Cynosure对《数学概观》的笔记(1)

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P34
【定理1】 （代数学基本定理） 每个具有复系数的方程都至少有一个根，即至少有一个复数x满足该方程。
【推论】n次方程有n个复数根

有理数多项式Q[x], 实数多项式R[x]，复数多项式C[x]，这些可统一记为A[x]。

因为P+Q,P-Q, PQ都属于A，所以定义A是一个【环】

P的所有系数都是0时，P是零多项式, 记为P=0

若a_n != 0，就说P的次数n = degP

当P！=0，Q!=0时，degPQ = degP + degQ    -- (11)

为方便，定义deg0 = -Infinity，使得对于所有多项式，式子（11）都成立
【性质】
如果P和Q都是多项式，且Q != 0, 则存在多项式S和R，使得P = SQ+R，其中degR<degQ    --(12)

P37
环A的子集J如果满足下面的条件，则称J为一个【理想】：
若P和Q都属于J，而且U，V是A中的任意多项式，则UP+VQ也属于J

【定理2】每个正次数的复系数（实系数，有理系数）多项式都是同一类系数的素多项式的乘积，这些素多项式除了次序和数值因子以外是唯一确定的。


除了Q，R,C之外还有很多域。只要A是个域，定理2就成立

P38
多变量多项式A[x, y]

P39 
环，域，模，理想

若一个集合A具有加减乘、分配律，该集合A就称为【环】。
如果一个环A具有除法性质，就称A为【除环】；
如果环A具有交换律，则称A为【交换环】；
环中可以存在幺元，也可以不存在。

交换除环称为【域】（即：加减乘除、交换律、分配律）

若A是幺元环，a，b是A的元素；又设m，n是M里的元素，M具有加、减法则。如果下列条件成立，则称M是A的【模】：
1. a*m有定义，且属于M，
2. (模的性质)
 (a+b)*m = a*m +b*m
a*(m+n) = a*m +a*n
a*(b*m) = (a*b)*m
1*m = m

P43 【伽罗瓦域】

P45 
假设A中所有的a和b，都有：IF a!=0 and b !=0 THEN ab !=0       --(14)
交换环A的元素的商a/b，相加，相乘得到域K，称K是A的【商域】

具有性质（14）的交换环（！=0）称为【整环】

P47
如果A和R=A[a1,...,an]都是域，那么R的所有元素都是A上的【代数元素】。
环A的子集J，如果J在环的加、减、乘法则下构成左(右)A模， 则称J为A的【左(右)理想】。

（环A的子集J。如果u和v属于J、a和b属于A，au+bv属于J，则称J是A的【左理想】；
如果u和v属于J、a和b属于A，ua+vb属于J，则称J是A的【右理想】。）

如果J同时是A的左理想和A的右理想，则成J是A的【理想】

P49
A是有幺元的交换环，B为A的子集。设u1,...,um属于B，a1,...,am属于A，则所有的a1*u1+....am*um构成一个理想J。B的元素称为J的【生成元】。如果B只有有限个元素，则称J为【有限生成的】。若A中每个J都是有限生成的，则称A为【诺特环】

【定理3】 如果A是诺特环，则多项式环A[x1,...,xn]也都是诺特环。
Z是诺特环；如果A是域，则A[x]也是诺特环

若J是A的理想(J != A) ： 
如果满足 :a*b是J的元素 ==>a是J的元素且b是J的元素; 则称J为【素理想】。
如果满足 :a*b是J的元素 ==>a是J的元素且b^n是J的元素; 则称J为【准素理想】。


【定理4】 在‘具有幺元的交换环’中，每个‘不等于整个环’的理想都包含在某个‘极大理想’里面。

【希尔伯特零点定理】环C[x1,....,xn]中的不具有零点的非空理想必定是整个环。
通俗地说，如果P1,...,Pm是复系数n变量多项式，且他们没有公共零点。那么必定存在多项式Q1,.....,Qm，使得1 = Q1P1+....+ QmPm。 
特别地，取m=n=1时就意味着，若单变量复系数多项式没有复零点，则它就必然是一个不等于零的常数。
【希尔伯特零点定理】假设P，P1,.....,Pm是如上的多项式，并设P在P1,...,Pm的所有公共零点处都等于0，则必定存在多项式Q1,...,Qm和正整数k使得 P^k = Q1P1+....+QmPm


--------------------------------上面这些都是【交换代数】------------------------------------



3.3 群
集合M，M到M的函数f称为【双射】
最简单的双射是【恒等映射e】，定义是:对于M中的所有元素a，都有e(a) = a；
由g(f(a)) = a定义了一个双射，定义它为f的【逆射】，记为f^(-1)
M有有限个元素，则f称为【置换】

集合M的双射a, b,...所构成的非空集合G称为一个【群】
如果a和b属于G，则a o b^(-1)也属于G
群的元素个数称为群的【阶】。所以有：【有限群】和【无限群】

元素a的全部方幂构成【循环群】。循环群本质由其阶所决定。
平移是无限循环群，反射是二阶循环群

等距变换（合同变换）


【仿射群】

P59【抽象群】

P60 
φ是从群G到群G'的函数，如果对于G中的任意a和b，有φ(a o b) = φ(a) o φ(b), 则称φ为【同态】。一对一的同态称为【同构】

P61【群的作用】

定理5 ：每个群G都同构于一个双射群

φ是G到Γ的同态，G中元素a，φ把a映射到Γ的单位元素；则所有的a组成的集合H称为φ的【核】或【不变子群】。
例如：实数直线x -> f(x) = ax +b (a != 0)构成的群中，平移x-> x+b 构成它的不变子群






P79
任何一个几何学都有一个双射群，这些双射群对应于欧几里得几何中的合同变换。

P88
向量代数的好处在于，对于欧几里得的距离和角的概念，有一种与坐标无关的代数表示方法。这种表示方法以向量点积为基础。

P100
函数的复合遵循结合律，即(AB)C = A(BC)

p108
补空间，余维和射影
直和

P111 范数，完备赋范空间（巴拿赫空间）
【泛函】原指无穷维度空间上的函数
【范数(norm)】是数学中的一种基本概念，在泛函分析中，范数是一种定义在赋范线性空间中函数，满足相应条件后的函数都可以被称为【范数】。【范数】是具有“长度”概念的函数。
【巴拿赫空间】是一个完备赋范矢量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的矢量空间。
如果线性空间上定义了范数，则称之为【赋范线性空间】。

【对偶空间】：
设V为 在域F上的向量空间，定义其对偶空间V* 为由V到F的所有线性函数的集合。 即是V的标量线性变换。V* 本身是F的向量空间并且拥有加法及标量乘法。

巴拿赫空间的连续双射的逆映射也是连续的。（有限维）
推论：巴拿赫空间的任意两个范数都等价。（有限维）

巴拿赫空间
- 如果在其上范数有界，则成为【有界】的
-如果子集包含它的所有极限点，则称为【闭的】
-如果子集中每个点列都有一个收敛子序列，则称为是【前紧】的
-如果即是前紧的又是闭的，则称为【紧】的

P119 紧算子定理
P120 
u,v的内积（u，v）
【施瓦兹不等式】
【希尔伯特空间】：具有内积的完备线性空间
所有满足（w,V）=0的w组成V的【正交补空间】

【射影定理】
推论：希尔伯特空间上任何线性范函数都是一个内积

P127 谱定理

P137 戴德金，康托尔
任何单调有界的实数序列都有极限存在---（1）
sqrt（2）是无理数的巧妙证明
戴德金截割定义了实数

R中每个截割要么包含一个最大的数，要么截割的补集包含一个最小的数--（2）
R中每个上方有界的子集都有一个最小上界--（3）（最小上界公理）
集合A的上确界表示为supA，supA可以属于A也可以不属于A
集合A的下确界表示为infA

序列a1,a2, ...记为（an）

柯西序列：n,m -->infiniti，|an-am| -->0
柯西序列是收敛的

【连续统】：与区间（0，1)对等的集合就叫做连续统，什么叫做对等呢，就是找到一个映射，使得他们之间的元素满足一一映射。

连续统的大小称为：连续统的【势】或者连续统的【基数】（基数是元素个数的概念的推广）
2000多年来，人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1891年，G.康托尔证明：任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的势都大于这个集合的势。
自然数集是最小的无穷集合。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。
是否存在一个无穷集合，它的势比自然数集的势大，比连续统势小？这个问题被称为连续统问题。康托尔猜想这个问题的解答是否定的，即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作C1；自然数集的势记作C0。这个猜想就称为【连续统假设】。

所谓集合是可数的、

连续统假设在数学中的位置类似于平行公理在 数学中的位置。即，把连续统假设添加到集合论的公理中时，可以得到完全相容的数学。把它的否命题添加到集合论公理中时，也可以得到完全相容的数学。

p146 
连续函数的一致极限是连续的

p151
拓扑学是研究拓扑空间以及拓扑空间之间的连续映射的理论


p160 英雄世纪






H=f+g ==> H'=f'+g'
H=f*g ==> H'=f*g'+f'*g
H=f/g ==> H'=(f'*g-f*g')/g^2   (5)

H(x)=a0+a1*x+...+an*x^n 
==>H'= a1+2a2*x+...+n*an*x^(n-1)   (6)

P176
牛顿在原理中的主要结果，来显示微分法的魔力。这个主要结果是：行星和彗星围绕太阳旋转的轨道都是圆锥曲线。
那时我们会看到由规则（5）代表的微分法的代数方面是不够用的。我们还必须添加一些代表微分的解析方面的定理。

P179 如何推导出动能、势能表达式。如何得到开普勒第三定律

p189 如果f及其所有偏导数都是C1函数，则称f是C2函数。

二阶导数不依赖于两次微分的顺序。


p191, 雅克比矩阵





长期以来人们总是企图在微分法中去微分不具有导数的函数。
我们可以把微分法有光滑函数推广到”分布“（一类广义函数）上。这是施瓦兹在20世纪40年代建立起来的，出发点是分部积分公式。

P200 
Rn空间中的微分

201， 莱布尼茨引理：微分算子d与变换是可以交换的。
P202，微分的向量积：
w(x) = a1(x)*dx1 + ... + an(x)*dxn
d(w(x)) = d(a1(x))/\dx1 + ... + 

P205 只有用到流形上，微分法的威力才全部显示出来。


【流形】是局部具有欧几里得空间性质的空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。

在数学，特别是在拓扑学中，一个【图册】描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个坐标卡给出。


p212 上同调群
由一个流形M到另一个流形M‘的光滑映射F，就给出有M’上的微分形式到M上的微分形式的线性单环映射w(x') --> w(F(x)). 



P234
S函数： 定义于实轴上儿取值为复数的无穷次可微函数。满足....
S函数的傅里叶变换也是S函数
P236 傅里叶反演公式

卷积的物理意义：http://wenku.baidu.com/link?url=95yC8ZjulY3Z1qdLMPd5lf6b67bTOY8-prWnWm7-_r67_RoLec1k9QHq9a2JSc69RswHWnlxXy_sHOCBvYsUqw55fHDDQwpnBVgARWwLD5u
卷积满足交换律，分配率，结合律


卷积的傅里叶变换等于因子的傅里叶变换的乘积。也就是说，傅里叶变换F把卷积变为乘积。




P278 
所谓复平面的开子集A上的复值函数f在A中时【解析的】，就是指在A的每一点p附近，f都等于以p为中心的泰勒级数。