吴文俊 第四版序(龚昇教授《简明微积分》读后感)

       龚昇教授的《简明微积分》一书，问世以来已经出了三版，现又将出第四版，该书以 Newton-Leibniz 关于微积分的基本定理及其高维情形的相应 Stokes 定理为核心贯串全书，观点新颖而深入，在浩如烟海的微积分教材中可谓独树一帜。该书长期以来在中国科学技术大学作为教本，取得巨大成功。现对该书略述本人阅读后的观感如下。
       美国一位著名的数学史家与数学教育家 M.Kline 先生在他著《西方文化中的数学》一书中曾经说过：“一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。”
       M.Kline 又说：“数学是从微积分开始，而不是以之为结束。”
       M.Kline 先生对微积分的推崇或许有些过分，但言外之意反映出微积分的发明对于数学历史发展过程具有无与伦比的巨大作用，则是毋庸置疑的。
       回顾一下微积分发明的历史，对于龚昇教授这部微积分教程的理解，应不无裨益。
       恩格斯曾经指出：微积分“是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。
……
       经过一个多世纪的酝酿，通过 Newton 与 Leibniz 之手，终于认识到微分与积分是互逆的两个概念，并统一成微积分基本定理。正如恩格斯所说，微积分从此已大体上完成——微积分从此创立。
       由这一段历史过程可知， Newton 与 Leibniz 之所以能完成微积分的创立大业，正是由于他们站到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于获得了真理。
       微积分创立之后的两百年间，又经历了一段既曲折又自然的发展过程。在18世纪期间，数学家们由于微积分解决问题的特殊能力，忙着致力于微积分多种多样的应用，建立了不少以微积分方法为主的分支学科，对于微积分的理论基础，则未遑顾及。进入19世纪，微积分本身的矛盾迭出。数学家们才不得不对微积分的基本概念与理论方法细加分析，通过实数的精确概念与 ε-δ 方法等来奠定了严实的基础。
       在18、19世纪中，原来局限于单变量的微分与积分运算，也已推广到多变量的情形。但与把微分积分作为互逆运算的 Newton-Leibniz 微积分基本定理之限于单变量的情形相对应，如何扩展至多变量的情形，则似乎并非想像中那么容易。
       一个转折点似乎是近于19世纪之末，法国数学家 H.J.Poincaré 指出了多重积分的体积元应有一个正负定向。这一看似平凡的看法使得多重积分在坐标变换下有些拖泥带水的变换公式，有了一个精练的形式，并使 Newton-Leibniz 微积分基本定理到多变量的推广，步入了坦途。
        H.J.Poincaré 关于体积元有定向的这一发现，导致了外微分形式的出现。有关理论由 F.G.Frobenius，E.Cartan 等发扬光大，成为近代数学的重要篇章。对微积分本身来说，则原来以 Green，Gauss，Ostrogradsky 等命名的不同形式的定理，统一并推广成了一个简明的 Stokes 公式：
Generalized Stokes' Theorem(一般形式的斯托克斯定理)

其中 ω 是外微分形式，Ω 是一个定向区域，而 d 是外微分运算符号，∂ 是区域取其边界。
       龚昇教授强调指出，这一 Stokes 公式正好是单变量情形的 Newton-Leibniz 微积分基本公式在多变量情形的推广。
       认识到这一点并非是件易事。
       首先是定向的概念。法国著名拓扑学家 Thom 教授，曾经对本人表达过这样的意见：定向概念是几何拓扑中最有深刻意义的伟大创造之一。对于 Thom 先生的卓识，本人深为钦服。
        其次，Stokes 定理的真正意义，似乎并未为许多数学史家与数学家们所认识。前面已提到过的 M.Kline 一书，就把 Stokes 定理纳入四元数向量和线性结合代数这一章中，根本未触及 Stokes 定理的实质意义，即其一例。
       从15、16世纪的文艺复兴至17、18世纪的工业革命，使人类从农业经济时代进入工业经济时代。与时代的要求相适应，在数学上出现了解析几何与微积分等伟大创造。当前，人类又将从工业经济时代进入到一个崭新的信息时代。与新时代的要求相适应，在数学上应有什么样的创新，对数学家们是一个巨大的挑战，值得人们给以严肃的关注与深长的思考。
       龚昇教授以其敏锐的目光指出了微积分的核心是单变量的 Newton-Leibniz 微积分基本定理以及多变量的 Stokes 个噢你是，可谓切中要害，并使高等院校的初学者得以轻松地登堂入室。龚昇教授的《简明微积分》一书，将在汗牛充栋的微积分教程中，占有特殊的地位。值此《简明微积分》即将四版之际，谨志数语，以表本人对龚昇教授的敬意。
       
原文发表于《高等数学研究》第二卷第3期（1999年9月）。征得吴文俊院士同意，引用该文为序。