古今数学思想（二）

17世纪的数学同希腊中世纪数学的迥异之处在于人类精神的寄托物和数学意义的被丧失。首先表现在它与其它学科的关系上。从古希腊时代起，天文学和音乐首先结合在一起，然后数学再由数学支配其流转。从希腊到中世纪，由毕达哥拉斯到开普勒，他们一直信奉宇宙天球间的和谐音乐并安定于内心的完满(在《世界的和谐》那本书里，开普勒精心地把行星轨道速率的最大值和最小值同音阶的和谐音程联系起来)。而到了十七世纪，而力学和光学则顺理成章的成为了数学最友好的伴侣，代数逐渐露面，代替几何成为数学的实体。

牛顿.莱布尼兹.笛卡尔.伽利略相即出场，这个时代开始了吟唱。微积分的发明是这个世纪最伟大的成就，它的光辉丝毫不亚于欧几里得几何在希腊的伟大，其次是以笛卡尔，费马为标志的解析几何创立；代数也开始成为一门独立的科学（这时候它还是一种文字系统，要等到韦达出现才会符号化）。代数和几何依然颠倒着，但是深远的转变已经在伽利略手中酝酿了。只有到了19世纪，人们才会发现这是如此壮阔而有根本的变化。“17世纪的数学家们还觉得应当用几何证明去为代数方法辩护，可以说直到1600年数学的主体是几何的，加上一些代数和三角的附属物。”经过笛卡尔费马等人的工作，代数成为不仅仅是适合于本身目的的一套有效方法，而且也是解决几何问题的极好途径.分析方法在微积分中表演出来的更大的有效性解决了竞争，于是代数成为数学中占优势的实体了，只需要等到韦达的出现，笛卡尔现在只是将代数当作一种技巧。但是牛顿自己却已经看到了其中的关窍。他自己1707年的《普遍的算术》却同任何一本建立代数优越性的著作一样.在这本书中，他使算术和代数成为基础科学，仅在能使证明容易一些的地方才允许几何存在.同样地，莱布尼兹也注意到了代数的增长着的优势，在一篇未发表的随笔中，他被迫说一代数的见解是使人放心的，但它并不更好一些.”

1.消解二元论：费马和笛卡尔联结几何和代数

1.1费马的解析几何

费马和笛卡尔敏锐地看到了数量方法的必要性，而且注意到代数具有提供这种方法的力量.因此，他们就用代数来研究几何.也就是坐标几何或解析几何，就是要是把代数方程和曲线曲面等联系起来.这个创造是数学中最丰富最有效的设想之一。费马对于微积分的贡献，如作曲线的切线，计算最大值和最小值等(克莱因在在后面讲到微积分的历史时，会给出更清楚地说明)。Format从丢番图出发.他关于曲线的工作，则从研究希腊的几何学家，特别是Apollonius（阿波罗尼）开始，Apollonius的《论平面轨迹))一书，久已失传，而费马却把它重新写了出来。在进行着一番操作之后，准备将它用来研究曲线，他很早叙述出他的一般原理:“只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线。”（这些都是高中的数学知识，解析几何在费马这里还是很残缺）

费马所用的坐标就是我们所说的斜坐标，但是y轴没有出现，而且也没用负坐标.他的A, E就是我们通常说的的X和Y。由于没有负坐标，他的方程不能像他所说代表整个曲线，但他确实领会到坐标轴可以平移或旋转，因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式，他肯定:一个联系着,A和E的方程，如果是一次的，就代表直线轨迹，如果是二次的，就代表圆锥曲线。

1.2笛卡尔的解析几何

笛卡尔生活在清教与天主教间的争论达到高潮的时代，也生活在科学刚刚开始发现出一些向主要的宗教教条挑战的自然规律的时代。笛卡尔教导说，圣经不是科学知识的来源，只凭理性就足以证明上帝的存在，并且说，人们应该只承认他所能理解的东西。在他死后不久，教会就把他的书列入《禁书口录》，并且当在巴黎给他举行葬礼的时候，阻止给他致悼词.笛卡尔通过三条途径来研究数学的:作为哲学家，作为自然的研究者，作为一个关心科学的用途的人。但是试图把这三条思路分离开是徒劳无益的。笛卡他的第一部著作是《思想的指导法则》，在他死后才出版。他的第二部重要著作《世界体系》包括一个以太漩涡的宇宙理论，是用来说明行星是如何转动不息而且保持在它们绕日的轨道中的。为了理解自然界，他用了许多年的时间在科学问题广泛地做了力学、水静力学、光学和生物学方面的实验.他的以太漩涡理论是17世纪中当时唯一在法国能与当时的牛顿宇宙体系分庭抗礼的理论。为了理解自然界，他用了许多年的时间在科学问题广泛地做了力学、水静力学、光学和生物学方面的实验。他也是机械论哲学的奠基者，他说:一切自然现象包括人体的作用，一都可归结到服从于力学定律的运动。”但他却把灵魂除外。1637年，他出版了他的(更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，此书是文学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录:《几何》 ,《折光》，《陨星》（Les Météores ，这里法语是流星的意思，由于探讨的内容，一般译作《气象学》）。其中正是《几何》部分包括了他关于坐标几何和代数的思想。这是笛卡尔书写的唯一数学之书。1644年，他发表了《哲学原理》( Principia Philosophiae )，专论物理科学，特别是运动定律和漩涡理论.此书与《世界体系》有重合部分，1650年发表了一本《音乐概要》。当然，还有《第一哲学沉思集》，但是克莱因没提，嗯。

在《几何》中，他开始仿照韦达的方式，用代数来解决几何作图的问题。后来才逐渐地出现了用方程表示曲线的思想.他首先指出，几何作图要求对线段作加减乘除，对特别的线段取平方根，因为这几种运算也包括在代数里，所以它们都可用代数的术语表出“几何学家惯于在困难的证明中用来达到结论的成长小的简单而容易的推理，使我想到:所有人们能够知道的东西，也同样是互相联系着的。

”笛卡尔的科学工作的另一重要之点，是强调要把科学成果付之应用(第11章第5节).在这一点上，他同希腊人明白地公开决裂。他认为欧几里得几何中每一证明都让他感到不安，“总是要求某种新的、往往是奇巧的想法。”他明白地批评希腊人的几何过于抽象，而且过多地依赖于图形，以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情祝下，去练习理解力.”他对当时通行的代数也加以批评，说它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像一门改进思想的科学.”他因此主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相结合。事实上，他是要把是把代数用到几何上去.他完全看到了代数的力量，看到它在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法.他同时也强调代数的一般性，它的推理的程序具有机械性和工具性。他用一句高度有意义的话来作结论:“几何曲线”是那些可用一个唯一的含二和y的有限次代数方程来表出的曲线。

笛卡尔的几何坐标（他选定一条线AG劝作为基线以点A为原点X的值是基线上的长度，从A量起，Y值是一个线段的长度，由基线出发，与基线作成一个固定的角度.这个坐标系，我们现在叫做斜坐标系.Descartes的Y只取正值，他的图局限在第一象限之内。

（17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(X轴)，其中Y值是沿着与X轴成直角或斜角的方向画出的。Newton所引进的坐标系之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，略如我们现在的极坐标系.书中还包括其他与极坐标有关的思想。Newton又引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它至两个固定点的距离）

有了曲线方程的思想之后，笛卡尔开始囊括以前被排斥的曲线，而且开辟了整个的曲线领域.因为给定任何一个含有X和Y的代数方程，人们可以求出它的曲线，从而得到一些全新的曲线.笛卡尔进一步断言，可以证明曲线的次与坐标轴的选择无关。他另外考虑两个不同的曲线，用同一坐标轴来写出它们的方程，并且联立地解出这两个方程来求出这两条曲线的交点。笛卡尔拒斥了希腊人的思想:只有用直尺和圆规画出的曲线是合法的。他认为还存在一些用机械画出的新的曲线。后来莱布尼兹更进一步，用“代数的”和“超越的”的字样来替代笛卡尔的“几何的”和“机械的”，他对曲线必须有代数方程这一要求提出抗议。实际上笛卡尔和他的同时代人都忽略了这个要求而以同样的热情去研究旋轮线、对数曲线、对数螺线和其他非代数曲线。

后人对待笛卡尔的那本《几何》并不像他自己那样重视。虽然对数学的前途来说，方程和曲线的结合是一个显著的思想，但对笛卡尔来说，这个思想只是为了达到目的—解决作图问题的一个手段。从近代的观点看，费马强调轨迹的方程似乎更为可取。笛卡尔在卷一和卷三中所着重的几何作图问题，已逐渐失去重要性，这主要是因为不再像希腊人那样用作图来证明存在了。《几何》出版的时候，费马批评说，书中删去了极大值和极小值、曲线的切线以及立体轨迹的作图法。他认为这些是值得所有几何学家往意的。笛卡尔气恼的回答说，费马几乎没有做什么，至多做出一些不费气力不需要预备知识就能得到的东西，而他自已却在《几何》的第三卷中，用了关于方程性质的全部知识。他讽刺地称呼费马为我们的极大臣和极小臣（他要是懂汉语就更搞笑了》，并且说费马欠了他的债. 后来这两人的态度趋于缓和.在1660年的一篇文章里费马虽然指出《几何》中的一个错误，但他宣称他是如此佩服笛卡尔的天才。尽管笛卡尔和费马研究坐标几何的方式有有显著的不同，他们还是卷入谁先发现的争论。费马的著作直到1679年才出版，但他在1623年已发现了坐标几何的基本原理，这比笛卡尔发表《几何》的年代1637年还早，尽管笛卡尔当时已完全知道费马的许多发现，但否认他的思想是从费马来的。

坐标几何把数学造造成一个双面的工具，几何概念可用代数表达，几何的坐标也可通过代数达到.反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。 代数在坐标系里和几何平起平坐了。其意义远远超过他们对作图问题的洞察和分类，代数给几何带来最直接简单的分类原则和最自然的方法。拉格朗日曾把这些优点写进他的《数学概要》中:“只要代数同几何分道扬镰，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄.但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善.”的确，17世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于坐标几何。 尽管如此，还是有许多数学家反对把代数和几何混淆起来，或者把算术和几何混淆起来。早在16世纪当代数正在兴起的时候，已经有过这种反对的意见了。例如，Tartaglia坚持要区别数的运算和希腊人对于几何物体的运算。他谴责《几何原本》的译者不加区别地使用multi plicare(乘)和ducere(倍)两字.他说前者是属于数的，后者是属于几何的，韦达也也认为数的科学和几何的科学是平行的，但是有区别。甚至Newton也如此，他虽然对坐标几何有贡献，而且在微积分里使用了它，但反对把代数和几何混淆起来，他的希腊几何情节曾经在《普遍的算术》一再表露。

一些另外的补充：

在18世纪著名的《百科全书》中，达朗贝尔把“代数”和“解析”当作同义词用。“解析”一词逐渐地变为专指代数方法而言，而新的坐标几何，大约直到18世纪末，在形式上几乎一律被描写成代数在几何上的应用.但是，到了18世纪末年，“解析几何”已经成为标准的名词，常常用作书的名字。

克莱因认为，.费马和笛卡尔通常叫做“解析几何”。“解析”一词在这里是不恰当的，叫坐标几何或代数几何较好(代数几何现在有另外的意义).从柏拉图以后，“解析”一词指的是这样的过程:从所要证明的结论开始，往回做去，直至达到一些已知的东西为正.“解析”在这个意义下与“综合”相反，后者系指演绎的表述而言。而到了韦达那里，他认为algebra(代数)一字在欧洲语言中没有意义，摒弃不用，而建议用analysis解析字样(第13章第8节)，他的建议没有被采用.但对韦达和笛卡尔来说 ， 用“解析”一词来描写把代数应用到几何上还是恰当的，因为他们是用代数来分析几何作图问题的.他们假定要求的几何长度已经知道，找出这长度所满足的方程，并调整这方程，使得从中能看出怎样去画出所求的长度.。

这糟糕的翻译

“……的逻辑基础，是十分令人遗憾地有缺陷的。”

……

“从而也就不能认识到那些异于不言而喻的真理的公理发展必须有一个基础。”

……

正如John Herman Randall在《近代思想的形成》（Making of the Modern Minds）一书中所说的，“科学产生于用数学解释自然这一信念......”