Cynosure对《数学的统一性》的笔记(1)

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现代数学的三个方向： 
1. 对称性 --》 群论
2. 概率论
3. 拓扑学。 拓扑学的目标就是把函数（或图形，或其他数学对象）分成不同的类，并找出每一类的共同特征。




我们都知道类比法在科学思维中的重要作用。当我们将气体中的分子看做小台球时，或者将光看做波时，我们把不熟悉的东西与熟悉的东西联系起来，以帮助我们理解。如果认真地考虑这种类比，并进一步考虑其推论，我们就是在建立数学模型，就是强调相同的部分而忽略不同的部分。因此，我可以将数学看做类比的科学，而数学之所以在自然科学中应用广泛，就是因为在称之为“理解”的心理过程 中，‘比较’起了重要作用。



P46 解方程的方法的发展

P48 亏格，流形，
直接显示高维流形是很难的，但由于它‘真实’而重要，所以需要一整套新语言和技巧，这就是拓扑学。

要从一个方程的代数形式来决定解的拓扑性质绝不容易


P60 单元变量问题变成多元变量的问题时，为什么产生本质的困难。可以这样解释：单元变量x和多元变量x1,...xn之间的差异本质上是几何的。

代数几何：研究多元多项式

抽象代数或近世代数是一种更高层次的抽象：符号不代表任何东西，只有他们之间的运算法则和相互关系才是有意义的。可以说， 代数是解决某类问题的机器，而抽象代数是制造机器的机器。

近世代数分为：交换和非交换的。前者是研究的多变元多项式，后者的中心主要围绕群论，抽象地研究对称。这两部分对于高维都很重要。

拓扑学可以抽象地研究连续性。

泛函分析和线性分析

希尔伯特空间及无限维的欧氏空间。空间中的点通常表示函数f。

代数拓扑--拓扑性质的信息都变为代数形式

群是对称的抽象化

同调代数

代数分析（算子代数）的一个重要应用是量子力学


数学的统一性和简单性都很重要。因为数学的目的就是用简单的基本词汇去尽可能多地解释世界。 如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须要不断努力把数学加以简化和统一。


几何不是对物理空间的研究，不能被限制在三维或四维空间里

几何并不只是数学的一个分支，而是一种思维方式，它渗入数学的所有分支