《陶哲轩实分析》的原文摘录
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本书的内容来源于我 2003 年在加州大学洛杉矶分校给本科生讲授高等实分析系列课程时所用的讲义。该校的本科生普遍认为实分析是最难学的课程之一，其原因不仅仅在于学生都是第一次接触很多抽象的概念（比如：拓扑、极限、可测性等），还因为本课程对于严格性和证明的要求较高。正是由于意识到学习本课程存在这样的困难，教师在授课时往往面临着如下两种艰难的选择：要么选择降低课程的严格性，让学习变得更加容易；要么坚持本课程学习中的严格标准，但是这样大部分本科生在阅读学习材料时就会非常吃力，包括那些既聪明又有学习热情的学生。 面对这种进退两难的局面，我尝试采用一种稍不寻常的方法来教授本课程。按照通常的教学方法，实分析的导论部分都假定学生已经非常了解实数、数学归纳法、初等微积分和集合论基础等知识，并且很快进入课程的核心部分，比如极限的概念。正常情况下，当学生学到核心内容时，教材会介绍必需的预备知识，但是大部分教材都不会对这些预备知识进行详细的论述。例如，虽然学生能够直观地想象出实数和整数，并且对它们进行代数运算，但是很少有学生能够真正定义实数或者整数。在我看来，这真的是错失了一个非常好的机会。实分析、线性代数和抽象代数是学生最先学习的三门课程。通过对实分析的学习，学生能够真正地领悟到严格数学证明的精妙之处。因此，这门课程为我们提供了一个回顾数学基础知识的绝佳机会，特别是为我们正确全面掌握实数的本质提供了良机。 因此，本课程将按照如下的方式展开。第一周，我将给出分析理论中一些比较著名的“悖论”。在这些悖论中，分析理论中的标准法则（如：极限运算与和运算的交换法则，或者和运算与积分运算的交换法则）按照不严格的方式来应用，就会得到一些荒谬的结论，如 0 = 1。这就启发我们要回到这门课程的开端，甚至回到自然数的定义，并要求我们对所有基础理论从头进行验证。例如，给学生的第一个家庭作业就是（只利用皮亚诺公理）证... (查看原文) —— 引自章节：前言 -
度量空间的概念可推广为拓扑空间的概念。这个推广的思想是不把度量d看作基础对象；的确，在一般的拓扑空间中根本没有度量。代替度量的是开集族，这是扑空间的基础概念。在度量空间中，首先引入的是度量d，然后用度量先定义开球，再定义开集，而在拓扑空间中，恰恰是从开集的概念出发的。从开集出发的结果是，不必重新构造可用的球或度量（于是，并非一切拓扑空间都是度量空间），然而值得注意的是，依然可以定义上一节中的许多概念。 本书中完全用不着拓扑空间，所以只是相当简洁地作一介绍。对拓扑空更完全的研究当然可以在任何一本拓扑学教材中或者更深的分析学教材中找到。 (查看原文) —— 引自章节：第 13 章 度量空间上的连续函数 -
亚里士多德逻辑是数理逻辑的一个分支，但不太有表现力，因为它缺少逻辑关系的概念，它没有“与”、“或”、“若…则”（尽管有“非”）等逻辑关系，而且它也没有像“≤”那样的二元关系。 (查看原文) —— 引自第441页 -
像六合彩（“six degrees of separation”）之类的游戏也发生在类似的度量空间中 (查看原文) —— 引自第258页 -
注意，利用公理2.1、公理2.2以及归纳法（公理2.5），我们很容易证明两个自然数的和仍旧是自然数。（为什么？） (查看原文) —— 引自章节：第2章 从头开始：自然数 12 -
作为引理2.2.2 与引理2.2.3的一个特别推论，我们得到n++ = n+1。（为什么？） (查看原文) —— 引自章节：第2章 从头开始：自然数 12 -
命题2.2.5 （加法是可结合的）对任意三个自然数a、b、c，有 (a+b)+c = a+(b+c) 成立。 (查看原文) —— 引自章节：第2章 从头开始：自然数 12 -
引理2.2.10 令a表示一个正自然数，那么恰存在一个自然数b使得 b++ = a。 (查看原文) —— 引自章节：第2章 从头开始：自然数 12 -
自然数系此时还是非常朴素的：我们只有一种运算——增加，以及一撮公理 (查看原文) —— 引自第19页 -
抽象地定义非常一般的一类空间，它包含实数空间、复数空间和向量空间等基本空间，并在整个这类空间上一次性地定义收敛的概念。 (查看原文) —— 引自第255页 -
若a > b且a < b则根据命题2.2.12必有a = b，这是矛盾的。 (查看原文) —— 引自第22页 -
本书第1 版发行后，许多学生和老师与我联系，指出了书中一些拼写错误并提供了一些修正意见。另外，也有人提出了对本书精装版的需求。基于上述原因，出版商和我决定对第1 版进行修订并将第2 版作为精装版发行。新版书的版面编排、页面编号以及索引都发生了变动。但是，第2 版的章节和习题编号以及数学知识都与第1 版相同，所以，基于家庭作业和学习的目的，本书第1 版和第2 版可以替换使用。 第3 版对第2 版做了一些修正，并且增加了部分新的习题，但是从本质上来说，与第2 版内容相同。 (查看原文) —— 引自章节：第2版和第3版前言 -
本书将介绍高等实分析，这是关于实数、实数序列、实数级数以及实值函数的分析。虽然实分析与复分析、调和分析以及泛函分析是相关的，但与它们又是不同的。复分析是关于复数和复函数的分析；调和分析是关于调和函数（振动）的分析，比如正弦振动，并研究这些函数如何通过傅里叶变换构造其他函数；泛函分析研究的内容主要集中在函数上（以及这些函数如何构造出如向量空间这样的东西）。分析学是对这些对象进行严格研究的学科，并且着力于对这些对象做出准确的定性和定量分析。实分析是微积分学的理论基础，而微积分是我们在处理函数时所用到的计算规则的集合。 在本书中，我们将对很多概念进行研究，而这些概念在学习初等微积分时会学到，比如：数字、序列、级数、极限、函数、定积分、导数等。虽然你曾经基于这些概念进行过大量的运算，但是现在我们主要研究这些概念的基本理论。我们关心如下几个问题。 （1）什么是实数？是否存在最大的实数？“0”之后的“下一个”实数是多少？（即：最小的正实数是几？）是否能够对一个实数进行无限次分割？为什么有些数（比如 2）有平方根，而有些数（比如 −2）没有平方根？如果有无穷多个实数和无穷多个有理数，那么为什么会说实数比有理数的个数“多”？ （2）如何确定实数序列的极限值？什么样的序列存在极限，什么样的序列不存在极限？如果你能够阻止一个序列趋向无穷，这是否意味着该序列最终会停止变化并且收敛？把无穷多个实数相加后得到一个有限实数的情况是否存在？把无穷多个有理数相加后得到一个非有理数的情况是否存在？如果有无穷多个数相加，那么改变这些数的排列次序，所得到的和是否保持不变？ （3）什么是函数？函数是连续的、可微的、可积的、有界的分别是什么意思？能否将无限多个函数相加？对函数序列取极限会怎样？能否对无穷函数级数求微分？什么是求积分？如果一个函数 f(x) 满足：当 x = 0 时，f(x) 的值为 3 ；当 x =... (查看原文) —— 引自第2页
作者: 陶哲轩
原作名: Analysis
isbn: 7115186936
书名: 陶哲轩实分析
页数: 464
译者: 王昆扬
定价: 69.00元
出版社: 人民邮电出版社
出版年: 2008年
装帧: 平装