Cynosure对《常微分方程教程》的笔记(1)

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通解里的C0，C1，。。。Cn是线性无关的。

初值问题=微分方程+初值

初值问题又名柯西问题

n阶微分方程会有n个常数
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P(x, y)dx + Q(x, y)dy= 0
如果∂P/∂y≡∂Q/∂x，则方程可化为全微分的形式
。
如果P(x, y)dx + Q(x, y)dy= 0可化为X(x)Y1(y)dx 十 X1(x)Y(y)dy = 0，则可用分离变量法。
此外还需要补上特解：
x = ai, i = 1,2 ....,其中 ai 是 X1(x) = 0 的根,
x = bj, j = 1,2 ....,其中 bj 是 Y1(x) = 0 的根,
。
dy/dx +p(x)y=0 ==> y=C e$^{∫p(x)dx}$
dy/dx +p(x)y=q(x)   ==>  dy +p(x)y dx = q(x) dx, 以因子u(x)=e$^{∫p(x)dx}$乘方程两侧，可化成全微分。
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如果P(x, y)dx + Q(x, y)dy= 0得P和Q都是x和y的同次，则令y=ux，化成分离变量的形式
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P39
dy/dx =f((ax+by+c)/(mx+ny+l))
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P40 贝努里方程：
dy/dx +p(x)y = q(x)y^n
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P40 Riccati
dy/dx = p(x)y²+q(x)y 十 r(x)
一般而言，它不能用初等积分法求解
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dy/dx = ay² +bxⁿ
若n=0, -2, -4k/(2k±1), ...则可化为分离变量式。
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在此之前,人们主要注意力鼓在数分方程的(初等积分〉求解上,而刘维尔的研究结果说明,即使形式上很简单的黎卡捷方程一般也不能用树等积分法求解.这就迫使人相另辟薪径,例如 ：
从理论上研究一般微分方程初值问题的解是否存在,是否唯一?
怎样从微分方程本身的特点去推断其解的属性〈周期性,有界性,稳定性等等) ?
在什么条件下可将微分方程的解用收敛的幂级数来表示?
怎样求出徽分方程的近似解?
这就促使撤分方程的研究进入一个多样化的发展时期.
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存在性和唯一性
局部：
李卜西兹条件：
f在区域D内满足：| f(x , y1) - f(x , y2) | <= L * | y1 - y2 |,    (L>0)   （即，对 y 有连续的偏导数。没有奇点）
李氏条件只是解存在和唯一的充分条件。目前还没有存在性和唯一性的充要条件。
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有了毕卡定理,对于一般微分方程dy/dx = f(x, y)，只要能判别f(x , y)在某个区域 D 内连续并且对 y 有连续的偏微商〈即满足李氏条件) ,就可断言在区域 D 内经过每一点有且只有一个解。
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Osgood 条件：
设f在区域G内连续，且| f(x , y1) - f(x , y2) | <= F(y1 - y2), （F(r)>0是r>0的连续函数） ,  且∫{0, r1} 1/F(r) dr = ∞，则称f在G内满足Osgood条件。
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如果只假设f在D内连续，则可证明解是存在的（但不一定唯一）
欧拉折线--近似求解
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整体：
如果 G 是有界闭区域,则 f(x , y) 在 G 上满足局部李氏条件等价于它在 G 上满足整体
李氏条件.
但当 G 是开区域时 , G 上的局部李氏条件则弱于 G 上的整体李氏条件：对于任意区域G，如果f在G上对y有连续偏导数，则f对y满足局部李氏条件。
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一般而言,微分方程解的最大存在区间因解而异,对不同的解需要在不同的区间上讨论. 因此,当不知道解的最大存在区部时就无法对解进行研究。（参考定理5，P85）
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slop field的意义：
为了估计解的存在区间，仅仅用延伸定理是不够的，需要分析slop field的几何特性。
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比较定理
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奇解是通解的包络.
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第五章 高阶微分方程
在实际问题中出现的微分方程通常包含若干个未知函数y1,y2,...,yk,以及它幻的一些导数。设它们的导数出现的最高次数分别为m1, m2,. ...mk,则m =∑mi,叫作该徽分方程的阶,它可以看作是评估问题难度的一个量. 如果我们能把一个n阶的微分方程降低为n-1阶,那就使微分方程求解问题前进了一步。
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向量的模〈范数)
可以接上述三种定义中的任何一种来理解n维向量的模，其实它们罄是等价的。这里等价的意思是说，按其中任一种定义得出的有关函数的连续性、可微性等性质都是相同的。
模的性质：
1.对于任何y∈Vⁿ，|y|>=0,且 |y|=0 iff y=0
2.对于任何y,z∈Vⁿ, |y+z|<=|y| + |z|
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在线性空间Vⁿ中引入模(范数〉以后， Vⁿ 就叫有模(赋范)线性空间.（赋予了范数的线性空间）
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解对初值和参数的连续依赖性（求多项式方程时，解是一个数；所以不存在解的连续性的问题。但微分方程的解是一个函数，所以需要考虑其解的连续性。）

由于初值和参数都是由测量得到的,任何测量都难免存在误差·所以初值和参数的连续性对解有重要的实际意义。只要误差远够小,对应的解就不会有大的偏差.
（这实际上也是“函数连续性“的意义吧？！）
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拓扑变换 T 把区域 D 内的平行直线族Lη变成微分方程在(x0, y0) 邻域内的积分曲线族Γη。换句话说，T$^{-1}$把微分方程在(x0, y0) 邻域内的积分曲线族Γη拉直了·因此在这个意义下微分方程在(x0, y0) 邻域内的Γη可以局部地视为平行直线簇。
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（
基于已有的知识，运用逻辑、推理得出方程（建模），至于怎么解方程就完全是数学的事情了. 

解方程好像是推动数学发展的非常强大的动力。是否是最强大的动力？

从客观现象为依据来定义概念，再利用概念之间的联系列出方程。虽然暂时我无法解方程，但我用方程来描述那个规律，至少表明我认识这个规律的路上前进了一步。
）
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Wrosky行列式W(x)≡|  yij(x)  |nxn
W(x)=0 iff  γ1,...,γn 线性相关。γi是n维向量函数 γi(x) = (y1i, ..., yni)
对于解组γ1,...,γn, 矩阵Y(x) = (  yij(x)  )nxn  称为线性方程组的解矩阵
dY(x)/dx = A(x) Y(x)
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exp(A) ≡ e^A ≡ E + A +A^2/2! + A^3/3! +...+ A^k/k! + ...
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如P是非奇异n阶矩阵，则 exp(PAP^-1) = P exp(A) P^-1
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这种用矩阵无穷级数定义的指数函数exp(xA)是否可以用初等函数的有限形式表达出来？
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在解方程时，把y, y', y'', ....用变量替换为y0, y1, y2, .....。这实际上是认为y0, y1, y2，之间毫无关系。但y0, y1, y2之间是有导数与积分的关系的（只是这种导数和积分的关系无法表达成线性方程，进而无法增加线性方程组里方程的数目）
通过引入导数算子，把导数和积分的关系表达为线性关系。<---这就是为什么引入导数算子的原因？
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算子
D:=dy/dx, D2:=d²y/dx², ....., Dn:=dⁿy/dxⁿ
L(D) := Dn + a1 Dn-1 + ....
可以验证D和L(D)是线性的
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拉氏变换L和L^(-1)都是线性算子 （算是积分算子了吧？用积分的形式来生成线性关系.将微分方程转换为代数方程）
L {f‘’(t)}=s² L{f(t)} - sf(0) -f'(0).
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第七章  微分方程的幂级数解法
因为用初等函数的有限形式只能求解特定的微分方程。为了求解更多的微分方程，应该放弃“有限形式”。
人们对这些方程的级数解法有很大兴趣,一个重要的原因是,级数解代表的函数在数学物理中有特殊的在用,且级数解一般已不是初等函数.因此称为特殊函数或高级超越函数
。（在数学分析里遇到的那些奇怪的超越函数原来是通过解微分方程得到的!）
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幂级数解的存在和唯一性定理
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所谓解析函数，就是可以展开为幂级数
幂级数解在实际使用时是当作近似解
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勒让德函数系是正交的,
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º¹²³⁴ⁿ₁₂₃₄·∶αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω∽≌⊥∠⊙∈∩∪∑∫∞≡≠±≈＄㏒㎡㎥㎎㎏㎜
∈⊂∂Δ
∧