前辅文
第一章预备知识
1.1 群的作用
1.2 正规子群、自同构、特征子群和单群
1.3 滤链和Jordan-Hölder 定理
1.4 子群的乘积: Goursat 引理和Ribet 引理
1.5 习题
1.5.1 题目
1.5.2 部分提示
第二章Sylow 定理
2.1 定义
2.2 Sylow p-子群的存在性
2.2.1 第一个证明
2.2.2 第二个证明(Miller-Wielandt)
2.3 Sylow p-子群的性质
2.4 Sylow p-子群的正规化子中的融和问题
2.5 局部共轭与Alperin 定理
2.6 其他Sylow 型的理论
2.6.1 可解群和-子群
2.6.2 紧Lie 群和环面群
2.6.3 线性代数群和代数环面群
2.6.4 线性代数群和连通的可解群
2.6.5 线性代数群和幂幺群
2.7 习题
2.7.1 题目
2.7.2 部分提示
第三章可解群和幂零群
3.1 换位子和交换化
3.2 可解群
3.3 下中心子群列和幂零群
3.4 幂零群与Lie 代数
3.4.1 中心滤链
3.4.2 中心滤链所定义的Lie 代数
3.5 Kolchin 定理
3.6 有限幂零群
3.7 2-群在域论中的应用
3.7.1 尺规作图与二次扩张的塔
3.7.2 C 是代数封闭域的证明
3.7.3 C 是代数封闭域的其他证明
3.8 交换群
3.9 Frattini 子群
3.10 通过由两个元素生成的子群对群进行刻画
3.11 习题
3.11.1 题目
3.11.2 部分提示
第四章群的扩张
4.1 群的上同调
4.2 上同调消失的判定: 有限群
4.3 群扩张、截面和半直积
4.4 核是交换群的群扩张
4.5 核未必是交换群的情形下的扩张
4.5.1 同态E ! Aut(A), G ! Out(A) 和G ! Aut(Z(A))
4.5.2 扩张的存在性与在H3(G
4.5.3 扩张的分类
4.6 阶互素的群之间的扩张
4.7 群同态的提升
4.8 在p-进提升问题上的应用
4.8.1 p-进数
4.8.2 群表示从特征p 到特征零的提升
4.9 习题
4.9.1 题目
4.9.2 部分提示
第五章Hall 子群
5.1 -子群
5.2 预备知识: 可置换的子群
5.3 Sylow 子群的可置换系统
5.4 定理5.1 的证明
5.5 -子群的Sylow 型性质
5.6 一个可解性的判据
5.7 定理5.3 的证明
5.8 习题
5.8.1 题目
5.8.2 部分提示
第六章Frobenius 群
6.1 子群的共轭的并
6.2 Jordan 定理的一个改进
6.3 Frobenius 群的定义
6.4 Frobenius 核
6.5 Frobenius 补
6.6 习题
6.6.1 题目
6.6.2 部分提示
第七章转移映射
7.1 Ver : Gab ! Hab 的定义
7.2 转移映射的计算
7.3 Gauss 引理: 一个有两百年历史的转移映射
7.4 转移映射在无限群上的一个应用
7.5 转移映射对Sylow 子群的应用
7.6 应用: 阶为奇数且小于2000 的群
7.7 应用: 阶数不超过200 的非交换单群
7.8 转移映射在群论之外的应用
7.8.1 数域的Abel 扩张
7.8.2 局部域的Abel 扩张
7.8.3 Kummer 理论
7.8.4 基本群和覆叠空间
7.9 习题
7.9.1 题目
7.9.2 部分提示
第八章特征标
8.1 线性表示与特征标
8.1.1 定义
8.1.2 群代数的观点
8.1.3 表示的例子
8.1.4 表示的特征标
8.1.5 例子: 置换表示的特征标
8.2 特征标、不变内积和不可约表示
8.2.1 特征标的基本性质
8.2.2 不变的Hermite 形式
8.2.3 表示的分解
8.2.4 不可约表示
8.3 Schur 引理
8.4 正交关系
8.5 群代数和它的中心的结构
8.5.1 群代数C[G] 的结构
8.5.2 C[G] 的中心的结构
8.6 整性
8.6.1 代数整数
8.6.2 特征标的整性
8.7 特征标和Galois 理论
8.7.1 分圆域
8.7.2 Galois 群在特征标上的作用
8.7.3 G 中元素的有理域
8.8 环R(G)
8.8.1 虚拟特征标环
8.8.2 Adams 操作
8.9 表示在C 的子域上的实现
8.9.1 表示实现的判据
8.9.2 表示在R 上的实现: Frobenius-Schur 定理
8.9.3 表示在R 上的实现: 不可约表示
8.10 特征标理论的应用: Frobenius 定理(定理6.7) 的证明
8.11 特征标理论的应用: Burnside 定理(定理5.4) 的证明
8.12 A5 的特征标表
8.12.1 不可约特征的次数
8.12.2 不可约特征的取值
8.12.3 不可约表示的描述
8.12.4 特征标表的应用
8.13 习题
8.13.1 题目
8.13.2 部分提示
第九章GLn 的有限子群
9.1 GLn(Q) 中有限子群的Minkowski 定理
9.1.1 定理的表述
9.1.2 问题的简化
9.1.3 ℓ-进估计
9.1.4 定理9.1 中(1) 的证明
9.1.5 定理9.1 中(2) 的证明
9.1.6 补充
9.2 GLn(C) 中有限子群的Jordan 定理
9.2.1 定理的陈述
9.2.2 有限维Hermite 空间和正规算子
9.2.3 同态的范数
9.2.4 交换子群的构造
9.2.5 球面上散开的点集的元素个数估计
9.2.6 定理9.9 证明的完成
9.2.7 补充
9.3 习题
9.3.1 题目
9.3.2 部分提示
第十章阶较小的群
10.1 阶较小的群以及它们之间的同构关系
10.1.1 6 阶群: S3 ≃ D3 ≃ GL2(F2)
10.1.2 12 阶群: A4 ≃ PSL2(F3)
10.1.3 12 阶群: C3 C4 ≃ fS3
10.1.4 24 阶群: S4 ≃ PGL2(F3) ≃SL2(Z/4Z)/f1g ≃ Aff 2(F2)
10.1.5 24 阶群: SL2(F3) ≃ Q C3, 其中Q 为8 阶的四元数群
10.1.6 48 阶和96 阶群: SL2(Z/4Z) ≃ A4 C4 和GL2(Z/4Z) ≃ A4 D4
10.1.7 60 阶群: A5 ≃ SL2(F4) ≃ PGL2(F4) ≃ PSL2(F5)
10.1.8 120 阶群: S5 = A5 C2 ≃ Aut(A5) ≃ PGL2(F5)
10.1.9 120 阶群: SL2(F5) ≃ fA5
10.1.10 168 阶群: SL3(F2) ≃ PSL2(F7)
10.1.11 360 阶群: A6 ≃ PSL2(F9)
10.1.12 720 阶群: S6 ≃ Sp4(F2)
10.1.13 20160 阶群: A8 ≃ SO6(F2) ≃ SL4(F2)
10.2 A4, S4 和A5 在PSL2(Fq) 中的嵌入
10.2.1 特征= 2 的情形
10.2.2 特征= 2 的情形
10.2.3 特征= 2 时A4, S4 和A5 嵌入的具体构造
10.3 习题
10.3.1 题目
10.3.2 部分提示
参考文献
不同专题的文献
索引
人名索引
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