予秋对《晶格动力学理论》的笔记(1)

第1页 序

1. 第一篇为基本理论，包括原子力，晶格振动，弹性与稳定性等。介绍了固体中的离子、离子之间的相互作用力，结合能（内禀能），晶体比热，弹性系数，晶格振动，晶格振动与电磁波相互作用的黄方程以及耦合模，弹性定律和稳定性。第二篇为普遍理论，包括量子力学基础，长波法，自由能，讨论了固体中声子谱的色散关系，极化率。及光学效应等。
7. 有序-无序理论，包括合金理论和铁磁理论。在这些理论中晶格被当做一个刚性的框架，问题在于对固定的晶格格点求解出粒子或粒子性质的统计平衡分布，这与晶格本身的动力学无关。关于晶格对X射线，电子和中子散射的理论，有相当一部分涉及确定晶格结构的纯几何学问题。但对晶格中各种射线的传播有一些深入而重要的研究，其中考虑了有关动力学的过程，如晶格振动与散射粒子的相互作用。
65 在考虑晶体与光的相互作用时，长波长的光学振动具有特殊的重要性。一般来说，一个电磁波只与具有相同波长的晶格振动相互作用，且仅当两者频率相近时电磁波才受到强烈的影响。晶格振动的频率一般在0-1013 s-1范围，因而相同频率的光波波长大于CX10-13=0.003cm 这个值远远大于晶格的晶格常数10-13，因此能与光有显著相互作用的晶格振动是很长的波，其值10-5实际为零。相互作用的强度取决于与晶格振动相关的电振动。在长波光学振动中，具有相反电荷的粒子的相对运动使每个元胞产生一个净交变偶极矩，而在相反电荷一致运动的声学支长波中这是完全存在的。晶体的光学行为只关心光学的长波。
66 弹性仅仅与长声学晶格振动一致。在德拜模型中，晶格振动完全被弹性波取代。如果两种粒子的质量差别很大，光学支的频率就局限在一个较窄的范围内。这些振动主要是轻粒子的振动，而重粒子基本不动。由于在上述模型中轻粒子只能通过重粒子的运动相互影响，所以这种晶格中不同轻粒子的运动在很大程序上是独立的，而且相应的振动频率与一个轻粒子在两个近邻都固定时的振动没有什么差别。对于这种情况，爱因斯坦模型适用于光学支振动，而德拜模型用于考虑声学支振动。线性链例子中，在一宏观小的区域里，长声学振动时原子实际上是一致运动的，光学振动则相反，在同样的小区域中，一种类型的原子作用整体与另一种类型的原子相对运动。因为为描述长光学振动，一个参数专门来说明正负离子间的相对位移。对于弹性运动来说，单位体积的有效惯性质量就是密度，另一方面，对于光学型的运动来说，相应的质量是正负离子的折合质量被一个晶胞来除。已发现选用来描述光学类型运动最方便的参数是正负离子的相对位移乘以这个单位体积有效质量的平方根，w.
167 当然，一种结构可能对于均匀形变是稳定的，而对其他类型的小形变是不稳定的。最方便的办法是以简正坐标从总体上来考虑所有小形变。如果通过求解运动方程发现所有简正模式的频率都是实数，则晶格对于小形变是稳定的，否则晶格是不稳定的。这是因为虚数频率意味着发生小位移后系统会随时间按指数方式遭到破坏。而不是围绕平衡位形作振荡运动。我们已经看到长声学波实质上由弹性性质确定的，均匀形变下的稳定性事实上保证了长格频率是实数。单靠力学稳定考虑不足以确定晶体的实际结构，热力学上是最稳定的结构具有最低的自由能。
254 均匀形变法的失效与长波法：离子晶体一般都是压电性的，不能抛开电效应去孤立地考虑弹性，即对于离子晶格，不存在纯弹性理论。用不同的方式处理这个问题可以更全面地理解这一点，我们注意到，与介质材料相关的所有宏观理论的基础是假设介质作出的响应具有局域的特性。因此，在流体力学中，我们把比热容看做是由同一点上的温度和压力所决定的；在弹性理论中，我们应变看做是由同一点的应力所决定的。原子理论的任务常常是提供这些局域参数，如比热容，温度和压力，弹性应变和应力分量，之间的关系。从原子理论的观点来看，上面这个基本假设的正确性在于，原子的影响范围，正像平均自由程，力的作用范围一样，在尺度上是微观的。因此，作为弹性理论的先决条件，所涉及的原子间作用力的范围必须是微观的。对于离子晶体情况并不是如此。如11节中发散结果是与作用于离子上的力依赖于样品形状这一事实相关的，这意味着作用于离子上的力不能完全由局部应变决定。因此发散结果不会被看成是均匀形变的必然结果，实际上，从弹性理论的观点来看，发散结果表明了一个真正的死胡同。幸亏有了麦克斯韦理论，不用放弃基本假设，这个困难就得到了解决。除了应变外，还必须引入另外一个局域参数，即宏观电场；它们一起完全决定了作用在晶格粒子上的力。以这种方式恢复了宏观处理的局域性基础。当然，宏观电场本身最终也有一部分由其他地方的状态所决定，不过利用具有局域特性的麦克斯韦方程就克服了这种困难。在长波光学振动时也遇见过类似的情况。因为在任意小的邻区纵横和横模中的运动都是相同的，即都是通过正负离子间的相对振荡，所以它们的频率差意味着原子力在性质上不能是完全局域的。在唯象处理中，这种差别由宏观电场产生，纵向振动具有较高的频率被认为是由于恢复力被宏观电场增强，而这种增强在横向振动中不存在。宏观电场并不包揽离子间的全部的相互作用。在第9节中，在离子上的电场被分为宏观电场和洛伦兹场。后者描述了由局部状态单独决定的那部分作用。在性质上，这部分相互作用与非离子晶体中产生弹性的原子力是相同的。从这个观点来看，在描述这个宏观电场特性时，与其用它是一个电场的说法，还不如用这样一个事实：即它承担作用于粒子上的部分力，而这部分力不能单独用局部状态来决定。当我们考虑离子晶格的弹性进，情况完全类似，为了利用麦克斯韦方程，我们必须引进介电极化强度和宏观电场。因此代替将弹性应变和应力分量联系起来的胡克定律，为了讨论离子晶格的弹性，我们需要在四种类型参数之间建立起某些关系式，这些参数分别描述弹性应变和应力，宏观电场以及介电极化强度。25.3， 25.4
Sρ, sρ分别表示应力和应变分量，使用了沃伊特指数，P为介电极化强度，E宏观电场。25.3 式右边第二项代表由宏观电场E产生的压电应力，25.4式的右边第一项代表由弹性应变产生的极化强度。不同的是，在这里关心的是弹性应变和应力，而在7节中考虑的内应变和相应的恢复力。在上面的方程中，压电项将力学参数与电学参数耦合起来。因此离子晶格的弹性不能抛开电效应去孤立的讨论，有关弹性的理论必然要与压电效应理论和介电效应理论联系在一起。如果我们把均匀形变法应用于离子晶体的有限大的样品，所感生的压电极化强度产生了一个与样品形状有关的宏观电场。由此得出，我们不能将此方法应用于无限晶格模型。通过将均匀形变法应用于具有一定形状的有限大的样品，要对力有些特别的假定，原则上可以正确地发展出一种原子理论，并借助于25.3， 25.4，对这些结果加以解释。但是，另一种更能够被接受的方法是发展适合于离子晶格的长波法。最后，一方面，我们必须适当考虑压电耦合，而不是常用的胡克定律，从宏观理论中获得弹性波。另一方面，我们必须以某种方法表示格波，以便适合于宏观理论结果进行比较。
266 非离子晶体的弹性常数：在弹性理论的动力学问题中，尽管当把介质作为一个整体看时，所涉及的弹性形变不是均匀的，但在任何点附近的一个小范围内它却可以看成是均匀的。因此如果 u(x) 是x 点上的弹性位移，在x0点附近的小范围内我们有27.1 右边第一项是这个小区域作为一个整体发生的位移，第二项是弹性形变。将27.1 与11.1相比较表明，在x0点附近介质受到均匀的弹性形变，形变参数为uαγ（11. 1均匀形变和弹性常数，如果晶格发生形变后仍保持完整晶格结构，刚为形变是均匀的。首先将晶格中所有粒子的坐标作线性齐次变换，即原先位于x的粒子移到x’, 11. 1在均匀形变样品的弹性应变在一级近似下可用6个应变分量，sρ来描述。（11.24 依照沃伊特W. Voigt 方式将uαβ代之以，式中ρ=1，2，……6与张量指标αβ的关系，
ρ     1，  2， 3， 4， 5， 6，
αβ  11，22，33，23（32），31（13），12（21） 11.25）
在动力学问题中，通过将27.2 式代入11.24， 在该点定义了应变分量，为27.3 类似地，应力分量sρ是位置函数，由胡克定律11.29，将其与该处应变分量联系起来（11.29 弹性应力sρ由能量密度对弹性应变的微商给出：这就是普适的胡克定律，即弹性应力是弹性应变的线性函数，cρδ是弹性常数。）利用以张量形式表示的应力和应变分量，很容易得到运动方程，这些分量定义为27.4 Sαγ代表施于单位表面上的力的α分量，该表面垂直于γ方向，该力是处于表面正的一侧的介质加在负的一侧的介质上。sαγ也按上面方法定义，使胡克定律11.29可以简单地用张量的形式表示出来，27.5张量表示中弹性常数可由沃伊特表示中的弹性常数获得，只要依照上式，把指数进行简单的改写即可。按照定义，c_(αγ,βγ)对α，γ 和β，λ都是对称的，考虑到c_ρσ=c_σρ则对称关系如下：因为应力张量Sαβ的散度等于单位体积的力，所以运动方程为27.7这里ρ是质量密度，利用胡克定律27.5，并借助27.4式，把Sαβ用位移矢量u(x)表示出来有27.8
301 弹性常数，压电常数和介电张量:如果我们未明确地考虑特别的对称性质，我们就必须普遍地把离子晶体看做是压电性的。在宏观理论中，为了获得适用于离子晶体的运动方程，我们必须使用25.3，25.4，而不是胡克定律。张量的形式32.1， 32.2 除指数写法以外，这里的系数与用沃伊特标记中的系数相同，利用32.1式，我们有32.3，在压电晶体中弹性波，32.4, 与一个电场3.25 相关联，将32.4和32.5 式代入32.3 式给出运动方程，我们得到32.6.如果我们令微扰方法中的形式参数ϵ=1，那么在声学晶格振动中粒子位移和宏观电场被分别表示为32.7，32.8.在每种情况，宏观理论中的物理量都与晶格理论中最低级次的非零项相比较。因此弹性位移32.4式将同32.7 式的零级项相比较，而电场32.5式必须与32.8式中的一级项相比较，因为零给项等于零。32.9