从下手.但Erdos却在几乎所有的问题上都能入手,并且能估计这个问题的难度.
M.Jacobson在当研究生时第一次见到Erdos. 当时Erdos作完一次讲座,然后宣布"My brain is open." 于是Jacobson走上讲台,把他正在研究的一个组合论问题告诉Erdos.
Erdos当即毫不犹豫地说:"我认为你需要寻找另外的问题."7年后,Jacobson又一次见到Erdos,并谈起第一次见面的情形.Erdos已经不记得这事了,便要Jacobson重新说一下当时的问题.等对方说完后,Erdos说:"哼,这个问题确实太难,到现在还没解决呢!"14年后,当Erdos去世时,那个问题依然没有解决.
Erdos不仅能够提出适当的问题,而且还能提给适当的人.他能够在短时间内正确地评估一个人的数学水平,并把适合他研究的问题提给他.很多人就是从Erdos的问题开始走上数学研究道路的.
－－60－－
明天咱们接着讨论这个问题,如果我还活着的话.
——Erdos
Erdos是最好的合作者.他是朋友,也是老师.他的"教学"是不易觉察的.他从不直接讲课,也不教给你定理或方法.但在与他合作时,每个人都可以把握住他那丰富的思想和方法.慢慢地,不知不觉中,他就能控制你的数学思维.
Aleksandar Ivic说,很多次当他自己独自一人思考问题时,他都会问自己:"Erdos会怎样做?他会怎样对付这道题?"
Gian-Carlo Rota则说,根据Erdos的提示而写成的论文至少有上万篇.
对于合作者来说,Erdos还是一个丰富的资料库.Erdos能够准确地记住上千篇论文的有关信息.在与他讨论时,常能听到他说诸如此类的话:"Mirsky写了一篇相关文章,发表于1947年或者1948年的'Quarterly J. Mathematics (Oxford)'上,在最后那几页."
李信明教授曾在法国Poincaré研究所的图书馆见到他进来查阅杂志,他不需要看目录,用手一翻就能找到他所要的文章,让人佩服得五体投地.
－－62－－
想见Erdos吗?呆在这儿别动,他迟早会到这里来的.
——关于Erdos的说法之一
Erdos似乎总处于Brown运动的状态,你很难在固定的时间找到他.在很多年里,如果你想联系到他,最好的办法是给下面的这些人打电话:东海岸Bell实验室的Ron Graham,或者Illinois大学的Paul Bateman,或者UCLA的Ernst Strauss. 1983年Strauss去世后,他的位置被Bruce Rothschild所取代.后来Bateman退休了,所以Graham似乎成为最有可能知道Erdos在哪里的人.
相比之下Erdos找起别人来就方便多了.有一次在新泽西州吃早饭时,他突然想起加州某位数学家,就朝电话走去并开始拨号.主人打断了他,指出在西海岸,现在才凌晨5点钟.Erdos说:"很好,这就意味着他会在家."
－－63－－
Fourier先生认为,数学的主要目的是服务人类、解释自然现象;但像他这样的哲学家应当知道,科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀,因此,一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义.
——C.G.J. Jacobi
1974年4月8日,Georgia大学的助理教授Carl Pomerance观看了一场棒球比赛的现场直播.那不是一场普通的棒球比赛.在那场比赛中,亚特兰大勇士队的Hank Aaron击出了他在大联盟比赛中的第715个本垒打,从而打破了Babe Ruth在四十年前创下的714个本垒打的纪录.
Pomerance注意到714和715这个数对的一个奇妙性质:它们的乘积刚好是前7个素数的乘积.第二天早上,他问他的同事David Penney知不知道714和715的一个有趣性质,Penney很快作出了同样的发现.Penney又把这个问题提给了他班上的学生,一个学生发现了另外一个性质:714的素因子的和等于715的素因子的和.Pomerance和Penney等人把具有后面这种性质的两个连续整数称为Ruth-Aaron数对,并且在"Journal of Recreational Mathematics"上发表了他们的发现,还猜想这种数对的密度应该是0.
Erdos这样的一位大数学家也是"Journal of Recreational Mathematics"的读者.
在看到那篇文章一周后,他给Pomerance写信,说他能够证明Ruth-Aaron数对的密度是0,
他想到Georgia来同Pomerance讨论这个问题.
这次会面导致了后来的20篇合作发表的论文.1995年,Erdos和Aaron被Emory大学授予名誉学位.在仪式中,Pomerance把Ruth-Aaron数对的故事告诉了Aaron,他对Aaron说,那个本垒打改变了他这个无名小卒作为数学家的一生.Pomerance请Erdos和Aaron在他的一个棒球上签了字,他说,这样Aaron的Erdos数就变成1了.
注:Carl Gustav Jacob Jacobi,19世纪德国数学家.
－－64－－
有一次我在火车上碰见了一位数学家,他对Paul Erdos和他的数学表示难以置信.他很难想象,一位像Jean-Pierre Serre这样的数学家竟然也会有一个有限的Erdos数.
——Peter J.Cameron
Erdos研究的领域主要是数论和组合数学,但他的论文中涵盖的学科有逼近论、初等几何、集合论、概率论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、差分方程与函数方程、数列、Fourier分析、泛函分析、一般拓扑和代数拓扑、统计、数值分析、计算机科学、信息论等等."Mathematical Reviews"曾把数学划分为大约六十个分支,Erdos的论文涉及到了其中的40%.
如此广泛的研究方向,再加上他的惊人数量的论文,超长的合作者名单,使他的触角伸展到了数学的几乎每一个角落.
几乎每一个当代数学家都有一个有限的Erdos数,而且这个数往往非常小,小得出乎本人的预料.比如说证明Fermat大定理的Andrew Wiles,他的研究方向与Erdos相去甚远,但他的Erdos数只有3,是通过这个途径实现的:Erdos--Andrew Odlyzko--Chris
M.Skinner--Andrew Wiles.
Fields奖得主的Erdos数都不超过5,(只有Cohen和Grothendieck的Erdos数是5,)Nevanlinna奖得主的Erdos数不超过3,(只有Valiant的Erdos数是3,)Wolf数学奖得主的Erdos数不超过6,(只有V.I.Arnold是6,且只有Kolmogorov是5,)Steele奖的终身成就奖得主的Erdos数不超过4.
在具有有限Erdos数的人名单中往往还能发现一些其他领域的专家,比如Bill Gates,他的Erdos数是4,通过如下途径实现:Erdos--Pavol Hell--Xiao Tie Deng--Christos H. Papadimitriou--William H. (Bill) Gates.
注:Jean-Pierre Serre,法国数学家,1954年获Fields奖,2000年获Wolf奖.
Pierre de Fermat,17世纪法国数学家,被誉为"业余数学家之王".但他的数学水平完全是职业水准的,E.T.Bell甚至说他是17世纪最出色的数学家.
Andrew Wiles,英国数学家.Fermat大定理的证明给他带来了无数的荣誉,其中包括1996年的Wolf奖和1998年国际数学家大会上颁发的特别奖.
John Charles Fields,加拿大数学家.他是1924年在多伦多举行的国际数学家大会的主席.以他名字命名的著名奖项被认为是数学界的最高荣誉.
Alexander Grothendieck,法国数学家,现代抽象代数几何的集大成者,1966年获Fields奖.
Rolf Herman Nevanlinna,芬兰数学家.国际数学家大会上设立有以他名字命名的奖项,颁发给对信息科学有重大贡献的数学家.
Vladimir Igorevich Arnold,苏联/俄罗斯数学家,主要研究常微分方程与动力系统.1982年获首届Crafoord奖,2001年获Wolf奖.
Andrey Nikolaevich Kolmogorov,20世纪最著名、最重要的数学家之一,苏联数学界的领袖.1980年获Wolf奖.
附录:
下面是一些著名学者的Erdos数,其中某些Erdos数小得出乎你的想象之外.
Nobel Prize winners
NAME YEAR SUBJECT ERDOS NUMBER
Max von Laue 1914 Physics 4
Albert Einstein 1921 Physics 2
Niels Bohr 1922 Physics 5
Louis de Broglie 1929 Physics 5
Werner Heisenberg 1932 Physics 4
Paul A. Dirac 1933 Physics 4
Erwin Schrodinger 1933 Physics 8
Enrico Fermi 1938 Physics 3
Ernest O. Lawrence 1939 Physics 6
Otto Stern 1943 Physics 3
Isidor I. Rabi 1944 Physics 4
Wolfgang Pauli 1945 Physics 3
Frits Zernike 1953 Physics 6
Max Born 1954 Physics 3
Willis E. Lamb 1955 Physics 3
John Bardeen 1956 Physics 5
Walter H. Brattain 1956 Physics 6
William B. Shockley 1956 Physics 6
Chen Ning Yang 1957 Physics 4
Tsung-dao Lee 1957 Physics 5
Emilio Segrè 1959 Physics 4
Owen Chamberlain 1959 Physics 5
Robert Hofstadter 1961 Physics 5
Eugene Wigner 1963 Physics 4
Richard P. Feynman 1965 Physics 4
Julian S. Schwinger 1965 Physics 4
Hans A. Bethe 1967 Physics 4
Luis W. Alvarez 1968 Physics 6
Murray Gell-Mann 1969 Physics 3
John Bardeen 1972 Physics 5
Leon N. Cooper 1972 Physics 6
John R. Schrieffer 1972 Physics 5
Aage Bohr 1975 Physics 5
Ben Mottelson 1975 Physics 5
Leo J. Rainwater 1975 Physics 7
Steven Weinberg 1979 Physics 4
Sheldon Lee Glashow 1979 Physics 2
Abdus Salam 1979 Physics 3
S. Chandrasekhar 1983 Physics 4
Norman F. Ramsey 1989 Physics 3
Paul A. Samuelson 1970 Economics 5
Kenneth J. Arrow 1972 Economics 3
Tjalling C. Koopmans 1975 Economics 4
Herbert A. Simon 1978 Economics 3
Gerard Debreu 1983 Economics 3
Franco Modigliani 1985 Economics 4
Robert M. Solow 1987 Economics 4
Harry M. Markowitz 1990 Economics 2
Merton H. Miller 1990 Economics 4
John C. Harsanyi 1994 Economics 8
John F. Nash 1994 Economics 4
Reinhard Selten 1994 Economics 7
Robert C. Merton 1997 Economics 6
Peter J. Debye 1936 Chemistry 5
George De Hevesy 1943 Chemistry 7
Otto Diels 1950 Chemistry 7
Kurt Alder 1950 Chemistry 6
Edwin M. McMillan 1951 Chemistry 6
Glenn T. Seaborg 1951 Chemistry 5
Linus Pauling* 1954 Chemistry 4
*Also received the 1962 Nobel Peace Prize
Lars Onsager 1968 Chemistry 3
Ilya Prigogine 1977 Chemistry 6
Walter Gilbert 1980 Chemistry 4
Kenichi Fukui 1981 Chemistry 3
Jerome Karle 1985 Chemistry 4
Herbert A. Hauptman 1985 Chemistry 3
Francis H. C. Crick 1962 Medicine 7
James D. Watson 1962 Medicine 8
Sir John Carew Eccles 1963 Medicine 3
Fields Medal winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Lars Ahlfors 1936 Finland 4
Jesse Douglas 1936 USA 4
Laurent Schwartz 1950 France 4
Atle Selberg 1950 Norway 2
Kunihiko Kodaira 1954 Japan 2
Jean-Pierre Serre 1954 France 3
Klaus Roth 1958 Germany 2
Rene Thom 1958 France 4
Lars Hormander 1962 Sweden 3
John Milnor 1962 USA 3
Michael Atiyah 1966 Great Britain 4
Paul Cohen 1966 USA 5
Alexander Grothendieck 1966 Germany/France 5
Stephen Smale 1966 USA 4
Alan Baker 1970 Great Britain 2
Heisuke Hironaka 1970 Japan 4
Serge Novikov 1970 USSR 3
John G. Thompson 1970 USA 3
Enrico Bombieri 1974 Italy 2
David Mumford 1974 Great Britain 2
Pierre Deligne 1978 Belgium 3
Charles Fefferman 1978 USA 2
Gregori Margulis 1978 USSR 4
Daniel Quillen 1978 USA 3
Alain Connes 1982 France 3
William Thurston 1982 USA 3
Shing-Tung Yau 1982 China 2
Simon Donaldson 1986 Great Britain 4
Gerd Faltings 1986 Germany 4
Michael Freedman 1986 USA 3
Valdimir Drinfeld 1990 USSR 4
Vaughan Jones 1990 New Zealand 4
Shigemufi Mori 1990 Japan 3
Edward Witten 1990 USA 3
Pierre-Louis Lions 1994 France 4
Jean Christophe Yoccoz 1994 France 3
Jean Bourgain 1994 Belgium 2
Efim Zelmanov 1994 Russia 3
Richard Borcherds 1998 S Afr/Gt Brtn 2
William T. Gowers 1998 Great Britain 4
Maxim L. Kontsevich 1998 Russia 4
Curtis McMullen 1998 USA 3
Nevanlinna Prize winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Robert Tarjan 1982 USA 2
Leslie Valiant 1986 Hungary/Gt Brtn 3
Alexander Razborov 1990 Russia 2
Avi Wigderson 1994 Israel 2
Peter Shor 1998 USA 2
Wolf Prize in Mathematics winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Izrail M. Gelfand 1978 USSR (Russia) 4
Carl L. Siegel 1978 Germany 3
Jean Leray 1979 France 3
André Weil 1979 France 4
Henri Cartan 1980 France 3
Andrei N. Kolmogorov 1980 Russia 5
Lars Ahlfors 1981 Finland 4
Oscar Zariski 1981 USA 3
Hassler Whitney 1982 USA 2
Mark G. Krein 1982 Ukranian SSR 4
Shiing Shen Chern 1983-84 China 2
Paul Erd?s 1983-84 Hungary 0
Kunihiko Kodaira 1984-85 Japan 2
Hans Lewy 1984-85 Germany 3
Samuel Eilenberg 1986 Poland 2
Atle Selberg 1986 Norway 2
Kiyoshi Ito 1987 Japan 3
Peter D. Lax 1987 Hungary/USA 3
Friedrich E. Hirzebruch 1988 Germany 3
Lars Hormander 1988 Sweden 3
Alberto Calderón 1989 Argentina 3
John Milnor 1989 USA 3
Ennio De Giorgi 1990 Italy 3
Ilya Piatetski-Shapiro 1990 Russia 3
Lennart A. Carleson 1992 Sweden 4
John G. Thompson 1992 USA 3
Mikhael Gromov 1993 Russia 3
Jacques Tits 1993 Belgium 4
Jurgen K. Moser 1994-95 Germany 3
Robert Langlands 1995-96 Canada 2
Andrew Wiles 1995-96 Great Britain 3
Joseph B. Keller 1997 USA 3
Yakov G. Sinai 1997 Russia 4
Laszlo Lovasz 1999 Hungary 1
Elias M. Stein 1999 Belgium/USA 2
Raoul Bott 2000 Hungary 3
Jean-Pierre Serre 2000 France 3
Vladimir I. Arnold 2001 Russia 6
Saharon Shelah 2001 Israel 1
Steele Prize (Lifetime Achievement) winners
NAME YEAR COUNTRY ERDOS NUMBER
Salomon Bochner 1979 Poland 2
Antoni Zygmund 1979 Poland 2
André Weil 1980 France 4
Gerhard P. Hochschild 1980 Germany 4
Oscar Zariski 1981 Poland 3
Fritz John 1982 Germany 4
Shiing Shen Chern 1983 China 2
Joseph L. Doob 1984 USA 2
Hassler Whitney 1985 USA 2
Saunders Mac Lane 1986 USA 3
Samuel Eilenberg 1987 Poland 2
Deane Montgomery 1988 USA 3
Raoul Bott 1990 Hungary 3
Armand Borel 1991 Switzerland 3
Peter D. Lax 1992 Hungary/USA 3
Eugene B. Dynkin 1993 Russia/USA 3
Louis Nirenberg 1994 Canada 3
John T. Tate 1995 USA 3
Goro Shimura 1996 Japan 2
Ralph S. Phillips 1997 USA 2
Nathan Jacobson 1998 USA 3
Richard V. Kadison 1999 USA 3
Isadore M. Singer 2000 USA 3
Harry Kesten 2001 USA 2
Other distinguished scholars
NAME FIELD OF RESEARCH ERDOS NUMBER
Walter Alvarez geology 7
Rudolf Carnap philosophy 4
Jule G. Charney meteorology 4
Noam Chomsky linguistics 4
Freeman J. Dyson quantum physics 2
George Gamow nuclear physics and cosmology 5
Stephen Hawking relativity and cosmology 4
John L. Hennessey comp. sci., Stanford U president 4
Pascual Jordan quantum physics 4
Theodore von Kármán aeronautical engineering 4
John Maynard Smith biology 4
Oskar Morgenstern economics 4
Rolf Nevanlinna mathematics 5
J. Robert Oppenheimer nuclear physics 4
Roger Penrose relativity and cosmology 3
Jean Piaget psychology 3
Karl Popper philosophy 4
Edwin E. Salpeter astrophysics 5
Claude E. Shannon electrical engineering 3
Arnold Sommerfeld atomic physics 5
Edward Teller nuclear physics 4
Alan Turing computer science 5
George Uhlenbeck atomic physics 2
John A. Wheeler nuclear physics 3
－－65－－
愿数论永远无用!
——某位数学家的祝酒词
有一年在洛杉矶,Erdos因不遵守交通规则而被扣,身上又没有身份证和现金.警察威胁说要把他送进监狱,于是Erdos出示了他的一本厚厚的论文选集"The Art of Counting",卷首插图有他的满面笑容的照片.警察耸耸肩,权作它是他的身份证.后来UCLA的Bruce Rothschild替他支付了罚款.
－－66－－
你不能两次踏入同一条河流.
——Heraclitus
一切皆流逝,但Erdos似乎永远都不会改变.从五十年代到九十年代,他看起来总是那个样子.用同样的语气讲述同样的笑话,以同样的方式穿同样的衣服.在后半生,他所有的讲演都是一个题目: "Problems in combinatorics and number theory",不过讲座的内容总是在变化,每次他都会讲一些新的已解决的问题,再加上一些新的未解决的问题.
注:Heraclitus,古希腊哲学家.
－－67－－
据说证明了素数定理的人将获得永生.呃,Hadamard和de la Vallée-Poussin都活了将近百岁.现在我和Selberg也在素数定理上做了一些事,所以……
——Erdos
从四十年代开始,Erdos就是一幅体弱多病、疲惫不堪的样子.他的朋友们都觉得他没多少光景了,可事实上他活得比别人都长.几十年中,Erdos一直拿上帝和死亡开玩笑,在结束自己的演讲时,他会说:"你们知道我是什么意思.除了数学以外,任何事情都是要结束的,数学演讲也是这样.我会回来的,如果我还活着的话;否则我就不来了."
－－68－－
数学是年轻人的游戏,……迄今为止我还没有发现一项重要的数学进展是由超过50岁的人取得的.
——G.H. Hardy. 与Hardy见面时,Erdos才21岁
到暮年的时候,Erdos开始怀疑自己的数学能力了.他翻阅过去写的论文,发现三四十年前自己的那些论证是多么难以理解.
有一次他问Graham:"你注意到我有什么不同吗?"
Graham说:"没有,真没什么."
"还说你观察力那么强,难道你没有注意到最近我那么沮丧吗?"
"嗯,也许吧."
"我现在发现,我正在走下坡路.对此我一筹莫展,真是令人懊恼."
Graham说:"Paul,你仍然比别人强得多."
后来Erdos经常请Graham帮忙检查他写的东西,尽管他并没有出什么错.
－－69－－
有一个念头令我不安,我或将死亡在日渐严重的早老性痴呆症中.
——Erdos
Erdos曾说,印度人确实聪明.他们不仅发明了"0",而且还用相似的词来称呼"弱智者"(buddhu)和"老人"(buddha).
1994年,他年满81岁,也就是9的平方.他抱怨说这也许是自己"最后一次平方了".
1996年,他83岁的时候说道:"要是38岁,而不是83岁就好了.在许多语言里,"接着,他又用匈牙利语、希伯来语、法语、德语重复说道,"年老是不愉快的事."
－－70－－
像Wiener一样,Erdos是假装心不在焉,以此来摆脱俗事的纠缠.他的同事们为他安排一切,但如果出了什么乱子,他很快就能发现.他总是记得自己的日程,从不会忘记提醒主人:是时候开车送他去机场了.
——Gian-Carlo Rota
晚年时,Erdos有一只眼睛的视力在逐渐丧失.有一次他把眼镜掉在地上了,一个镜片破了,但仍留在镜框里.Erdos说:"不碍事,反正那只眼睛也看不见."说着便又戴上眼镜.Faudree怕玻璃渣子进到他的眼睛里,便把那个碎了的镜片彻底捅了出来.然后Faudree给Graham打电话,要他把放在Bell实验室里的一副备用眼镜送过来.没过一会儿,Faudree发现Erdos又戴上了一副完好的眼镜,他疑惑地问:"这是Graham送来的吗?"Erdos说:"不是,这副眼镜也没多大帮助."又想了想,补充说:"我准是把别人的眼镜拿来戴上了."迟疑了一下,他笑了起来:"很可能就是刚才跟我在一起的那家伙的,我得问问他."
－－71－－
Paul Erdos was a searcher, a searcher for mathematical truth.
——Joel Spencer
后来Erdos的那只眼睛完全看不见了,急需一次角膜移植手术.在Faudree的妻子的安排下,很快找到了合适的角膜捐赠人,可以进行手术了.
手术开始前,医生仔细给Erdos讲了手术过程.
"医生,"Erdos问道:"我还能看书吗?"
"可以,"医生说道,"这正是我们手术的目的."
Erdos走进手术室.可灯光一暗下来,他又烦躁起来:"你们为什么把灯给关了?"
"为了手术."
"可你刚才还说我能看书!"
然后他就跟医生吵起来了,说既然做手术的是一只眼睛,为什么他不能用另外一只好眼睛看书呢?医生急得拼命给孟菲斯大学数学系打电话:"你们能否派一个数学家过来,以便手术过程中Erdos能谈论数学?"数学系答应了,手术进行得很顺利.
手术后,大脑需要一段时间才能将两只眼睛对焦.Erdos度过了悲惨的一年,他逢人就抱怨看东西重影.
－－72－－
He worked on what he loved to do to the last!
——Melvin Henriksen
一次Faudree和Erdos在希腊的一家饭店吃饭,Erdos的心跳突然陡增至每分钟150次.
Faudree连忙把他送到急诊室.Erdos紧盯着监视器,从那里可以读出心跳的频率.突
然,心跳频率开始急剧下降,仿佛要一直降到0,幸好在65时稳住了.医生把Erdos留在医院观察.Erdos的病床上堆满了论文,病房里数学家们像牵线一样进进出出.护士们试图阻止他可又没办法,医生和护士都被逼得发了疯.
－－73－－
不久我就要摆脱生命这一不治之症了.
——Erdos
一次Erdos因为心脏病在布达佩斯住院.他不得不转了医院,因为第一家医院里没有能够容纳那么多人探视的病房.他的病房里乱七八糟,到处都是成堆的杂志和论文.Erdos躺在那里,同时进行着三个讨论:用匈牙利语和一个角落里的一群人,用德语和另一个角落里的一群人,用英语和第三组人.在进行这些讨论时,他还和来探望他的Ordman夫妇说话.当医生们走进来时他喊道:"走开!不知道我这儿很忙吗?给我几个小时!"
医生们果然都走了.
－－74－－
就像生命一样,这种会议不久就要到头了;但比起生命来,它还是让人高兴多了.
--Erdos
1996年3月,在博卡拉顿举行的一次会议上,Erdos的报告进行了一半.当他站起来往黑板上写字时,突然僵硬地倒了下来.他的血压极低,心率降至37.他僵卧在那里,但麦克风还戴在身上.与会者都吓坏了,保安正安排他们鱼贯而出.这时Erdos苏醒过来,说,"告诉他们不要走,我还有两个问题要讲."
那次会议安排了去新奥尔良过斋前节,Alexander Soifer提出要留下来陪Erdos,Erdos说:"尽管去玩吧!我很好,什么事也没有.过完节后请到我的房间里来,我有些问题和你研究."
－－75－－
He talked a little, nearly every time I saw him, about death. He wanted it.
He did not fear it: what was there to fear in nothingness?
——C.P. Snow所记录下来的临终前的Hardy
1996年6月的一次会议上,Erdos听了Gerhart Ringel的报告.报告结束时,坐在前排的Erdos小声地问了一个问题,就在提问的当中,他突然昏厥倒下了.那天上午医生们给他装了一个心脏起搏器,晚上他就去参加宴会了,——在两位心脏科医生的陪同下.他站起来,微微地鞠了一个躬,介绍完两位医生后说:"现在我想完成我对Ringel博士的提问."
他没把他装心脏起搏器的事告诉别人,因为他不希望别人同情他.
－－76－－
1783.9.18,欧拉拿着烟斗,呛了一口,死前最后一句话是"我死了".
有次Erdos在演讲中讲到这个故事,一个听众说"欧拉的一个猜想又得到了证明",Erdos也想这样走.
"我希望在我演讲时,在黑板上完成一个重要的证明之后,有人喊道:'一般情况怎样?'我会面对听众,微笑着说:'我把它留给下一代',然后就撒手而去了."
——Erdos
一次Erdos与朋友们在Memphis的一家餐馆吃饭,他突然说自己感觉不舒服.Cecil Rousseau摸了一下他的脉,发现十分异常,连忙把他送到医院.
在急救室里,Erdos对Rousseau说:"给我出一道题.""奥林匹克竞赛题可以吗?""行!"
于是Rousseau就给Erdos出了一道德国数学奥林匹克的题目.过了一会儿,Faudree也来了,他们一直在讨论数学,尽量避免去看仪器上显示出的Erdos的心率.慢慢地,心率降下来了,Rousseau和Faudree才松了一口气.
Erdos被留在医院治疗,当然他仍然不会放弃数学.他给护士讲素数有无穷多个的证明,还挺高兴地对别人说:"我相信她听懂了."
－－77－－
Végre nem butulok tovább.
(我终于不再愈变愈蠢了.)
——Erdos自撰的墓志铭
晚年的Erdos越来越受到人们的欢迎,听他报告的人也越来越多.对此,Erdos是这样解释的:"大家都希望自己能说这样的话:'我记得Erdos.你看,连他最后一次讲座我都参加了.'"
1996年9月18日,Erdos在华沙的Banach中心参加图论会议,并作了一次报告.次日,他完成了他的最后一篇独自写就的论文.他买好了一张车票,准备去Lithuania参加一个数论会议.9月20日,他因为心脏病突发而去世.在他与SF作最后斗争时,没有一个朋友在他的身边.所以我们无从得知他说的最后一句话是什么.
不到一天的时间内,大半个数学界都得知了这一消息.人们很难相信这是真的,因为Erdos总是拿死亡和大家开玩笑,仿佛他永远不会死似的.但这次Erdos的确是真的离开了.他将到SF身边,潜心阅读那本"天书".那本书上有所有数学定理的最简洁、最优雅的证明.他将永远也读不完那本书,因为数学世界是超穷的,"天书"也是超穷的.所以他将一直读下去,直到永恒.
－－78－－
Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful. If they aren't beautiful, nothing is.
——Erdos
Erdos究竟给我们留下了什么?不光是1475篇质量不低的论文.
很难对Erdos在数学历史上的地位作出一个合适的评价,--他无疑是超一流的数学家,但他对数学的影响究竟有多大?
通常认为,20世纪的数学以泛函分析、抽象代数、拓扑学为基础,而Erdos对这三门学科都没什么兴趣,甚至可以说不怎么懂.Erdos主要的兴趣在数论和组合数学,而他研究数论主要使用的是比较初等的解析方法.从这个意义上看,Erdos对主流数学的影响并不是很大.
Béla Bollobás认为,Erdos对数学的主要贡献有三个:
第一,他一再向人们证明了:初等方法在数学中也有它们的地位.这里"初等"并不代表"简单",事实上,初等方法往往更为复杂.Erdos的很多工作都是18、19世纪的数学家就可以完成的,但一个由全套现代数学工具武装起来的数学家反而会对此感到无能为力.
第二,他引进了存在性问题的随机方法,用来证明各种各样跟随机性或者概率论毫无关系的问题.尽管随机方法还不像传统的存在性问题证明方法那样应用得广泛,但它已经越来越显示出它的威力.
第三,他提出了大量的问题.这些问题的陈述都非常浅显,但证明起来却十分困难.而且这些问题都是重要的问题,也都是合适的问题.
但或许Erdos对数学更为深远的影响并不是在技术上,而是在数学精神的领域.1984年,他获得Wolf奖的主要原因之一就是"and for personally stimulating mathematicians the world over".或许Joel Spencer说的这一段话已经能够说明Erdos对数学精神的影响:
"是什么使得我们这么多人聚集在他的圈子里?怎样解释我们在谈论他时获得的欢乐?为什么我们会喜欢讲述Erdos的故事?我曾经对此思考过很多,我想这是一种信念(belief),或者说信仰(faith).我们都知道数学的美,而且我们相信她的永恒.上帝创造了整数,剩下的都是人的工作.数学真理是亘古不变的,她存在于物理现实之外.举个例子,当我们证明了'若n≥3,则任两个n次幂之和都不会是n次幂'的时候,我们发现了一条真理.这就是我们的信念,是我们工作的动力.然而,对一个数学界以外的朋友解释这种信念,就像是对无神论者解释上帝.Paul实践了这种对于数学真理的信仰.他把他的全部聪明才智和超人的力量都贡献给了数学的殿堂.他对他的追求的重要性和绝对性毫不怀疑.了解了他的信仰,你就会产生同样的信仰.我有时会觉得,宗教界的人士比我们这些理性主义者更能够理解这个独特的人."
Szekeres & Klein Sweet Problem about Convex Polygon.
平面任意N个点可找到一个凸k边形,N最小为N_k
Szekeres 证明N_k>2^{k-2}+1
Erdos证明N_6<71
96年11月Graham和金芳容在Erdos追悼会上遇到Szekeres, 回去后利用一天时间将上限减小到70,是60年来的唯一进展,用了新的方法.一年后,上限就变成了37
还是用Erdos说的那句话来解释这种信仰吧:"You don't have to believe in God, but you should believe in The Book." 引自第1页
Mobing
2010-12-14 20:56:07
上海科技教育出版社2009版
yuele
2010-05-30 16:18:13
上海科技教育出版社2009版
在网上流传的那个版本上删改的.. 1913-1996 一生中同485位合作者发表过1475篇数学论文.论文数仅次于Euler －－1－－ 一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器. ——P. Erdos 前面所引的那段话暗示了一天工作19个小时以上(在古稀之年依然如此)的Erdos对兴奋剂的依赖.1979年,他的朋友Graham与Erdos打赌,只要他一个月之内不服用安非他明,Graham就输给他500美元.Erdos成功地赢得了这次打赌,但他对Graham说:"你帮我证明了我不...
0 有用 小红帽 2008-12-03 13:11:04
慈航推荐
0 有用 行为不端王梨花 2013-04-18 23:40:15
the man who loved only numbers T_T 看完了，好喜欢，写的真不错，好多有趣的故事和优美的话。埃尔德什好可爱，ε
0 有用 falseAss 2014-04-07 15:39:00
spend 19 hrs every day to prove a theorem or conjecture
3 有用 Daneestone 2011-08-22 05:45:06
Végre nem butulok tovább.终于不再变得更笨？ 波兰移民数学家斯坦尼斯拉夫，乌拉姆说，一个人衰老的第一个标志，是忘记了自己的定理，第二个标志是忘记拉上拉链，第三个标志是忘了拉开拉链。 1楼史、哲借阅区中文图书 K835.165.11/1 2009
0 有用 土工兵 2013-04-14 23:48:25
对主人公赞誉过度
0 有用 枝细胞 2021-11-13 11:58:28
数学就像是宗教需要想象令人疯狂。在与同事共享数学思维方面,埃尔德仆表现出孚有的坦荡襟怀。“他愿意与别人分亨他的数学猜想,因为他的目的不是为了让自巳第一个去证明它," ；我与他合作了20年,但我怀疑他是否记得我的名字。他直呼其名的唯一个人就是汤姆·特罗特——他管他叫‘比尔’。
0 有用 煹米ゴミ 2021-05-30 15:21:43
只会被纯粹的人吸引
0 有用 一粟与须臾 2017-07-25 17:25:22
高中图书馆
1 有用 还没想好叫啥名 2017-06-01 16:26:33
通过描述埃尔德什的各种癖好以及他与身边的数学家的相处故事，让读者看到了一个聪明又纯粹的数学家形象，天赋与勤奋的结合，且善于与人合作，虽生活不能自理到令人惊叹，但却不会有人怀疑他的善良以及他对于数学的那份执着。
0 有用 nemours 2017-01-28 21:45:06
m，十多年前读的