定性与半定量物理学

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• 圆棒弯曲时内力矩与半径的关系。 解：用量纲法来分析，内力矩M的量纲为 [M_内]=ML^2 T^-2 杨氏模量的量纲为 [Y]=ML^-1 T^-2 由此不难看出 Π_1=M_内/Yr³ 是个无量纲量。另一个无量纲的量就是Π_2=r/R. 按照Π定理，我们有 L_内=Yr³Φ(r/R) 按胡克定律，M_内∝Δl/l=r/R，故应取Φ∝r/R，于是得 M_内∝Yr^4/R 即内力矩正比于圆棒半径的四次方。理论计算表明，上式中的比例系数是π/4，即M_内=πYr^4/4R. (查看原文)

  shadow 2赞 2021-05-01 18:27:07

• 为了方便，我们假定这些大人和小人的几何线度都与正常人差一个数量级，但同为在地球上生活的血肉之躯，体内的成分和物理、化学过程都是相似的。 首先探讨一下大人国的公民。设身体的平均密度与我们相同，从而他们的体重∝l^3，而骨骼的截面积∝l^2，因此单位截面上承担的静态负荷∝l，即等于我们的10倍。运动使骨骼增加另一部分负荷，除重力外，运动时受到的惯性力正比于加速度。按《游记》书中描写，在大人国里的生活节奏与我们差不多，故一切速度和加速度，从而动态负荷又大了10倍，即在单位骨截面上承担的负荷可能等于我们的100倍。所以大人国里的公民决不敢作稍微剧烈一点的动作，否则他们骨折的可能性比我们大100倍。 从高度跌下来时，重力∝mg∝l^3，而空气阻力∝面积∝l^2，故最后达到的极限速度∝l，对大人国的公民来说，也大了10倍，即重力对他们的威胁比我们大得多。与此相反，小人国里的公民在这一点上是享有优越性的，他们在剧烈的运动中骨折的危险比我们小100倍，重力给他们带来的威胁也要小得多。《游记》中描写，小人国中有一人仓惶地从躺着的格列佛的腰部往下跳，竟鉄伤了。其实、哪怕他从站着的格列佛的肩膀上跳下来，也不会受伤虽然按比例，这高度相当他们的几层楼。正像我们的一只老鼠从天花板上跌落一样，不是什么危险也没有吗? 然而，小人国里的公民也有自己的苦恼。我们的体温是恒定的(37°C)，与周围的环境保持一定的温差△T、按照牛顿冷却定律，单位时间从体表散失的热量正比于皮肤的面积(∝l^2)和△T，这要靠体内发生的热量来补偿，这热量正比于体重或体积(∝l^3)。可见，与自身的体重相比，小人国里的公民必须摄入比我们大10倍发热量的食物。 此外，按行射公式计算，眼睛最小分辨角的理论极限∝λ/D，这里λ是可见光的波长，D为瞳孔的直径。可见，小人国公民的最小分辨角比我们大10倍。假定他们的明视距离比我们的小... (查看原文)

  漫游者 2019-05-11 21:34:48

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